1、复杂系统的可靠性预计复杂系统的可靠性预计成功模型：网络分析法成功模型：网络分析法失败模型：故障树分析方法失败模型：故障树分析方法MarkovMarkov过程分析法过程分析法可修系统可修系统不可修不可修系统系统1、传统的网络分析法、传统的网络分析法-成功模型成功模型步骤步骤:最小路集（最小路集（Minimum Route Set）不交化不交化求概率求概率Rs（t）3 4 1 6 2 5 基本概念基本概念 路：路：从指定输入节点（从指定输入节点（1 1）经过一串弧序可以到达输出）经过一串弧序可以到达输出节点（节点（2 2），称这个弧序列为从），称这个弧序列为从1 1到到2 2的一条的一条路路。最小
2、路最小路：从节点到节点的弧序称为一条最小路，即满：从节点到节点的弧序称为一条最小路，即满足：足：它是一条路；它是一条路；最小性：从这个弧序列中除去任意一条弧后即不是从最小性：从这个弧序列中除去任意一条弧后即不是从到的路。到的路。最小路的长度最小路的长度：最小路中包含的弧数称为最小路的长：最小路中包含的弧数称为最小路的长度。度。3 1 a b 2 e c d 4桥形网络桥形网络ab，cd，aed，ceb最小割集：（最小割集：（Minimum Cut Set）割集：割集：是一些弧的组合，若中所有元素是一些弧的组合，若中所有元素（弧）都故障就使得信息不能从输入节点（弧）都故障就使得信息不能从输入节点
3、到达输出节点，则称该弧集称为一个割集。到达输出节点，则称该弧集称为一个割集。最小割最小割：是一个割集合，且满足最小性，是一个割集合，且满足最小性，即中除去一个元素（弧）后就不是割，则即中除去一个元素（弧）后就不是割，则称为一个最小割。称为一个最小割。桥形网络最小割集：桥形网络最小割集：,ac bd aed ceb最小路与最小割的关系最小路与最小割的关系 利用摩根定律可以实现最小路与最小割的互利用摩根定律可以实现最小路与最小割的互换。假设最小路集为换。假设最小路集为 ，每一条最，每一条最小路由弧小路由弧 构成，即任意一条最小路为：构成，即任意一条最小路为：，系统成功事件：，系统成功事件：利用摩根
4、定律：利用摩根定律：最小割集：最小割集：),2,1(niAiijxijAxixAiijimiAS1 ijAxmiimiimixAASiij111kwCxkxCkkw最小路方法最小路方法 联络矩阵法联络矩阵法之间无弧直接相连到节点节点直接相连之间有弧到节点节点jixjixCij00000000000edebcaC 3 1 a b 2 e c d 4a.左乘法左乘法输出节点的列左乘输出节点的列左乘 先写出阵先写出阵C C，然后列出然后列出C C阵对应于输出节点阵对应于输出节点标号的列，如桥形网络为第二列，用标号的列，如桥形网络为第二列，用C C2 2阵去阵去左乘左乘C C阵，得到的第二列阵，得到的
5、第二列 ，逐次下去可，逐次下去可得到的第二列得到的第二列 (n n为节点数为节点数)。22)(C21)(nC dbCedebcaC0000000000002*)()(2223cebaedCCCebedcdabCCC0)()(222最小路集最小路集:ab,cd,aed,cebab,cdaed,ceb计算计算量大量大b.基于路线矩阵法基于路线矩阵法-节点阵节点阵 路线矩阵路线矩阵:节点下一步可达的节点下一步可达的节点组成节点组成:jCjRR,3 4 1 6 2 5 520630610531620200RIjIjEjRj01,基本矩阵基本矩阵 输入节点输入节点:I,输出节点输出节点:L 节点数节点数
6、:n 节点离开弧的个数矩阵节点离开弧的个数矩阵 节点节点F的初值的初值:记号矩阵记号矩阵nEEEE,21其它011)(LiIiiFnCCCC,21求最小路的求最小路的流程框图流程框图 输入ERLIn,设置初值：),2,1(1,01)(2,1,)1,1(,2,1,1),(21niLiLIiIiiFvwIPIjniCCCCCin ),(),(jCjRwvP 是 否?0),(jCjR 1jCCj (a)是?0),(jCjRF?0),(jCjR 是 否 (e)否 否 0)(jF 停?0),(jCjRF (b)是 (c)11)(),(vvjFwvPj 1,1,2,1),()1,(1wwvkwkPwkPC
7、Cjj 11),2(1vvCCwvPjCjjj （d）节点无重复节点无重复,找找下一个节点下一个节点节点节点j下一次出发下一次出发的节点的节点节点节点 以下以下都走遍，从这都走遍，从这个节点倒退两个节点倒退两个节点，准备个节点，准备走另一支。走另一支。未找到输出未找到输出节点节点一条最小路结一条最小路结束束,准备下一条准备下一条最小路起点最小路起点节点),1(wvp以下都走遍，从这个节点倒退两个节点，准备走另一支。最小路阵最小路阵:1,0,1,0,0,01,2,2,2,2,2002026135016036025FER6626625536111622633335554444444P 3 4 1
