1、第三章 直线与点投影 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置一、特殊位置直线一、特殊位置直线1.1.直线平行于一个投直线平行于一个投影面影面 (1)(1)水平线水平线 (2)(2)正平线正平线 (3)(3)侧平线侧平线 2.2.直线垂直于一个投直线垂直于一个投影面影面(1)(1)铅垂线铅垂线(2)正垂线正垂线(3)侧垂线侧垂线3.3.从属于投影面的直线从属于投影面的直线二、一般位置直线
2、二、一般位置直线V VW WH H直线直线/某一投影面某一投影面投影面平行线投影面平行线V VW WH H/V/V正平线正平线/W/W侧平线侧平线V VW WH H水平线水平线/H/H(1)水平线水平线 只平行于水平投影面的直线只平行于水平投影面的直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：投影特性：1a b OX;a b OYW 2 ab=AB 3反映反映、角的真实大小角的真实大小（2）正平线）正平线只平行于正面投影面的直线只平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性：1 ab OX;a b OZ 2 a b=AB 3 反映反映
3、、角的真实大小角的真实大小（3）侧平线）侧平线只平行于只平行于侧侧面投影面的直线面投影面的直线aa b a bbAB投影特性：投影特性：1 a b OZ;ab OYH 2 a b =AB 3反映反映 、角的真实大小角的真实大小XZa b bbaOYHYWa投影面平行线投影面平行线平行某一个投影面的直线平行某一个投影面的直线是什么线？是什么线？为什么？为什么？正平线正平线平行平行V V面面投影特性投影特性在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外二投影面倾角二投影面倾角实长实长 另外二投影分别平行于相应的投影轴另外二投影分别平行于相应的投影轴bbbbaaaa
4、b ba aP PV VW WH H /OX/OX轴轴/OZ/OZ轴轴V VW WH HV VW WH H直线直线 某一投影面某一投影面投影面垂直线投影面垂直线V VW WH H H铅垂线铅垂线正垂线正垂线 V W侧垂线侧垂线b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 a bOX ;a b OYW 3 a b =a b =AB（1）铅垂线）铅垂线 垂直于水平投影面垂直于水平投影面的直线的直线AB（2）正垂线正垂线 垂直于垂直于正面正面投影面的直线投影面的直线bababa投影特性：投影特性：1 a b 积聚积聚 成一点成一点
5、2 ab OX ;a b OZ 3 ab=a b =ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线）侧垂线 垂直于垂直于侧面侧面投影面的直线投影面的直线投影特性：投影特性：1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OYH ;a b OZ 3 ab=a b =ABABbaababZXabbaOYHYWab投影面垂直线投影面垂直线垂直某一个投影面的直线垂直某一个投影面的直线aaaabbbba(b)a(b)是什么线？是什么线？铅垂线铅垂线为什么？为什么？垂直垂直H H面面投影特性投影特性在所垂直的投影面内的投影积聚成一点在所垂直的投影面内的投影积聚成一点另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实
6、长另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长实长实长实长实长积聚性积聚性P PV VW WH H二、一般位置直线二、一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：投影特性：1 a b、a b、a b 均小于实长均小于实长 2 a b、a b、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3不反映不反映 、实角实角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。即都不反映空间线段的实长。直线上的
7、点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A CA C:C BC B=a c a c:c bc b=a a c c :c c b b =a a c c :c c b b 直线与点直线与点例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例
8、2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk cc 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成2 21 1两段，求分点两段，求分点C的投影的投影c、c 。例题例题 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C 的正面投影。的正面投影。cccabc 两直线的相对位置两直线的相对位置 一、一、两直线平行两直线平行二、二、两直线相交两直线相交 三、三、两直线交叉两直线交叉四、四、判断判断两交叉直线重影点的可见性两
9、交叉直线重影点的可见性 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线
10、，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc c a b d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作
