1、第二十一章第二十一章时间序列计量经济学：时间序列计量经济学：一些基本概念一些基本概念本章讨论的问题 明确平稳性究竟有什么重要意义，为什么要担心一个时间序列会是不平稳的。时间序列的非平稳性也能导致自相关。谬误或无谓回归(spurious or nonsense regression)的问题，如果时间序列不是平稳的话，谬误回归会怎样产生。随机步游现象(random walk phenomenon)。涉及时间序列数据的回归模型常常被用来做预测。平稳性检验应先于因果性检验。21.1 美国经济的一些时间序列美国经济的一些时间序列（1）GDP(国内生产总值)，（2）PDI(个人可支配收入)，（3）PCE(
2、个人消费支出)，（4）利润(公司税后利润)，及（5）股息(即公司净红利)；所有数据都以1987年的10亿美元为单位，1970-1991年期间每个季度都有一次观测，共有88个季度观测。21.2 随机过程定义：定义：一个时间序列一个时间序列 y yt t(t=0，1，2，)是是广义平稳广义平稳(又称二阶平稳或弱平稳又称二阶平稳或弱平稳)，如果它满足以，如果它满足以下三个条件：下三个条件：在任何时刻在任何时刻t的均值都是一个与的均值都是一个与t无关的常数，均值无关的常数，均值有限，有限，Ey yt t=；在任何时刻在任何时刻t的方差都是一个与的方差都是一个与t无关的常数，方差无关的常数，方差有限，有
3、限，E(yt-)2=2；在任何两个时刻在任何两个时刻t,s的协方差仅与这两个时间的距的协方差仅与这两个时间的距离离|t-s|有关，有关，E(yt-)(ys-)=r|t-s|21.4 单位根随机过程 Yt=Yt-1+ut 11 (21.4.1)若事实上为1，则我们面临着所谓单位根问单位根问题题(unit root problem)，即非平稳性情况；我们已经知道，Yt的方差此时不是平稳的。单位根的名称正是源于=1这个事实。21.5 趋势平稳趋势平稳(TS)和差分平稳和差分平稳(DS)随机过程随机过程 差分平稳过程差分平稳过程(difference-stationary process,DSP yt
4、=+yt-1+t，yt是非平稳的 但但一阶差分序列 yt=yt-yt-1=+t，是平稳的。趋势平稳过程趋势平稳过程(trend-stationary process,TSP)yt=+t+t,y0=0,tIID(0,2)确定性趋势确定性趋势（deterministic trend）21.6 单积随机过程 齐次非平稳（homogeneous nonstationary）:非平稳的序列。单整（integrated）单整阶数（order of integration）：是为得到一个平稳序列而需要对这个序列进行差分的最少次数。例如是一阶单整（integrated of order one），记作（）。零
5、阶单整（integrated of order zero）：一个平稳序列，记（）。如果一个非平稳序列yt，可通过d次差分转换为平稳过程，则称之为d阶求和过程，或被称为d阶单整整21.7 谬误回归现象 尤尔(G.U.Yule)首次发现的谬误或无谓回归谬误或无谓回归的简单概括。根据葛兰杰和纽博尔德的分析，R2d就是怀疑所估计的回归是谬误回归的一就是怀疑所估计的回归是谬误回归的一个很好的经验法则个很好的经验法则，21.8 平稳性的检验 1图形分析图形分析 给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。一个平稳的时间序列平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕
6、其均值不断波动的过程；而非平稳序列非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。2自相关函数自相关函数(ACF)和相关图和相关图 检验样本自相关函数及其图形检验样本自相关函数及其图形 定义随机时间序列的自相关函数自相关函数（autocorrelation function,ACF）如下：k=k/0 自相关函数是关于滞后期自相关函数是关于滞后期k k的递减函数的递减函数(Why?)(Why?)。实际上实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本），对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算因此，只能计算样本自相关函数样本自相关函数（Sample Sample a
7、utocorrelation functionautocorrelation function）。）。一个时间序列的样本自相关函数定义为：一个时间序列的样本自相关函数定义为：nttkntkttkXXXXXXr121,3,2,1k 易知，随着易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。kr kr 1 1 0 k 0 k (a)(b)图图 9 9.1 1.2 2 平平稳稳时时间间序序列列与与非非平平稳稳时时间间序序列列样样本本相相关关图图 图：平稳时间序列与非平稳
8、时间序列样本相关图图：平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图 注意注意:确定样本自相关函数确定样本自相关函数r rk k某一数值是否足够接近某一数值是否足够接近于于0 0是非常有用的，因为它可是非常有用的，因为它可检验对应的自相关检验对应的自相关函数函数 k k的真值是否为的真值是否为0 0的假设。的假设。Bartlett曾证明曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的则对所有的k0，样本自相关系数近似地服从以，样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。为样本数。也可检验对所有也可检验对所有k
9、0k0，自相关系数都为，自相关系数都为0 0的联合的联合假设，这可通过如下假设，这可通过如下Q QLBLB统计量进行：统计量进行：该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为 的临界值，则有的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k(k0)0)同时为同时为0 0的假设。的假设。mkkLBknrnnQ12)2(6.58)博克斯-皮尔斯(Box-Pierce-Ljung)Q统计量1,11111tttttttyyyyyH0：=0 H0：=1 H1：0 H0：11.迪基富勒检验（迪基富勒检验（Dickey