8、6 2 5 最小路阵最小路阵:b.不交化不交化|容斥定理容斥定理|布尔不交化布尔不交化定理定理:设设 为无向网络的所有最小路，为无向网络的所有最小路，其中其中 的长度为的长度为n-1n-1，记记 ，则有：，则有：mimjimkjimiimkjijiiimisAPAAAPAAPAPAPR123111)1()()()(mAAA,21mA121nmxxxAlnnimiimixxxxxAA121111()()()P ABP AP AB取一项取一项)(1kA)(1)(2)(11kirikirikAAAFkk例题例题 路长为路长为n-1最小路最小路不交化不交化 选选 ,则则:选选 ,则则 选选 ,则则fg
9、,fecadgabcfgfdbcadecabeg,g febcdag fcdebag f edcabgcefgabcg fadfabcfecadgabcgffecadgabcfgF)()(fabcgabcfg f dcag f dbagcefgcefgabcg fadfabcF)(gcefg f dbag feabcg f dcagabcfg f dcag f dbagcefF)(选选 ,则则:选选 ,则则不交化后的最小路为不交化后的最小路为:求概率求概率:g f dcag fcdbag f eabcg f dbag f eabcg f dcaF)(g feabcg fcdbag fcdbag
10、 feabcF)(Sfgabcfcefgacdfgabcefgabcdfgabcdefgabcdefgabcdefg()sfgabcfcefgacdfgabcefgabcdfgabcdefgabcdefgabcdefgRP Sp pp p p qp p p qp q p q pp p p q p qp q p p q pp p q q p q pp q p p p q pq p p p q p q|代数拓扑运算代数拓扑运算l多维体多维体:一个多维体是一个有序元组，其中一个多维体是一个有序元组，其中每个元与网络中的弧一一对应。每个元与网络中的弧一一对应。每个元素（弧）可以取三种状态：每个元素（弧
11、）可以取三种状态：(0,1,(0,1,x)x)，其中其中1 1表示该弧正常；表示该弧正常；0 0表示该弧故障；表示该弧故障；x x表表示最小路中不存在的弧示最小路中不存在的弧.多维体中多维体中x x的个数的个数定义为多维体的维数。定义为多维体的维数。l如如:桥形网络桥形网络:)11(xxxedcba12112112212112222211A计算机描述方便计算机描述方便,用用2 2代替代替x xl锐积锐积:多维体之间的运算为按位运算。假设多维体之间的运算为按位运算。假设 和和 为两个多维体，则多维体间相应的运算为两个多维体，则多维体间相应的运算规则为：规则为：BABxAxxBA/#itjt),2
12、,1(),1,0(#),(),21#21nkatttattttntttttttttkjkikinkiikjijkikjijkikiji其中相当于，（若任一对组元，相当于若存在任一对组元计算机不交化算法流程图计算机不交化算法流程图 输入多维体集合A 从A中除去含 2 个数最少的行LA，得A CAL 否 是 A为空集吗？#CAC 由C求概率 由C求概率 输出概率例题例题:桥形网络不交化桥形网络不交化dcdcbacbaedcbaedcbappqpppqpppPqqppqppq桥形网络多维体不交和计算结果桥形网络多维体不交和计算结果与C”#”的项步骤步骤取出项取出项C与与C”#”的的项项 C#结果结果
13、 不交和布尔不交和布尔项项代入概率代入概率(abcde)(abcde)(abcde)1(21121)(11222)(22112)(12211)(01101)2(12211)(11222)(22112)(10011)3(11222)(22112)(11022)(11102)4(22112)(22112)AACedbcadecbadabccabcdedcbapqppqedcbaedcbapPqqppqppqdcbacbaedcbaedcbaqpppqpppPqqppqppq2.Markov状态链法状态链法l Markov过程过程(Markov Process简称简称MP)设设 是取值在是取值在 状
