1、蚌埠学院 高等数学一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 第二章 11/26/20221蚌埠学院 高等数学显函数显函数:因变量是由其自变量的某个算式来表示.比如：比如：,2sin,52xexxyxy 一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:.称称为为隐隐函函数数的的函函数数所所确确定定由由二二元元方方程程)(0),(xyyyxF 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题问题1:隐函数是否可导隐函数是否可导?31xy例如
2、例如,013 yx03275xxyy可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.11/26/20222蚌埠学院 高等数学隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y.0 1dxdyyexyey的导数所确定的隐函数求由方程例yexydxdy,求导方程两边对 x解解0ydxdyxdxdyey11/26/20223蚌埠学院 高等数学例例2.)0,0(,02357处的值在点求设yyyxx 解解求导得方程两边对 x05212146yyyx得代入0,0yx;2100 yxy求导得两边再对将上方程x05)(2021264235 yyyyyx得2100yx
3、y,0,0yx代代入入.000 yxy11/26/20224蚌埠学院 高等数学例例3.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即03843 yx11/26/20225蚌埠学院 高等数学对数求导法对数求导法1.方法方法:2.适用范围适用范围:先在 两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.)(xfy 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：)0)()()(xuxuyxvuuvuvyy ln1)()()()(ln)()()(xuxuxvxuxv
4、xuyxv 所所以以uvylnln 先先两两端端取取对对数数两端对两端对x求导：求导：11/26/20226蚌埠学院 高等数学例例3.解解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx也可这样求:11/26/20227蚌埠学院 高等数学例例4.解解等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxx
5、y求导得上式两边对x4131)2(11121xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy求设4131)2(111)4)(3()2)(1(21xxxxxxxxy11/26/20228蚌埠学院 高等数学另例另例)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb11/26/20229蚌埠学院 高等数学二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(,)(tt可导,且,0)()(22tt则0)(t时,
6、有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数)关系,11/26/202210蚌埠学院 高等数学若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.利用新的参数方程,可得11/26/202211蚌埠学院 高等数学)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4.设)(tfx
7、,且,0)(tf求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty练习练习:P111 题8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意:11/26/202212蚌埠学院 高等数学例例5.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则y
8、xo2212tgtvy11/26/202213蚌埠学院 高等数学抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 12arctanvv达到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g11/26/202214蚌埠学院 高等数学例例6.设由方程)10(1sin 222yytttx确定函数,)(xyy 求.ddxy解解:方程组两边对 t 求导,得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostyd
9、d0)1(2ddttxtyddtxdd11/26/202215蚌埠学院 高等数学另例另例.解解ttxydxdytatbcossin abdxdyt 4.方程方程处的切线处的切线在在求椭圆求椭圆4sincos ttbytax.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby abbxay2 即即另例另例.解解.arctan)1ln(2表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 ttytxtttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 ttxydxdy11/26/202216蚌埠学院 高等数学 三、相关变化
10、率三、相关变化率)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率11/26/202217蚌埠学院 高等数学例例7.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m 时,1tan22tan1sec,2sec2
11、tdd14050012114.0)minrad/(11/26/202218蚌埠学院 高等数学思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求11/26/202219蚌埠学院 高等数学试求当容器内水Rhxhr例例8.8.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为
12、x,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为 V,则R11/26/202220蚌埠学院 高等数学内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式11/26/202221蚌埠学院
13、 高等数学思考与练习思考与练习1.求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M 切线方程为22xy211/26/202222蚌埠学院 高等数学2.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx11/26/202223蚌埠学院 高等数学3.设)(xyy 由方程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求导,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求.)0(y 作业作业 P110 1(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12 11/26/202224
