1、第五章第五章 5.1欧洲中世纪的回顾欧洲中世纪的回顾 在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明兴盛时代，兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。大约在公元大约在公元500500年左右，欧洲才开始出现新文化。年左右，欧洲才开始出现新文化。从从5 5世纪中世纪中叶到叶到1515世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时期。期。在这在这10001000年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生产停滞，经济
2、凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造，产停滞，经济凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。也没有值得一提的科学著作。5 5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实罗马人偏重实用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。几何和测量。这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。另一方面，基督教统治人民，为了达到在精神上麻另一方面，基督教统治人民，为了达到
3、在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生今生忍辱负重，来生进入天堂进入天堂”的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学习和研究的习和研究的“百科全书百科全书”。在这个时期甚至从法律上明。在这个时期甚至从法律上明文禁止学习和研究数学，
4、如罗马皇帝狄奥多西的法典中文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥多西的法典中规定：规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。任何人不得向占卜人与数学家请教。”出现这一科学技术大倒退局面的原因是：出现这一科学技术大倒退局面的原因是：在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的自由的学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均等均已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。平低下的算术和几何教材。罗马人博埃齐（约罗马人博埃齐（约4
5、80480524524）是罗马的一个贵族，）是罗马的一个贵族，曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含几何原本几何原本的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕用了近千年之久
6、，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。入狱并死在狱中。1100 1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了一场前后八次历时近一场前后八次历时近200200年的侵略性远征年的侵略性远征十字军东征十字军东征。十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却促进了东西方的文化交流促进了东西方的文化交流。许多用阿拉伯文保存下来的古。许多用阿拉伯文保存下来的古希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所
7、示：欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所示：随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育
8、的。等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育的。如如1313世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字军世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字军东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的，东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的，但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。在十字军东征中，在十字军东征中，意大利意大利商人获得了巨大利益，意大利商人获得了巨大利益，意大利在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来的文艺复兴奠定了基础。的文艺复兴奠定了基础。由于商业贸易和一系