14、态空间的状态空间的一个随机过程。若对任意自然数及任意个时一个随机过程。若对任意自然数及任意个时刻点刻点 ，均有，均有:则称则称 为离散状态空间上连续时间为离散状态空间上连续时间的马尔可夫过程的马尔可夫过程 0),(ttX12,nEi iinttt210EiiiitXitXPitXitXitXPnnnnnnnnn,)(/)()(,)(/)(211111110),(ttX定义定义:u状态概率状态概率:u状态转移概率状态转移概率:jtXPtPj)()()()/()ijPtP X ttj X ti齐次齐次MP的性质的性质:(1)对任意的对任意的u,t0,与与u无关无关,则称则称 为齐次为齐次MP.(2
15、)性质性质:EjitPiuXjutXPij,),()(/)(0),(ttXEkijkjikijKjijvuPvPuPtPtP)()()(1)(0)(单部件可用度建模单部件可用度建模 假设：假设：系统的部件只能取两种状态：正常或者故障；系统的部件只能取两种状态：正常或者故障；部件的状态转移率（故障率和修复率）均为常部件的状态转移率（故障率和修复率）均为常数，即部件的故障分布和维修时间分布均服从数，即部件的故障分布和维修时间分布均服从指数分布；指数分布；状态转移可以在任意时刻进行，但在相当小的状态转移可以在任意时刻进行，但在相当小的时间区间内不会发生两个及两个以上的部件转时间区间内不会发生两个及两
16、个以上的部件转移，即同时发生两次或两次以上故障的概率为移，即同时发生两次或两次以上故障的概率为零；零；每次故障或修理的时间与其他时间无关。每次故障或修理的时间与其他时间无关。寿命寿命X和维修时间和维修时间Y服从指数分布：服从指数分布：u定义状态定义状态:E=0,1,0表示部件正常表示部件正常,1表示表示故障故障u画出状态转移图画出状态转移图:1()tP Xtetot 1()tP Ytetot 0 1 t t 1t 1t u写出状态转移概率矩阵写出状态转移概率矩阵:)(11)(/1)()()(1)(/0)()()(0)(/1)()()(10)(/0)()(11100100tOttXttXPtPt
17、OttXttXPtPtOttXttXPtPtOttXttXPtPtttttPij11)(u写出状态转移概率写出状态转移概率:全概率公式全概率公式:1122()(/)()(/)()P AP A B P BP A B P B令令:01021()()()()()()P AP ttP BP tP BP t000011001()()()()()(1)()()()P ttP t PtP t Ptt P ttP tot 利用全概率公式利用全概率公式:000010()()()lim()()tP ttP tP tP tP tt 则则:令令:11021()()()()()()P AP ttP BP tP BP t
18、100111101()()()()()()(1)()()P ttP t PtP t PttP tt P tot 利用全概率公式利用全概率公式:定义定义:状态转移速率矩阵状态转移速率矩阵111010()()()lim()()tP ttP tP tP tP tt 1tIPV则有则有:)()()()()()(101100tPtPtPtPtPtPVtPtP)()(通式通式目标求目标求0()()A tP t解微分方程解微分方程:u当初始条件为当初始条件为:则则:0)0(,1)0(10PPttetPetP)(1)(0)()(tetPtA)(0)()(解微分方程解微分方程:u当初始条件为当初始条件为:则则:
19、01(0)0,(0)1PPttetPetP)(1)(0)()(tetPtA)(0)()(A(t)R(t)1 A(t)R(t)串联系统的可用度模型串联系统的可用度模型系统由系统由N个部件构成个部件构成,其参数为其参数为:u定义状态定义状态:u状态转移图为状态转移图为:NiitiNttx,2,10)(一个修理工修理。正常，系统故障，仅有个部件故障，其余部件第在时刻个部件均正常所有在时刻Niii,2,1,tNii11 0 t 1 t 1 tN t 2 t 2 tN1 2 N t 11 t 21 tN1微分方程为微分方程为:ttttttttttPNNNiNi1000001000011221112100
20、110()()()()()()(1,)NNiiiiijjjjP tP tP tP tP tP tjN 初始条件初始条件:拉氏变换拉氏变换:则则:0,0,1)0(,),0(),0(10NPPP),1()()(1)(010NjsPssPssssPjjjNiii1221110111)(lim)(limNNNiiitttPtAA)(0tP()jP t并联系统可用度建模并联系统可用度建模 并联系统的可用度模型比较复杂，这里仅对并联系统的可用度模型比较复杂，这里仅对两个部件并联的情况进行分析。假设每个两个部件并联的情况进行分析。假设每个部件的寿命与维修时间均服从指数分布部件的寿命与维修时间均服从指数分布.