10、-Fuller Test）模型1：yt=yt-1+t,t,i.i.dN（0，2）.模型2：yt=+yt-1+t t,i.i.dN（0，2）模型3：yt=+yt-1+t+t t,i.i.dN（0，2）21.9 单位根检验单位根检验-6-4-20240.10.20.30.40.5蒙特卡罗模拟方法得到的DF统计量的分布见图。百分位数表Fuller(1976)用蒙特卡罗模拟方法得到T(-1)和DF统计量的百分位数表。-10-5051020406080100 120 140 160 180 200y=y(-1)+u 单位根检验:时间序列yt可用如下自回归模型检验单位根。yt=yt-1+ut H0：=1，
11、（yt非平稳）H1：临界值，则接受H0，yt 非平稳；DF 临界值，则拒绝H0，yt是平稳的。因此，可通过OLS法估计 yt=+yt-1+t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.33 0.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-
12、1.65 0.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28 表 DF分布临界值表 进一步的问题进一步的问题：在上述使用 yt=+yt-1+t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（auto
13、correlation），导致DF检验无效。另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验）检验。2.ADF2.ADF检验检验（Augment Dickey-Fuller）ADF检验（Augment Dickey-Fuller）111111111111111321pjtjtjttpjtjtjttpjtjtjttpjtjtjttpjtjtjttytyyyyy
14、yyyyyyyyy：模型：模型：模型检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1:0,检验检验 H0：=0，即存在一单位根即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。21.11 协积协积1、定义、定义Engle和Granger（1987）指出：两个或多个非稳定时间序列的线性组合可能是稳定的。如果那种稳定的线性组合存在，就称这些非稳定（具有一个单位根的）时间序列具有协积（共积）关系（Cointegration relationship）。这种稳定的线性组合也称协积方程。例：一个时间序列Yt，有可能为d阶差分平稳过程(DSP)，即Yt经过d次差分后成为平稳序列。如当d=1时
15、，有Yt-Yt-1=t，t为白噪声序列，多次迭代后，有 yytiit01从而Yi可看成的一阶求和过程，即YtI(1)。Yt-Yt-1=t说明非平稳时间序列Yt与非平稳时间序列Yt-1不平稳波动具有共同性，得以相互抵消。如果Xt,Yt序列同为d阶求和过程，且存在着线性组合序列1Xt+2Yt为d-b阶求和过程，我们就说Xt,Yt协积，且记为：Xt，YtCI(d、b)向量1,2叫做协积向量。协积概念推广到多个时间序列时，更一般的定义如下：Xt代表n1维的序列向量X1t,X2t,，Xnt，且 (1)每一序列均为I(d)过程，(2)存在n1维向量,使得,XtI(d-b)，那么：,Xt CI(d、b)这一
16、定义使协积概念可以应用到VAR(向量自回归模型)之中，从而赋予协积概念新的维数。在实证计量经济学中，最有趣的情形即为运用协积向量转换后的序列变得平稳，d=b，且构成协积向量的协积系数与变量间长期关系式中的参数保持一致。协积性的检验协积性的检验 恩格尔恩格尔-葛兰杰葛兰杰(EG)或增广恩格尔或增广恩格尔-葛兰葛兰杰杰(AEG)检验检验 多变量协积检验 VAR模型 Johansen检验 两变量的两变量的EngleEngle Granger Granger检验检验 步骤步骤1 1：检验两个变量是否是单积的以及它们单积的阶次。步骤步骤2 2：判断协积向量是已知还是有待估计。(1)协积向量事先已知，检验
17、程序与前面所描述的求和阶数的检验相同。例如：const和inct检验为I(1)过程，协积向量为1，-1。ut=const-inct为回归误差。DF检验：ADF检验：tittuukititittuuu11(2)协积向量未知待估时。我们有以下类型的长期关系式：协积向量1，-1未知待估。运用DF或ADF方程，检验残差估计值 ：(1)与(2)的重要差别：(2)中协积向量所含参数是估计出来的，t分布依赖于被估参数的个数。tttvxy1tv tttv v 1kititittv v v 11 如果变量如果变量X X与与Y Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修
18、正模型表述：总能由一个误差修正模型表述：tttXYlaggedY1),(01（*）式中，t-1是非均衡误差项是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项长期均衡偏差项，是短期调整参数短期调整参数。协积与误差纠正机制协积与误差纠正机制(ECM)Grange表述定理（表述定理（Granger representaion theorem）：）：对于(1,1)阶自回归分布滞后模型 Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 如果 YtI(1),XtI(1);那么tttttXYXY)(11011的左边Yt I(0)，右边的Xt I(0)，因此，只有Y与X协整，才能保证右边也是I(0)。首先首先对变量进行协整分
19、析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。然后然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。注意注意，由于 Y=lagged(Y,X)+t-1+t 01中没有明确指出Y与X的滞后项数，因此，可以是多个；同时，由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中也允许使用X的非滞后差分项Xt。GrangerGranger表述定理可类似地推广到多个变量的情形中去。表述定理可类似地推广到多个变量的情形中去。因此，建立误差修正模型建立误差修正模型，需要 由协整与误差修正模型的的关系，可以可以得到误差修正模型建立的得到误差修正模型建立的E-G两步法：两步法：第一步第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第二步第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。Engle-Granger两步法两步法