9、列的十字军东征，欧洲人开始了解由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的加速发展。在加速发展。在12121515世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙
10、学习并将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国人阿德拉特人阿德拉特(约约1120)1120)翻译的翻译的几何原本几何原本和花拉子米的天文和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（表；意大利人普拉托（1212世纪上半叶）翻译的巴塔尼的世纪上半叶）翻译的巴塔尼的天天文学文学和狄奥多修斯的和狄奥多修斯的球面几何球面几何以及其它著作。以及其它著作。1212世纪世纪最伟大的翻译家格拉多（最伟大的翻译家格拉多（1114-11871114-1187）将）将9090多部阿拉伯文著多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的作翻译成拉丁文，其中包括托勒
11、密的大汇编大汇编、欧几里得、欧几里得的的几何原本几何原本、花拉子米的、花拉子米的代数学代数学。因此，有人评价因此，有人评价1212世纪是欧洲数学的翻译时代世纪是欧洲数学的翻译时代，是数学，是数学史上翻译家的世纪。史上翻译家的世纪。可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以及可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以及印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展起印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展起了一定的作用。了一定的作用。13 13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是斐波那契斐波那契(Fibonacci,1170(Fibonacci,11
12、701250)1250)。斐波那契斐波那契：意大利比萨人，父亲是：意大利比萨人，父亲是一位商人。当时意大利的大商行在地中一位商人。当时意大利的大商行在地中海的许多地方设有海外商站，其父就在海的许多地方设有海外商站，其父就在比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数学，积累了丰富的数学知识。学，积累了丰
13、富的数学知识。他特别欣赏印度阿拉伯计算方法在实用上的优越性。他特别欣赏印度阿拉伯计算方法在实用上的优越性。12021202年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数学名著学名著算盘书算盘书。这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度著作的内容，包括印度-阿拉伯数码的读法和写法；整数与阿拉伯数码的读法和写法；整数与分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及几何原本几何原本和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的和希腊三角学
14、的大部分内容（如中国数学的“孙子问题孙子问题”，“百鸡问题百鸡问题”均出现于该书中）。特别是，均出现于该书中）。特别是，书中系统介绍了印度书中系统介绍了印度-阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。算盘书算盘书可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。之后走向复苏的号角。书中还有一个有趣的书中还有一个有趣的兔子问题兔子问题：“假定大兔每月生一对小兔，小兔假定大兔每月生一对小兔，小兔1 1个月就长成大个月就长成大兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？”由该问题引出了著名的由
15、该问题引出了著名的斐波那契数列（斐波那契数列（1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434），即从第三项开始，每一项），即从第三项开始，每一项都是前相邻两项的和。都是前相邻两项的和。此数列的递推关系式为：此数列的递推关系式为：nnnnnnnn)()(F)(FFFF)n(FFF251512515115211312121 通通项项公公式式为为 直到现在，美国的直到现在，美国的斐波那契季刊斐波那契季刊还专门刊载这个还专门刊载这个数列性质的最新成果。数列性质的最新成果。斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其后的后的1
16、414世纪数学并没有蓬勃发展起来，这是由于连年战乱世纪数学并没有蓬勃发展起来，这是由于连年战乱再加上鼠疫的流行，大大阻碍了科学的发展。此外，经院再加上鼠疫的流行，大大阻碍了科学的发展。此外，经院哲学的势力也使科学抬不起头来。许多学者把时间和精力哲学的势力也使科学抬不起头来。许多学者把时间和精力消磨在诸如消磨在诸如“一个针尖上能站立几个天使一个针尖上能站立几个天使”之类的玄妙莫之类的玄妙莫测的无聊问题上。测的无聊问题上。1414世纪相对来说成为数学上的不毛之地，世纪相对来说成为数学上的不毛之地，数学的发展处于停滞时期。数学的发展处于停滞时期。但历史总要发展，人们对长达一千多年的黑暗统治已但历史总