21、状态状态:0 0在在时时刻刻t t两两个个部部件件均均正正常常1 1在在时时刻刻t t部部件件1 1工工作作，部部件件2 2故故障障，系系统统工工作作2 2在在时时刻刻t t部部件件2 2工工作作，部部件件1 1故故障障，系系统统工工作作3 3在在时时刻刻t t部部件件1 1修修理理，部部件件2 2故故障障，系系统统故故障障4 4在在时时刻刻t t部部件件2 2修修理理，部部件件1 1故故障障，系系统统故故障障x x(t t)=微分方程微分方程:t)(121 1 t1 t2 t11 t21 t2 t1 0 3 4 t1 t2t)(121 t12 t2 t)(112221121211212122
22、143210432100000000)(000)(00)()()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPtPtPtPtP 稳态可用度为稳态可用度为:)()()()(210tPtPtPtAt0212211222214021221112221302122112212021221122211212211211211212221211212211210)()()()()()()(PPPPPPPPPMarkov状态转移链法状态转移链法 将将MPMP法用于求解不可修系统问题法用于求解不可修系统问题.状态状态:完好状态完好状态 一次故障状态一次故障状态 二次故障状态二次故障状态 k次故障状
23、态次故障状态 故障状态故障状态 1 11i 11ki 0 2 21i 21ki n 1i 2i 1 nik u状态转移链长为状态转移链长为1:t01 0 1 t001 1 01)0()0(00)()()()(1010001010PPtPtPtPtP)1()(00100011tCetPu状态转移链长为状态转移链长为2 t01 t12 0 1 2 t001 t111 1 ttCeetP001120011111100001100120121)(u状态转移链长为状态转移链长为n n n n步链故障概率通式步链故障概率通式:t01 t12 t23 tmn,11 0 1 2 n-1 n t001 t111
24、 t221 tnn1,11 110101010,1,1)(nrnktnkrrkkrrkknrrrrrrrCnkknetP状态转移链法的优点状态转移链法的优点:u有通式计算方便有通式计算方便u不用不交化不用不交化u可以借用最小路算法求故障概率可以借用最小路算法求故障概率例题例题 得到状态转移链得到状态转移链:tA B t1 tB tCA)(A 1 2 n 1 C tB)(1 tC tBA)(3 tC)(1 t1 tA 1C 0 n 1 tB)(1 t1 tB tCA)(21C 0 1 n 1 tC)(1 t1 tC tBA)(22C 0 2 n 1tCBAACCBAeP111)()()(1)(1
25、)(1)(221CBABttCBACACACBAtCABtCBABCABCCACBACACBAeeeeP 系统故障概率系统故障概率:)()()(1)(1)(1)(222CBACttCBABABACBAtBACtCBACBACCBACBABCACBAeeeeP12122()()()1CBCCCsnnntttF tPPPeee CBAtttsseeetFtRBC)()()(1)(3、故障树分析方法（、故障树分析方法（FTA）故障树分析法，简称故障树分析法，简称FTA(Fault Tree FTA(Fault Tree Analysis)Analysis)是一种评价复杂系统可靠性与安全性是一种评价复
26、杂系统可靠性与安全性的方法。的方法。早在早在2020世纪世纪6060年代初就由美国贝尔实验室首年代初就由美国贝尔实验室首先提出并应用在民兵导弹的发射控制系统安全性先提出并应用在民兵导弹的发射控制系统安全性分析中，用它来预测导弹发射的随机故障概率。分析中，用它来预测导弹发射的随机故障概率。后来，美国波音公司研制出后来，美国波音公司研制出FTAFTA的计算机程序、的计算机程序、美国洛克希德公司又将美国洛克希德公司又将FTAFTA用于大型旅客机用于大型旅客机L-L-10111011的安全可靠性评价中、的安全可靠性评价中、7070年代年代FTAFTA应用到核应用到核电站事故风险评价中，计算出了初因事件
