1、随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称，有，的如果对于任意的分布函数为随机变量，的分布函数为，又随机变量，合分布函数为是二维随机变量，其联，设YXyFxFyxFyxyFYxFXyxFYXYXYX第三章 多维随机变量及其概率分布第二节 随机变量的独立性返回主目录说 明yYxXPyxF，由于 yYPyFxXPxFYX，以及：相互独立，实际上是指与可知，随机变量YX相互独立与，随机事件，对于任意的yYxXyx返回主目录说 明相互独立，则由与如果随机变量YX yFxFyxFYX，可知，唯一确定与可由其边缘分布函数，函数的联合分布，二维随机变量yFxFyxFYXYX返回主目录例 1的联合分布函数为
2、，设二维随机变量YX10arctan25arctan212yxyxF，返回主目录yx，是否相互独立？与试判断YX的边缘分布函数为X解：例 1（续）yxFxFyX，lim10arctan25arctan21lim2yxy返回主目录5arctan21x，x yxFyFxY，lim的边缘分布函数为Y10arctan25arctan21lim2yxx例 1（续）10arctan21y，y yFxFYX返回主目录，有，所以，对于任意的实数yx10arctan25arctan212yxyxF，10arctan215arctan21yx是相互独立的随机变量与所以YX离散型随机变量的独立性，其联合分布律为是二
3、维离散型随机变量，设YXjiijyYxXPp，的分布律为又随机变量 X，21jiiixXPp，21i的分布律为随机变量YjjyYPp，21jji，如果对于任意的jiijppp是相互独立的随机变量，则称YX返回主目录例 2的联合分布律为，设二维离散型随机变量YX Y X12316191181231相互独立与使得随机变量，试确定常数YX解：的边缘分布律为与由表，可得随机变量YX返回主目录例 2（续）Y X123 ip161911813123131jp2191181相互独立，则有与如果随机变量YXjiijppp32121，；，ji由此得返回主目录例 2（续）2191YXP，；由此得92又由31181
4、YXP，由此得919131 21YPXP18131 31YPXP分布律为时，联合分布律及边缘，而当9192返回主目录例 2（续）Y X123 ip1619118131231929132jp213161可以验证，此时有jiijppp32121，；，ji相互独立与时，因此当YX9192返回主目录例 3的三个盒子中，编号为将两个球等可能地放入321是否相互独立？与试判断随机变量YX；，的可能取值为210X解：号盒中的球数；：放入令：1X号盒中的球数：放入2Y，的可能取值为210Y布律为的联合分布律及边缘分与知由YX3.1返回主目录例 3（续）Y X012 ip09192919419292094291
5、0091jp949491021YXP，919421YPXP不独立与随机变量YX返回主目录连续型随机变量的独立性，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX是相互独立的随机变量，则称YX须成立必，的所有连续点，特别地，上式对yxyxf，的边缘密度函数为又随机变量xfXX有，如果对于几乎所有的yx yfxfyxfYX，缘密度函数为yfY的边随机变量Y返回主目录说 明”是指：，有的这里所谓的“对几乎所yx那些使得等式 yfxfyxfYX，所成集合的“面积”为，不成立的全体点0yx返回主目录例 4的密度函数为，设二维随机变量YX其它，02010312yxxyxyxf是否相互独立？与试判断随机
6、变量YX解：时，当10 x dyyxfxfX，20231dyxyxxx3222返回主目录例 4（续）的密度函数为所以，随机变量 X 其它0103222xxxxfX时，当20 y dxyxfyfY，10231dxxyxy6131的密度函数为所以，随机变量Y返回主目录例 4（续）其它0206131yyyfY yfxfyxfYX，不独立与所以，随机变量YX时，由于当2010yx其它，02010312yxxyxyxf 其它0103222xxxxfX返回主目录例 5分钟以内的概率待分布试求先到者需等时的均匀时到下午从中午是相互独立的，且均服时间相会，假定每人的到达甲、乙两人约定在某地10112解：分到达
7、，时设甲于X12上的均匀分布，间相互独立，且都服从区与则随机变量600YX分到达时设乙于Y12的联合密度函数为，所以，YX返回主目录例 5（续）其它，060060036001yxyxf分钟先到者等待时间不超过设：10A则有，10YXA中直线满足上述条件的点为图10 yx与直线10 yx之间的部分Ox10601060y10 yx10 yx返回主目录例 5（续）所以，所求概率为 10YXPAP10yxdxdyyxf，3600505036003611Ox10601060y10 yx10 yx返回主目录例 6（正态随机变量的独立性）rNYX，设二维随机变量222121的联合密度函数为，则YX22222
8、121212122212121exp121yyxrxrryxf，xexfxX21212121返回主目录的边缘密度函数为又随机变量 X例 6（续）的边缘密度函数为随机变量Y222221212121exp21yxyxf，yeyfyY22222221 yfxfYX相互独立；与这表明，随机变量YX返回主目录的联合密度函数为，时，所以，当YXr0例 6（续），有，实数相互独立，则对任意的与反之，如果随机变量yxYX yfxfyxfYX，即，2121YXfff，212212121121r返回主目录特别地，我们有例 6（续）由此得，0r：件为相互独立的充分必要条，二元正态随机变量rN222121重要结论：综上所述，我们有以下返回主目录0rn维随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称，有，维实数组对于任意的如果，的分布函数为，又随机变量，分布函数为维随机变量，其联合是，设nnXXXnniXinnXXXxFxFxFxxxFxxxnnixFXxxxFnXXXni2121212121212121注意注意 ：若 X,Y 独立，f(x),g(y)是连续函数，则 f(X),g(Y)也独立。返回主目录