17、要发展，人们对长达一千多年的黑暗统治已经忍无可忍，社会、政治、经济和文化的种种原因，使得经忍无可忍，社会、政治、经济和文化的种种原因，使得这一黑暗时期终于走到了尽头，取而代之的是一场规模宏这一黑暗时期终于走到了尽头，取而代之的是一场规模宏大的大的文艺复兴运动。文艺复兴运动。14 14世纪初到世纪初到1717世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革和世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革和动荡之中。西欧国家先后发生资产阶级文化运动，出现了人类动荡之中。西欧国家先后发生资产阶级文化运动，出现了人类历史上文化蓬勃发展的新时期历史上文化蓬勃发展的新时期文艺复兴时期。即打着复兴文艺复兴时期。即打着复兴古希腊和
18、罗马的科学和艺术的旗帜，开创了建立资产阶级新文古希腊和罗马的科学和艺术的旗帜，开创了建立资产阶级新文化的思想解放运动。在化的思想解放运动。在1414世纪发端于意大利，之后波及整个欧世纪发端于意大利，之后波及整个欧洲。特别是洲。特别是15151616世纪的世纪的200200年中，形成文艺复兴的全盛时期年中，形成文艺复兴的全盛时期或称为科学的革命时期。或称为科学的革命时期。在这一时期，欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会在这一时期，欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的可喜景象，科学文化技术包括数学，也随之复苏并逐大进步的可喜景象，科学文化技术包括数学，也随之复苏并逐渐繁荣起来。从此渐繁
19、荣起来。从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。为世界数学发展的中心。5.25.2欧洲文艺复兴时期的数学欧洲文艺复兴时期的数学 受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要集中在代数学和三角形方面。集中在代数学和三角形方面。从地理位置与时间上看，欧洲从地理位置与时间上看，欧洲数学首先在意大利和德国崛起，德国人的贡献主要在天文学数学首先在意大利和德国崛起，德国人的贡献主要在天文学与三角学，而意大利的卓越之处在于代数学的发展。法国直与三角学，而意大利的卓越之处在于代数学的发展。法国直到
20、到1616世纪末才显示出她的力量，主要包括韦达、帕斯卡、笛世纪末才显示出她的力量，主要包括韦达、帕斯卡、笛卡儿和费马的工作。卡儿和费马的工作。公元前公元前3 3世纪世纪公元公元1717世纪，几何学几乎是欧氏几何一世纪，几何学几乎是欧氏几何一统天下，欧几里得成为几何学的同义语。这一状况直到解统天下，欧几里得成为几何学的同义语。这一状况直到解析几何的出现才有所改观。在解析几何产生的同时，还出析几何的出现才有所改观。在解析几何产生的同时，还出现了另一种几何学现了另一种几何学射影几何射影几何，其奠基人是法国数学家，其奠基人是法国数学家笛沙格和帕斯卡笛沙格和帕斯卡。1.1.透视理论的创立与三角学的独立透
21、视理论的创立与三角学的独立 （1 1）透视理论）透视理论 中世纪的宗教绘画具有象征中世纪的宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目描绘现实世界成为绘画的重要目标。这就使画家们思考如何将三标。这就使画家们思考如何将三维现实世界绘制到二维的画布上。维现实世界绘制到二维的画布上。正是由于绘画、制图的刺激而导正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起，从而诞生了射透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。笛沙格用透视方法研影几何学。笛沙格用透视方法研究图形的性质，奠定了射影空间究图形的性质，奠定
22、了射影空间的基础，得到了的基础，得到了笛沙格定理：如笛沙格定理：如果两个三角形对应顶点的连线共果两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。反点，则其对应边的交点共线。反之也对。之也对。笛沙格笛沙格生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师和建筑师。他没有沿用研究圆锥曲线的传统方法，而是从一和建筑师。他没有沿用研究圆锥曲线的传统方法，而是从一个全新的角度考察了圆锥曲线。他引入无穷远点和无穷远直个全新的角度考察了圆锥曲线。他引入无穷远点和无穷远直线，把直线变成一个具有无限大半径的圆。平行直线在无穷线，把直线变成一个具有无限大半径的圆。平行直线在无
23、穷远点处相交，焦点重合的椭圆退化为圆，有一个焦点在无穷远点处相交，焦点重合的椭圆退化为圆，有一个焦点在无穷远处的椭圆是一条抛物线。远处的椭圆是一条抛物线。17 17世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕斯卡。斯卡。帕斯卡帕斯卡：法国人。三岁丧母，体弱多病，其父为专心：法国人。三岁丧母，体弱多病，其父为专心培养帕斯卡，没有再要孩子。他考虑到帕斯卡身体太差，培养帕斯卡，没有再要孩子。他考虑到帕斯卡身体太差，怕他累着，不许帕斯卡学习数学，只让他学习语言。因为怕他累着，不许帕斯卡学习数学，只让他学习语言。因为帕斯卡的父亲是一位小有名气的数学家，深知学习