27、的发生电站事故风险评价中，计算出了初因事件的发生概率，令人信服地导出了核能是一种非常安全的概率，令人信服地导出了核能是一种非常安全的能源的结论。能源的结论。故障树的基本组成：故障树的基本组成：事件与逻辑门事件与逻辑门u故障树：故障树：故障树是一种特殊的树状逻辑因果关系故障树是一种特殊的树状逻辑因果关系图，它用规定的事件、逻辑门和其它符号描述系图，它用规定的事件、逻辑门和其它符号描述系统中各种事件之间的因果关系。逻辑门的输入事统中各种事件之间的因果关系。逻辑门的输入事件是输出事件的件是输出事件的“因因”，逻辑门的输出事件是输，逻辑门的输出事件是输入事件的入事件的“果果”。u基本事件：基本事件：已
28、经探明或尚未探明但必须进一步探已经探明或尚未探明但必须进一步探明其发生原因的底事件，基本元部件故障或人为明其发生原因的底事件，基本元部件故障或人为失误、环境因素等均属于基本事件。失误、环境因素等均属于基本事件。u非基本事件：非基本事件：勿需进一步探明的底事件。一般其勿需进一步探明的底事件。一般其影响可以忽略的次要事件属于非基本事件。影响可以忽略的次要事件属于非基本事件。u 底事件：底事件：位于故障树底部的事件称为底事件，它总是所位于故障树底部的事件称为底事件，它总是所讨论故障树中某个逻辑门的输入事件，它在故障树中不进讨论故障树中某个逻辑门的输入事件，它在故障树中不进一步往下发展。通常在故障树中
29、底事件用一步往下发展。通常在故障树中底事件用“圆形圆形”符号表符号表示。示。u顶事件：顶事件：顶事件就是所分析系统的不希望发生的事件，它顶事件就是所分析系统的不希望发生的事件，它位于故障树的顶端，因此它总是逻辑门的输出而不可能是位于故障树的顶端，因此它总是逻辑门的输出而不可能是任何逻辑门的输入。通常在故障树中顶事件用任何逻辑门的输入。通常在故障树中顶事件用“矩形矩形”符符号表示。号表示。u中间事件：中间事件：除了顶事件外的其它结果事件均属于中间事件，除了顶事件外的其它结果事件均属于中间事件，它位于顶事件和底事件之间，它是某个逻辑门的输出事件，它位于顶事件和底事件之间，它是某个逻辑门的输出事件，
30、同时又是另一个逻辑门的输入事件。通常在故障树中中间同时又是另一个逻辑门的输入事件。通常在故障树中中间事件也用事件也用“矩形矩形”符号表示符号表示 。u房形事件：房形事件：房形符号是由一个房形符号表示的底事件，它房形符号是由一个房形符号表示的底事件，它有两个作用：一个是触发作用，房形中标明的事件是一种有两个作用：一个是触发作用，房形中标明的事件是一种正常事件，但它能触发系统故障；一种是开关作用，当房正常事件，但它能触发系统故障；一种是开关作用，当房形中标明的事件发生时，房形所在的其它输入保留，否则形中标明的事件发生时，房形所在的其它输入保留，否则去除。作为开关作用的房形事件可以是正常事件也可以是
31、去除。作为开关作用的房形事件可以是正常事件也可以是故障事件。通常在故障树中房形事件用故障事件。通常在故障树中房形事件用“房形房形”符号表示。符号表示。u菱形事件：菱形事件：表示准底事件或称非基本事件，一般表示那些表示准底事件或称非基本事件，一般表示那些可能发生，但概率值比较小或不需要再进一步分析或探明可能发生，但概率值比较小或不需要再进一步分析或探明的故障事件。通常在故障树中小概率事件用的故障事件。通常在故障树中小概率事件用“菱形菱形”符号符号表示。表示。u条件事件：条件事件：条件事件与逻辑门连用，用条件事件与逻辑门连用，用“椭圆形椭圆形”符号表符号表示，表示当椭圆形中注明的条件事件发生时，逻
32、辑门的输示，表示当椭圆形中注明的条件事件发生时，逻辑门的输入才有作用输出才有结果，否则反之。入才有作用输出才有结果，否则反之。结果事件 底事件 房形事件 菱形事件 条件事件逻辑门：逻辑门：静态逻辑门和动态逻辑门静态逻辑门和动态逻辑门静态逻辑门静态逻辑门 与门 或门 异或门 逻辑禁门 转移符号 +功能触发门功能触发门 优先与门优先与门 顺序门顺序门 冷贮备门冷贮备门 热贮备门热贮备门动态逻辑门动态逻辑门建树方法：建树方法：人工建树和自动建树人工建树和自动建树u人工建树原则：人工建树原则：（1)1)故障事件应精确定义，指明故障是什么，在何故障事件应精确定义，指明故障是什么，在何种条件下发生，必须在