11、正面投影abb a c 例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。cabdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbaccAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性投影
12、特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一不符合空间一个个 点的投影规律点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其 可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 判断交叉两直线重影点投影的可见性判断交叉两直线重影点投影的可见性(3)4 1(2)43341 2 12 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置dacboYWYHz判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置11dc 11判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点
13、的可见性3(4)34121(2)第二节第二节 平面的投影平面的投影物体是由各种不同形状的表面围成的，点、物体是由各种不同形状的表面围成的，点、线、面是构成物体的基本几何元素。线、面是构成物体的基本几何元素。平面的投影仍然是以点的投影为基础，只平面的投影仍然是以点的投影为基础，只要作出平面上的点的投影，即可求得平面要作出平面上的点的投影，即可求得平面的投影。的投影。在求作平面上点的投影时要格外细心，在在求作平面上点的投影时要格外细心，在学习中逐渐养成认真、严谨的良好作风。学习中逐渐养成认真、严谨的良好作风。一、平面的表示法一、平面的表示法1、用几何元素表示、用几何元素表示投影图中可用五种形式表示
14、平面投影图中可用五种形式表示平面不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点 一直线和线外一点。一直线和线外一点。相交两直线相交两直线 平行两直线平行两直线 平面图形平面图形2、用迹线表示、用迹线表示迹线：平面与投影面的交线迹线：平面与投影面的交线平面与平面与V面、面、H面、面、W面的交线分别称为正面迹线面的交线分别称为正面迹线PV、水平迹线水平迹线PH、侧面迹线、侧面迹线PW。由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影根据平面在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将平面分为：根据平面在三投影面体系中对投影面的相对位置
15、不同，将平面分为：1、投影面平行面、投影面平行面2、投影面垂直面、投影面垂直面3、投影面倾斜面、投影面倾斜面特殊位置平面特殊位置平面一般位置平面一般位置平面1、一般位置平面、一般位置平面定义：定义：与三个投影面均成倾斜的平面。与三个投影面均成倾斜的平面。平面与平面与H、V、W投影面的倾角分别用投影面的倾角分别用、表示。表示。二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影1、一般位置平面、一般位置平面一般位置平面投影特点：一般位置平面投影特点：由于与三个投影面成倾由于与三个投影面成倾 斜，故三个投影都缩小斜，故三个投影都缩小 的类似形。的类似形。三个投影都不能反映三个投影都不能反映 、实际大小。实
16、际大小。n2、投影面的垂直面、投影面的垂直面n定义：垂直于某一投影面，定义：垂直于某一投影面，n而与另两投影面倾斜的平面。而与另两投影面倾斜的平面。投影面的垂直面有三种投影面的垂直面有三种：正垂面：垂直于正垂面：垂直于V面，与面，与 H、W面倾斜面倾斜 铅垂面：垂直于铅垂面：垂直于H面，与面，与 V、W面倾斜面倾斜 侧垂面：垂直于侧垂面：垂直于W面，与面，与 V、H面倾斜面倾斜投影面垂直面的投影特点投影面垂直面的投影特点：1、投影面的垂直面在其所垂直的投影面上的投影、投影面的垂直面在其所垂直的投影面上的投影为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反映空
17、间平面对投影面的实际倾角；映空间平面对投影面的实际倾角；2、另外两个投影为类似形。、另外两个投影为类似形。3、投影面平行面：、投影面平行面：平行于某一投影面，垂直于另平行于某一投影面，垂直于另两投影面的平面。两投影面的平面。投影面投影面平行平行面有三种面有三种：正平面：平行正平面：平行V面与面与H 面、面、W面垂直面垂直 水平面：平行于水平面：平行于H面面 与与V、W面垂直面垂直 侧平面：平行于侧平面：平行于W面面 与与V、H面垂直面垂直投影面平行面的投影特点：投影面平行面的投影特点：1、投影面的平行面在其所平行的投影面上的投、投影面的平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形影反映实形（正投影
18、的真实性）（正投影的真实性）2、另外两个投影积聚为平行于相应投影、另外两个投影积聚为平行于相应投影轴轴的直的直线。线。熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面的投熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面的投影，并能从给出的投影图中判断平面的空间位置。影，并能从给出的投影图中判断平面的空间位置。例：判断立体图中各平面的空间位置。例：判断立体图中各平面的空间位置。图中：图中：A平面为平面为 面；面；B平面为平面为 面；面；C平面为平面为 面；面；D平面为平面为 面；面；E平面为平面为 面。面。例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。作图分析：作图