24、与研究帕斯卡的父亲是一位小有名气的数学家，深知学习与研究数学要求人必须为之付出艰苦繁重的脑力劳动。但帕斯卡数学要求人必须为之付出艰苦繁重的脑力劳动。但帕斯卡受到父亲及其数学家朋友数学研究活动的熏陶，耳濡目染，受到父亲及其数学家朋友数学研究活动的熏陶，耳濡目染，对数学产生了浓厚的好奇心。帕斯卡请求家庭教师偷偷地对数学产生了浓厚的好奇心。帕斯卡请求家庭教师偷偷地教给他几何学。不久教给他几何学。不久1212岁的帕斯卡独立发现了三角形内角岁的帕斯卡独立发现了三角形内角和为和为1801800 0等重要命题。父亲惊喜地发现了儿子的数学天分，等重要命题。父亲惊喜地发现了儿子的数学天分，送给儿子一本欧几里得的
25、送给儿子一本欧几里得的几何原本几何原本，帕斯卡如获至宝。，帕斯卡如获至宝。从此，帕斯卡走上了研究数学的道路。从此，帕斯卡走上了研究数学的道路。帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。1010岁时，他岁时，他发现一只发声的玻璃杯用手指一碰便不再有声。由于健康发现一只发声的玻璃杯用手指一碰便不再有声。由于健康原因，帕斯卡没能上大学学习，从原因，帕斯卡没能上大学学习，从1414岁起，他跟随父亲参岁起，他跟随父亲参加每周一次的加每周一次的“梅森学院梅森学院”的聚会，听有名的数学家和物的聚会，听有名的数学家和物理学家作学术报告。理学家作学术报告。16661666年梅森学院
26、发展为法国科学院。年梅森学院发展为法国科学院。1616岁的帕斯卡写了一篇关于圆锥曲线的论文，在梅森学院岁的帕斯卡写了一篇关于圆锥曲线的论文，在梅森学院宣读。大家不敢相信这么深刻的一篇文章竟然出自一位宣读。大家不敢相信这么深刻的一篇文章竟然出自一位1616岁少年的手。笛卡儿甚至怀疑该论文是帕斯卡的父亲起草岁少年的手。笛卡儿甚至怀疑该论文是帕斯卡的父亲起草的。在该文中，帕斯卡证明了帕斯卡定理。的。在该文中，帕斯卡证明了帕斯卡定理。帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，此线称为帕斯卡线，反之也对。三对对边的交点共线，此
27、线称为帕斯卡线，反之也对。帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。1919岁的帕斯卡为了岁的帕斯卡为了减轻父亲繁重的计算，花了两年时间发明出世界上第一台减轻父亲繁重的计算，花了两年时间发明出世界上第一台六位数手摇机械加法计算机。在数学上，帕斯卡还创立了六位数手摇机械加法计算机。在数学上，帕斯卡还创立了概率论。为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡概率论。为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡应用了帕斯卡三角，并深入研究了二项展开式的系数规律，应用了帕斯卡三角，并深入研究了二项展开式的系数规律，写成了写成了论算术三角形论算术三角形一书。在此书中，帕斯卡成功运一书。在此
28、书中，帕斯卡成功运用数学归纳法来证明数学定理，从而奠定了数学归纳法在用数学归纳法来证明数学定理，从而奠定了数学归纳法在数学证明中的地位。在物理上，数学证明中的地位。在物理上，2323岁的他推测出大气压力岁的他推测出大气压力的存在，还发现了流体力学的帕斯卡定理。的存在，还发现了流体力学的帕斯卡定理。2525岁时，当他岁时，当他正享有科学家的盛誉时，突然决定放弃科学研究而献身于正享有科学家的盛誉时，突然决定放弃科学研究而献身于哲学和宗教，这种难以理解的行为不能不算是科学界的极哲学和宗教，这种难以理解的行为不能不算是科学界的极大损失。大损失。十七世纪的数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他十七世纪的
29、数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他们认为用代数方法处理数学问题一般更有效，也容易获得科们认为用代数方法处理数学问题一般更有效，也容易获得科技所需要的数量结果。而射影几何学家的方法是综合的，并技所需要的数量结果。而射影几何学家的方法是综合的，并且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科。些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科。笛沙格、帕斯卡等人的工作与结果也逐渐被人们
30、所遗忘，直笛沙格、帕斯卡等人的工作与结果也逐渐被人们所遗忘，直到十九世纪才又被人们重新认识。到十九世纪才又被人们重新认识。航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。在古希腊和印度、阿拉伯人的眼中，三角形是天文学发展。在古希腊和印度、阿拉伯人的眼中，三角形是天文学的附庸，它仅仅是为了天文学的研究而使用的一种工具。的附庸，它仅仅是为了天文学的研究而使用的一种工具。14501450年前，三角形一般指球面三角学。后来由于间接测量、年前，三角形一般指球面三角学。后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角，因此平面三角学的发展测绘工作的需要