33、框中叙述清楚；种条件下发生，必须在框中叙述清楚；（2)2)问题的边界条件应定义清楚，明确限定故障树问题的边界条件应定义清楚，明确限定故障树的范围，并作一定假设，如导线不会故障，不考的范围，并作一定假设，如导线不会故障，不考虑人为失误等；虑人为失误等；（3)3)建树应逐级进行，不允许建树应逐级进行，不允许“跳跃跳跃”，即不允许，即不允许门与门直接相连、事件与事件直接相连。门的全门与门直接相连、事件与事件直接相连。门的全部输入事件确定清楚，输出有结果事件才能与另部输入事件确定清楚，输出有结果事件才能与另一个门相连。遵循这一原则能够保证每一个门的一个门相连。遵循这一原则能够保证每一个门的输出都是清楚
34、的，输入都是确定的。输出都是清楚的，输入都是确定的。操纵系统无意中锁住 +图中：1E上锁控制电磁阀通电；1E 2E 2E液压传至上锁控制电磁阀；3E上锁使1号电磁阀通电；+4E上锁使2号电磁阀通电；1手动上锁电门故障在关闭位置；3E 4E 2输矩朝量电门故障在关闭位置；1 2 3上锁使电门故障在关闭位置；4上锁使电门关闭在断开位置；51号电磁阀热短路；1 3 5 1 4 6 62号电磁阀热短路。u自动建树自动建树 合成法合成法 决策表法决策表法合成法合成法 合成法是在部件故障模式分析的基础上，合成法是在部件故障模式分析的基础上，用计算机程序对子故障树用计算机程序对子故障树(MFTMini Fa
35、ult Tree)进行编辑的一种方法进行编辑的一种方法。通过计算机将一些。通过计算机将一些分散的小故障树按一定的分析要求自动地画成分散的小故障树按一定的分析要求自动地画成分析人员所要求的子故障树。由合成法得到的分析人员所要求的子故障树。由合成法得到的故障树不论什么人进行建树其故障树唯一的故障树不论什么人进行建树其故障树唯一的,因此建立典型分系统的子故障树库是合成法的因此建立典型分系统的子故障树库是合成法的关键。其缺点是在这种合成中不能考虑二次故关键。其缺点是在这种合成中不能考虑二次故障和部件有反馈作用的故障部件。障和部件有反馈作用的故障部件。输入系统结构和边界条件划定部件回路部件故障分类及描述
36、 否 是否第一类 故障事件？是建立顶事件选择下一个逻辑门是哪一类 故障事件？第三类 第二类 第四类 代入所有包含 按故障输出事件 代入部件 该事件的部件回路 找出所有的 及有关输入 子故障树 代入可能的 否 还有合适 代入子故障树 第二类故障事件 的子故障树？适合的边界条件 代入合适的 第三类故障事件 合成到树内 合成新的门 产生新边界条件 还有事件 是 打印输出 最后编辑 需要进一步分解？结构函数：结构函数：-单调关联系统单调关联系统单调关联系统具有下述性质：单调关联系统具有下述性质：（1 1）系统中的每个元部件对系统可靠性都有一定影）系统中的每个元部件对系统可靠性都有一定影响，只是影响程度
37、不同而已；响，只是影响程度不同而已；（2 2）系统中所有元部件故障，则系统一定故障；反）系统中所有元部件故障，则系统一定故障；反之，所有元部件正常，系统一定正常；之，所有元部件正常，系统一定正常；（3 3）系统中故障部件的修复不会使系统由正常转为）系统中故障部件的修复不会使系统由正常转为故障；反之，正常元部件故障不会使系统由故障故障；反之，正常元部件故障不会使系统由故障转为正常；转为正常；（4 4）任何一个单调关联系统的故障概率不会比由相）任何一个单调关联系统的故障概率不会比由相同部件构成的串联系统坏，也不会比由相同部件同部件构成的串联系统坏，也不会比由相同部件构成的并联系统好。构成的并联系统
38、好。底事件底事件顶事件顶事件不发生时当底事件发生时当底事件iiieex01不发生时当顶事件发生时当顶事件TTX01)(),()(21nxxxX结构函数结构函数（1）“AND”结构函数（并联结构）结构函数（并联结构）（2）“OR”结构函数（串联系统）结构函数（串联系统）iniiinixxxXmin)(11iniiinixxxXmax)1(1)(11（3）“K/N（F）”结构函数结构函数其余情况当01)(1niiKxX（4 4）任意复杂系统故障树结构函数）任意复杂系统故障树结构函数 T T T +K/N 1x 2x 3x 1x 2x 3x 1x 2x 3x (a)AND 结构 (b)OR 结构 (