19、分析：补画平面投影依据的是找点的方法，补画平面投影依据的是找点的方法，即按点的投影规律求出平面上各点的即按点的投影规律求出平面上各点的投影，再连接各点。投影，再连接各点。因要找的点较多，为避免出错可将因要找的点较多，为避免出错可将各点标上数字或字母。各点标上数字或字母。一、点的投影一、点的投影 空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。点的一个投影不能确定该点在空间的位置。1、两投影面体系中点的投影 1、两投影面体系中点的投影 二、两投影面体系二、两投影面体系 多面正投影法通常是用两多面正投影法通常是用两个互相
20、垂直的投影面，作出个互相垂直的投影面，作出点的两个投影来确定该点在点的两个投影来确定该点在空间的位置空间的位置 。二、两投影面体系二、两投影面体系 1、两投影面体系中点的投影 三、两投影面体系与空间直角坐标系三、两投影面体系与空间直角坐标系 H H 1、两投影面体系中点的投影 四、四个分角四、四个分角 1、两投影面体系中点的投影 五、点的两面投影五、点的两面投影 将点将点A A 放在第放在第分角中进行投分角中进行投影，向影，向H H 面投射得面投射得a，称为点，称为点A 的的水平投影或水平投影或H H 面投影。将点面投影。将点A A向向V V 面投射得面投射得a，称为点称为点A A 的正面投影
21、的正面投影或或V V 面投影。面投影。1、两投影面体系中点的投影 1、两投影面体系中点的投影 六、两投影面体系的展开六、两投影面体系的展开 1、两投影面体系中点的投影 1、两投影面体系中点的投影 七、点的两面投影规律七、点的两面投影规律 1、两投影面体系中点的投影 八、特殊位置点的投影八、特殊位置点的投影 （1 1）位于投影面上的）位于投影面上的点，一个投影落在投影轴点，一个投影落在投影轴上，另一个投影与其本身上，另一个投影与其本身重合。重合。（2 2）位于投影轴上的）位于投影轴上的点，两个投影均与其本身点，两个投影均与其本身重合。重合。1、两投影面体系中点的投影 例例1-1 点点A A 的坐
22、标的坐标x xA A、y yA A、z zA A 分别为分别为5 5、3 3、4 4个单位，个单位，试画出点试画出点A A 的两面投影图。的两面投影图。1、两投影面体系中点的投影 例例1-21-2 1、两投影面体系中点的投影 2、三投影面体系中点的投影 确定点在空间的位置，如前所述，有两个投确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是投影往往不能确定其形状。解决的办法是 设置第设置第三个投影面，作出第三个投影。三个投影面，作出第三个投影。一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立
23、 在两面体系的基础上，包含在两面体系的基础上，包含OYOY 轴和轴和OZOZ 轴作出第三个投影面轴作出第三个投影面侧立投影面侧立投影面（简称侧面），又称（简称侧面），又称W W 面。面。W W 面与面与H H、V V 面相互垂直并一起构成三投影面体系，面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。简称三面体系。W W 面能反映前后、上下面能反映前后、上下两个方向的尺度两个方向的尺度。2、三投影面体系中点的投影 二、八个卦角二、八个卦角 在扩展H、V 面的基础上，再扩展W 面，得到V 面后的W 面的延展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0面的左方为第、卦角，右方为第、卦角，投
24、影轴的指向即坐标轴的正负向。2、三投影面体系中点的投影 三、点的三面投影三、点的三面投影 把点A放在第卦角中进行投射。在H、V 面上得到了a、a，又从左向右投射，在W 面上得到点A的第三投影a，称为侧面投影或W 面投影。它反映了点A的前后及上下两个坐标，即a（yA，zA）。2、三投影面体系中点的投影 aaZ=a aY=A a=xA，反映点A到W 面的距离；aaZ=a aX=A a=yA，反映点A到V 面的距离；aaY=aaX=A a=zA，反映点A到H 面的距离。用三个投影表达点A 的位置时，可写成A（a，a，a）。2、三投影面体系中点的投影 与两面体系一样，实际画投影与两面体系一样，实际画投
25、影图时需要把三个投影面展开成一个图时需要把三个投影面展开成一个平面。平面。V V 面不动，面不动，H H 面绕面绕OXOX 轴向下轴向下旋转旋转9090角，角，W W 面绕面绕OZOZ 轴向右旋转轴向右旋转9090角。此时角。此时OYOY 轴被轴被“一分为二一分为二”，随随H H 面的轴记为面的轴记为OYOYH H，随，随 W W 面的轴面的轴记为记为OYOYW W 。2、三投影面体系中点的投影 三、点的三面投影图三、点的三面投影图 给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三面体系中的位置有：在各卦角间、在各投影面内和
26、在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。2、三投影面体系中点的投影 四、由点的两个投影求作第三投影四、由点的两个投影求作第三投影 2、三投影面体系中点的投影例例1-3 如图所示，已知点如图所示，已知点A的两个投影的两个投影 a及及a，求作，求作a。2、三投影面体系中点的投影例例1-3 如图所示，已知点如图所示，已知点A的两个投影的两个投影 a及及a，求作，求作a。(利用利用45分角线或分角线或45斜线作图）斜线作图）2、三投影面体系中点的投影五、点的投影与坐标五、点的投影与坐标 将笛卡尔坐标系引入三面投影体系中，n 投影面就是坐标面n 投影轴就是坐标轴n 投影原点就是坐标原点 2、三投影
27、面体系中点的投影 六、两点的相对位置六、两点的相对位置 通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）x、y、z，如果为正值，则比较点在基准点的左、前、上方；如果为负值，则相反。2、三投影面体系中点的投影例例1-4 1-4 已知两点的投影，试判断两点的相对位置。已知两点的投影，试判断两点的相对位置。2、三投影面体系中点的投影六、点的重影及其可见性判断六、点的重影及其可见性判断 2、三投影面体系中点的投影六、点的重影及其可见性判断六、点的重影及其可见性判断 2、三投影面体系中点的投影