31、而出现了平面三角，因此平面三角学的发展较晚。较晚。1515世纪，德国数学家穆勒将三角学从天文学的奴隶地位世纪，德国数学家穆勒将三角学从天文学的奴隶地位中解放出来，使三角学成为一个独立的数学分支。他写了中解放出来，使三角学成为一个独立的数学分支。他写了三角全书三角全书，阐述了平面三角和球面三角的正余弦定理及，阐述了平面三角和球面三角的正余弦定理及如何解平面和球面三角形。如何解平面和球面三角形。（2 2）三角学）三角学 翻译家格拉多（翻译家格拉多（1114111411871187）将花拉子米的）将花拉子米的代数学代数学翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播。在花拉子米发现二次翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播
32、。在花拉子米发现二次方程的求根公式之后，数学家们自然联想到三次、四次方方程的求根公式之后，数学家们自然联想到三次、四次方程的求根公式问题。虽然人们也很早就接触到三次方程，程的求根公式问题。虽然人们也很早就接触到三次方程，并找到一些特殊解法，但并找到一些特殊解法，但1616世纪前，数学家们一直未能找世纪前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式。甚至到三次方程的一般求根公式。甚至1515世纪的意大利数学家世纪的意大利数学家帕西奥里认为，求解三次方程与化圆为方问题一样是不可帕西奥里认为，求解三次方程与化圆为方问题一样是不可能的。能的。1616世纪以前，数学家们对三次、四次方程的求根公式世纪以前
33、，数学家们对三次、四次方程的求根公式的研究都已失败而告终。的研究都已失败而告终。1616世纪初，情况发生了变化。世纪初，情况发生了变化。一一项重要的数学成就项重要的数学成就三、四次方程的求根公式被发现了。三、四次方程的求根公式被发现了。2、三、四次方程求根公式的发现、三、四次方程求根公式的发现 三次方程求根公式的历史是与三次方程求根公式的历史是与1616世纪意大利数学家之世纪意大利数学家之间的数学论战联系在一起的。当时意大利的数学家们常常间的数学论战联系在一起的。当时意大利的数学家们常常互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也为了各自的互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也为了各自的切身利益
34、。失败者名誉扫地，门前冷落，不能再招到弟子，切身利益。失败者名誉扫地，门前冷落，不能再招到弟子，从而失去经济来源。而胜利者则会受到邀请，去各地讲学，从而失去经济来源。而胜利者则会受到邀请，去各地讲学，受人拥戴，从者如云，财源滚滚。所以，一个新方法的发受人拥戴，从者如云，财源滚滚。所以，一个新方法的发明者往往不肯轻易泄露自己的发现。因为一旦有了这样的明者往往不肯轻易泄露自己的发现。因为一旦有了这样的秘密武器，他就可以向对手提出自己拥有解法的相关问题。秘密武器，他就可以向对手提出自己拥有解法的相关问题。然而，这样的秘密武器却给三次方程求根公式的发现者带然而，这样的秘密武器却给三次方程求根公式的发现
35、者带来了不幸。来了不幸。1515年，意大利波仑亚大学的年，意大利波仑亚大学的费罗费罗教授在寻求三次方教授在寻求三次方程求根公式方面首先取得突破性进展。他发现了形如程求根公式方面首先取得突破性进展。他发现了形如 的三次方程的公式解法，但没有公开发表他的成果，只把的三次方程的公式解法，但没有公开发表他的成果，只把这个秘密透露给了学生这个秘密透露给了学生菲奥菲奥。由于受当时欧洲保密风气的。由于受当时欧洲保密风气的影响，菲奥也未将其公布于世。影响，菲奥也未将其公布于世。0qp,qpxx 3 20年后，一位名不见经传的数年后，一位名不见经传的数学教师学教师塔塔格利亚塔塔格利亚突然宣布他发现突然宣布他发现
36、了三次方程的代数解法。据说他也了三次方程的代数解法。据说他也曾向费罗请教过，但遭到了费罗的曾向费罗请教过，但遭到了费罗的拒绝。因此，他发愤图强，发誓一拒绝。因此，他发愤图强，发誓一定要攻克这一难题。终于，在费罗定要攻克这一难题。终于，在费罗发现的发现的20年后，塔塔格利亚也掌握年后，塔塔格利亚也掌握了一些三次方程的解法。但菲奥认了一些三次方程的解法。但菲奥认为，此项声明纯属欺骗，就向塔塔为，此项声明纯属欺骗，就向塔塔格利亚公开挑战，要求进行一次解格利亚公开挑战，要求进行一次解三次方程的公开竞赛，一决高下，三次方程的公开竞赛，一决高下，塔塔格利亚接受了挑战。塔塔格利亚接受了挑战。这是世界这是世界
37、上最早的数学竞赛。上最早的数学竞赛。塔塔格利亚塔塔格利亚 原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递员，原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递员，在他在他7岁时就去世了，母子三人相依为命。岁时就去世了，母子三人相依为命。13岁时塔塔格利岁时塔塔格利亚在意法战争中头部受伤落下了口吃的毛病。塔塔格利亚即亚在意法战争中头部受伤落下了口吃的毛病。塔塔格利亚即“口吃口吃”之义。他没有接受过正式的教育，全靠自学掌握了之义。他没有接受过正式的教育，全靠自学掌握了拉丁文、希腊文和数学。拉丁文、希腊文和数学。1530年，数学教师科拉向塔塔格利亚提出了两个问题：年，数学教师科拉向塔塔格利亚提出了两个问题：