39、c)K/N(F)系统结构 T +1G 2G b 3G 4G a +d 5G c 6G e c e d 桥形网络的结构函数桥形网络的结构函数:edcacedbX)(注意：注意：:所有底事件均所有底事件均为非，即事件发生！为非，即事件发生！静态故障树的定性定量分析静态故障树的定性定量分析求最小割集求最小割集不交化不交化求概率求概率F（t）失败法失败法求最小割集求最小割集 割集：割集：设是一些基本事件组成的集合。若设是一些基本事件组成的集合。若中每个事件都发生（故障），即引起顶事中每个事件都发生（故障），即引起顶事件发生，则称为故障树的一个割，所有符件发生，则称为故障树的一个割，所有符合以上定义的组
40、成的集合称为割集。合以上定义的组成的集合称为割集。最小割集：最小割集：若是一个割，且从中任意去掉若是一个割，且从中任意去掉一个事件后就不是割，则称为一个最小割。一个事件后就不是割，则称为一个最小割。下行法求最小割集下行法求最小割集定性分析定性分析 从顶事件往下逐级进行，用各门的输入基从顶事件往下逐级进行，用各门的输入基本事件来置换各门的输出，直到全部输入本事件来置换各门的输出，直到全部输入都是基本底事件为止。这种算法的原理是：都是基本底事件为止。这种算法的原理是：与门只能增加割集的元素数，而或门则能与门只能增加割集的元素数，而或门则能增加割集的数量。因此，置换的具体做法增加割集的数量。因此，置
41、换的具体做法是：将与门的输入事件排成行（增加一个是：将与门的输入事件排成行（增加一个割集的容量）；将或门的输入事件排成列割集的容量）；将或门的输入事件排成列（增加割集的数量）。最后，列举矩阵一（增加割集的数量）。最后，列举矩阵一列表示出全部用基本事件表示的割集。列表示出全部用基本事件表示的割集。1 2 3 4 5 6G1 bG3 bd bd bd bdG2 G2 bG5 bec bec bec G2 aG4 ac ac aG6 aed T +1G 2G b 3G 4G a +d 5G c 6G e c e d 最小割集：最小割集：bd，ac，aed，bec上行法求最小割集上行法求最小割集 上行
42、法是由下而上进行的，每上行法是由下而上进行的，每做一步，利用集合运算规则进做一步，利用集合运算规则进行简化。行简化。为了书写方便，用为了书写方便，用“+”+”代替代替“”“”，且省去，且省去“”“”符号。符号。最下级：最下级：G5=ec G6=ed往上一级：往上一级：G3=d+ec G4=ed+c在往上一级：在往上一级：G1=bd+bec G2=ac+aed最上级：最上级：bd+bec+ac+aed T +1G 2G b 3G 4G a +d 5G c 6G e c e d 故障树定量评定故障树定量评定u不交化不交化|容斥定理容斥定理|布尔不交化布尔不交化|代数拓扑运算代数拓扑运算u求概率求概
43、率 1()ljjF tPC1()ljjF tPC可简化可简化F(t)=P(A)+P(B)而对于最小割集，同样可以得到不交化而对于最小割集，同样可以得到不交化后的故障概率表达式后的故障概率表达式:liljilkjiililkjijiiilisCPCCCPCCPCPCPF123111)1()()()(在工程上，当基本事件的故障概率在工程上，当基本事件的故障概率很小时（实际情况经常如此），可很小时（实际情况经常如此），可以忽略高次项，采用近似公式求以忽略高次项，采用近似公式求:liiimisCPCPTPF11)()(问题问题:组合爆炸组合爆炸 容斥定理公式有容斥定理公式有 项，项，l为最小割集数，为
44、最小割集数，不能太多，当不能太多，当l=40时，时，出现所谓出现所谓“组合爆炸组合爆炸”的问题。由于复杂的问题。由于复杂系统组成部件经常是成百上千个，因而最系统组成部件经常是成百上千个，因而最小割集的数目大于小割集的数目大于40的情况很多。因此求的情况很多。因此求最小割集的方法只能用于小型故障树。最小割集的方法只能用于小型故障树。12 l124010112故障树的模块化分解故障树的模块化分解 由上述故障树的分析步骤可以看出，任何由上述故障树的分析步骤可以看出，任何一个复杂的故障树分析不仅包括建造故障一个复杂的故障树分析不仅包括建造故障树，而且包含求最小割集、最小割集不交树，而且包含求最小割集、