38、100086,1000)4)(2()2(53)1(2323 xxxxxxxx即即 经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实根，经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实根，因而宣布自己会解三次方程，从而引起了一场公开比赛。因而宣布自己会解三次方程，从而引起了一场公开比赛。在公开赛上双方各向对方出在公开赛上双方各向对方出30个题目，解得多、快且正确个题目，解得多、快且正确的为胜利者。结果，塔塔格利亚用了的为胜利者。结果，塔塔格利亚用了2个小时解完了形如个小时解完了形如 这两种类型的所有三次方程，而菲奥却只能解老师教给他这两种类型的所有三次方程，而菲奥却只能解老师教给他的后一种类型的方程。塔塔格
39、利亚大获全胜，名望大增。的后一种类型的方程。塔塔格利亚大获全胜，名望大增。但他没有陶醉，而是乘胜追击。又经过一段时间的钻研，但他没有陶醉，而是乘胜追击。又经过一段时间的钻研，塔塔格利亚获得了三次方程的一般解法。慕名求教者纷纷塔塔格利亚获得了三次方程的一般解法。慕名求教者纷纷要求他公开解法，但均遭到了拒绝。因为他准备将来著书要求他公开解法，但均遭到了拒绝。因为他准备将来著书立说。立说。nmxxnmxx 323和和 在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，卡当正在撰写一部名为卡当正在撰写一部名为大术大术的代数著作，的代数著作，正为收集资料而发愁。他也花了不少时间研正为收
40、集资料而发愁。他也花了不少时间研究这个问题，但一筹莫展。究这个问题，但一筹莫展。1539年的一天，年的一天，他把塔塔格利亚请入家中款待。在他苦苦哀他把塔塔格利亚请入家中款待。在他苦苦哀求并发誓保密的条件下，塔塔格利亚终于将求并发誓保密的条件下，塔塔格利亚终于将解法写成一首语句晦涩的诗透露给了卡当。解法写成一首语句晦涩的诗透露给了卡当。卡当从各方面研究了这种方法，并以此为线卡当从各方面研究了这种方法，并以此为线索，得到了各种类型的三次方程的解法。可索，得到了各种类型的三次方程的解法。可没过几年，卡当就背信弃义，不守诺言。没过几年，卡当就背信弃义，不守诺言。1545年，在德国纽伦堡出版了关于代数学
41、的年，在德国纽伦堡出版了关于代数学的拉丁文巨著拉丁文巨著大术大术。“数学怪才数学怪才”卡当卡当（15011576）当时，有一位在米兰既教书又行医且不讲道德的人，名叫当时，有一位在米兰既教书又行医且不讲道德的人，名叫卡当卡当。卡当精通数学，又嗜赌如命，还经常给人占卜算命。据。卡当精通数学，又嗜赌如命，还经常给人占卜算命。据说，有一次，他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了说，有一次，他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了这一天，为了赢得这场赌博，居然以自杀的方式结束了自己的这一天，为了赢得这场赌博，居然以自杀的方式结束了自己的一生。一生。大术大术第一次公布了一般三次方程的求根公式，这第一
42、次公布了一般三次方程的求根公式，这是塔塔格利亚教给卡当的解法，当然其中也加入了他自己是塔塔格利亚教给卡当的解法，当然其中也加入了他自己的证明和见解。卡当在本书的一开始就声明：的证明和见解。卡当在本书的一开始就声明：“费罗在费罗在30年前发现了这一法则并传授给菲奥，后来曾与宣称也发现年前发现了这一法则并传授给菲奥，后来曾与宣称也发现该法则的塔塔格利亚竞赛。塔塔格利亚在我的恳求下将方该法则的塔塔格利亚竞赛。塔塔格利亚在我的恳求下将方法告诉了我，但保留了证明。在这种情况下，我克服了很法告诉了我，但保留了证明。在这种情况下，我克服了很大的困难，找到了证明，现陈述如下。大的困难，找到了证明，现陈述如下。
43、”虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍使虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍使塔塔格利亚义愤填膺，于是提出了公开挑战。双方各向对塔塔格利亚义愤填膺，于是提出了公开挑战。双方各向对方提出方提出31个题目，限个题目，限15天交卷，以决胜负。卡当让其学生天交卷，以决胜负。卡当让其学生斐拉里斐拉里应战，但斐拉里经过应战，但斐拉里经过5个月才完卷，且仅做对个月才完卷，且仅做对1题，题，而塔塔格利亚而塔塔格利亚7天内解完了大部分题目，再次获胜。后来，天内解完了大部分题目，再次获胜。后来，塔塔格利亚又去法庭控告卡当，卡当毕竟理亏不敢出庭，塔塔格利亚又去法庭控告卡当，卡当毕竟理亏不敢出庭，就派
44、斐拉里出庭。斐拉里能言善辩，在法庭上倒打一耙，就派斐拉里出庭。斐拉里能言善辩，在法庭上倒打一耙，指控塔塔格利亚偷窃了费罗的成果，再加上本来塔塔格利指控塔塔格利亚偷窃了费罗的成果，再加上本来塔塔格利亚说话就口吃，所以尽管他是受害者，但在这场官司中仍亚说话就口吃，所以尽管他是受害者，但在这场官司中仍然败诉了。后来郁闷而终。最后，由于然败诉了。后来郁闷而终。最后，由于大术大术的影响，的影响，人们将三次方程的求解公式称之为卡当公式。人们将三次方程的求解公式称之为卡当公式。许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论。可信的是，名为