45、最小割集不交化及计算顶事件故障概率等，其计算量是化及计算顶事件故障概率等，其计算量是巨大的。一般对于复杂系统而言，故障树巨大的。一般对于复杂系统而言，故障树的计算量随着故障树规模的加大呈指数增的计算量随着故障树规模的加大呈指数增长。为了减少故障树分析的计算量，常采长。为了减少故障树分析的计算量，常采用以下措施：用以下措施：(1)模块分解模块分解割顶点法割顶点法(Cut Vertex)V V +2/3(G)+2/3(G)V +1 2 3 4 5 3 4 5 1 2绕开重复事件，从而分解出更多的模块绕开重复事件，从而分解出更多的模块 (2)故障树早期不交化故障树早期不交化 一般故障树分析存在一般故
46、障树分析存在“组合爆炸组合爆炸”的的问题，故障树的要害是繁，因此在故问题，故障树的要害是繁，因此在故障树分析时提倡障树分析时提倡“三早三早”即即:早期分解早期分解模块，早期进行逻辑简化，早期不交模块，早期进行逻辑简化，早期不交化。化。早期不交化是故障树的早期不交化是故障树的“早期修剪早期修剪术术”：早去复枝，免其繁衍，：早去复枝，免其繁衍，“复枝复枝”是重复事件。是重复事件。动态故障树评定动态故障树评定MP过程过程功能触发门功能触发门:优先与门优先与门:顺序门顺序门:冷贮备门冷贮备门:热贮备门热贮备门:P 1S Sn 动态故障树处理方法动态故障树处理方法 NP-hard问题问题;层次化模块化分
47、解技术层次化模块化分解技术;动态故障树仅为一小部分动态故障树仅为一小部分;独立子树独立子树等效故障率和维修率等效故障率和维修率;递归求解递归求解F(t)例题例题系统各个部分的故障率系统各个部分的故障率部件代号HaHbHc SaSbScS1S2S3BaBbBcIUmv故障率(10-5/小时)1001001005050505050501110.10.1系统各个部分及整个系统的的故障概率系统各个部分及整个系统的的故障概率故障代号HSMSPBT故障概率2.99700210-64.68281510-149.99999510-73.9970010-6 9.99999510-7 1.99850210-12
48、动态故障树动态故障树主主计计算算机机控控制制系系统统故故障障（T T2 2）旁旁路路计计算算机机控控制制系系统统故故障障（T T3 3）CSP计计算算机机控控制制系系统统故故障障(T T1 1)旁旁路路接接口口单单元元(E E1 1)旁旁路路计计算算机机系系统统(E E2 2)旁旁路路飞飞行行传传感感器器(E E3 3)旁旁路路计计算算机机控控制制系系统统分分系系统统故故障障旁旁路路接接口口单单元元(E E4 4)旁旁路路计计算算机机系系统统(E E5 5)旁旁路路飞飞行行传传感感器器(E E6 6)2/3操操 纵纵杆杆、位位置置传传感感器器(E E7 7)电电子子伺伺服服系系统统(E E8
49、8)余余度度舵舵机机(E E9 9)系系统统故故障障(T T)G1G3G1G2G4G5层次化模块化分析方法层次化模块化分析方法动态故障树分析过程动态故障树分析过程遍历过程遍历过程遍历结果遍历结果S1234567VT(G1)T1(G2)T2(G3)E1E2E3T2(G3)S891011121314VT1(G2)T3(G4)T4(G5)E4E5E6T4(G5)S15161718192021VT3(G4)T1(G2)T(G1)E7E8E9T(G1)TT1T2T3T4E1E2E3E4E5E6E7E8E9First_visitSecond_visitLast_visit11721281637791515
50、101414444555666111111121212131313181818191919202020MinMax是否为模块220是315是46是1014是1113是动态故障树的遍历过程表动态故障树的遍历过程表动态故障树的遍历结果表动态故障树的遍历结果表 重要度的定义重要度的定义:一个部件或一个割集对顶事一个部件或一个割集对顶事件发生的贡献称之为该部件或割集的重要件发生的贡献称之为该部件或割集的重要度。重要度在可靠性工程中是非常重要的度。重要度在可靠性工程中是非常重要的概念，它不仅用于可靠性优化、可靠性分概念，它不仅用于可靠性优化、可靠性分配，还可指导系统运行和维修。配，还可指导系统运行和维修