45、卡当公式的一元三次方程公式问题上的争论。可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔格利亚发现的；卡当没有遵守誓言，的求解方法，确实是塔塔格利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔格利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得。因而受到塔塔格利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得。但是，卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归但是，卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔格利亚的发现，所以算不于自己，而是如实地说明了这是塔塔格利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，
46、说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔格利亚泄露给他的秘密加以补充，作。卡当用自己的工作对塔塔格利亚泄露给他的秘密加以补充，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元探索一元n n次方程根式解法的进程。虽然从道义上讲，卡当的次方程根式解法的进程。虽然从道义上讲，卡当的行为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗和塔塔格利亚行为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗和塔塔格利亚那样将自己的成果秘而不宣，那么，科学发展到今天会是什么那样将自己的成果秘而不宣，那么，科学发展到今天会是什么样子就很难预料了。所以塔塔格利亚的悲剧
47、留给人们的教训是：样子就很难预料了。所以塔塔格利亚的悲剧留给人们的教训是：数学家不该以任何借口推迟发表他的发现，学术上的优先数学家不该以任何借口推迟发表他的发现，学术上的优先权往往属于第一个发表的人。权往往属于第一个发表的人。1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出一个四次年，意大利数学家达科伊向卡当提出一个四次方程的问题，卡当未能解决，但由其学生方程的问题，卡当未能解决，但由其学生斐拉里斐拉里解决，其解决，其解法被卡当写进解法被卡当写进大术大术中。中。任意的四次方程总是可以通任意的四次方程总是可以通过变形，变为三次方程来得到解决。四次方程的根和二次、过变形，变为三次方程来得到解决。四次方程的
48、根和二次、三次一样可以求解，并且都可以通过相应的系数经过加、三次一样可以求解，并且都可以通过相应的系数经过加、减、乘、除、乘方与开方得到。减、乘、除、乘方与开方得到。不过，公式的名称，还是应该称为不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔方塔纳公式或塔塔格利亚公式格利亚公式，称为卡当公式是历史的误会。另外，称为卡当公式是历史的误会。另外，一元三一元三次方程应有三个根。塔塔格利亚公式给出的只是一个实根。次方程应有三个根。塔塔格利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约又过了大约200200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了年后，随着人们对虚数认识的加深，到了17321732年，才由瑞士数学家年
49、，才由瑞士数学家欧拉欧拉找到了一元三次方程三个根找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。的完整的表达式。方法如下：方法如下：任何一个形如任何一个形如 的三次方程总可通过变换的三次方程总可通过变换 消去二次项化为形如消去二次项化为形如 的形式。的形式。023 cbuauu3axu 则则令令,zyx 27422742323323pqqzpqqy 03 qpxx 0333 qzypyzzy0p3yz 令令qzy 33得得 2733333pzyqzy的两根。的两根。是是故故027,3233 pqttzy 123212321321312312212wiwiwwzzywyzwzwyy其中其中3332221
50、11,zyxzyxzyx 3,3,3332211axuaxuaxu 27422742323323pqqzpqqy 由由 33213321322322pqqzpqqy得得 卡当在卡当在大术大术中引入了虚数，他提出一个问题中引入了虚数，他提出一个问题:“怎样怎样将将1010分成两部分，使其两者乘积为分成两部分，使其两者乘积为4040。”他发现把他发现把1010分成两分成两部分部分 ，则不管这两个式子代表什么数，结果都正，则不管这两个式子代表什么数，结果都正确。特别是在求三次方程的实根时，有时也不能回避虚数。确。特别是在求三次方程的实根时，有时也不能回避虚数。如如 有实根，但相应的二次方程有两个虚有
