1、 概率论与数理统计概率论与数理统计北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院古典概率模型（古典概型）古典概率模型（古典概型）1.3 古典概率模型古典概率模型I.什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果试验如果试验 E 满足满足 (1).(1).试验结果只有有限种；试验结果只有有限种；(2).(2).各种结果出现的可能性相同。各种结果出现的可能性相同。则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为等可能概率模型等可能概率模型或或古古典概率模型典概率模型，简称，简称等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。II.古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因因试验试验E E的结果只有有限
2、种，即样本点是的结果只有有限种，即样本点是有限个有限个:1 1,2 2,n n 。=1 1 2 2 n n，i i 是基本事件，且各自发生的概率相等。是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，于是，有有 1=P()=P(1=P()=P(1 1 2 2 n n)=P(=P(1 1)+P()+P(2 2)+)+P(P(n n)=n P(P(i i),),i=1,2,=1,2,n。从而，从而，P(P(i i)=1/n)=1/n，i=1,2,=1,2,n.因此，若事件因此，若事件A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即.)()(1基本事件总数中包含基本事件数AnkPAPkrir,21kiiiA则则
3、III.古典概模型举例古典概模型举例例例1：掷一颗均匀骰子，设掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为表示所掷结果为“四点或五点四点或五点”，B表示所掷结果为表示所掷结果为“偶数偶数点点”，求，求P(A)和和P(B)。解：解：由由 n=6=6，k kA A=2,=2,得得 P(P(A)=2/6=1/3)=2/6=1/3；再由再由k kB B=3=3，得，得 P(P(B)=3/6=1/2)=3/6=1/2。例例2 2：货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品1515件，其中件，其中1212件件来自产地甲来自产地甲,3,3件来自地乙。现从件来自地乙。现从1515件商品中随件商品中随机地抽取两件机地抽
4、取两件,求这两件商品来自一同产地的概求这两件商品来自一同产地的概率。率。解：解：从从1515件商品中取出件商品中取出2 2商品，共有商品，共有C C2 21515=105=105种取法，且每种取法都是等可能的，种取法，且每种取法都是等可能的，故故n=105=105。令令 A=两件商品都来自产地甲两件商品都来自产地甲,k kA=C=C2 21212=66,=66,B=两件商品都来自产地乙两件商品都来自产地乙,k kB=C=C2 23 3=3=3，而事件而事件:两件商品来自同一产地两件商品来自同一产地=AB,且且A与与B互斥互斥,AB包含基本事件数包含基本事件数66+3=6966+3=69。故，所
5、求概率故，所求概率=69/105=23/35=69/105=23/35。例例3 3：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只，按电流放大系只，按电流放大系数分类，数分类，4 4只属甲类，只属甲类，2 2只属乙类。按下列两种只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只：方案抽取三极管两只：(1).(1).每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只 (放回抽样放回抽样)；(2).(2).每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三 极管中再抽取下一只极管中再抽取下一只(不放回抽样不放回抽样)。设设 A=抽到两只甲类三极
6、管抽到两只甲类三极管，B=抽到两只同类三极管抽到两只同类三极管,C=至少抽到一只甲类三极管至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管抽到两只不同类三极管。求求 P(P(A),P(),P(B),P(),P(C),P(),P(D)。解解:(1).(1).由于每次抽测后放回由于每次抽测后放回,因此，每次都因此，每次都是在是在6 6只三极管中抽取。只三极管中抽取。因第一次从因第一次从6 6只中取一只，共有只中取一只，共有6 6种可能取种可能取法；法；第二次还是从第二次还是从6 6只中取一只，还是有只中取一只，还是有6 6种取种取法。法。故，故，取两只三极管共有取两只三极管共有6 6 6=366=
7、36种可能的取种可能的取法。法。从而从而,n=36=36。注意：注意：这种分析方法使用的是中学学过这种分析方法使用的是中学学过的的“乘法原理乘法原理”。因每个基本事件发生的可能性相同因每个基本事件发生的可能性相同。故。故第第一次取一只甲类三极管共有一次取一只甲类三极管共有4 4种可能取法种可能取法,第二第二次再取一只甲类三极管还是有次再取一只甲类三极管还是有4 4种可能取法。种可能取法。故故,取两只甲类三极管共有取两只甲类三极管共有4 4 4=16 4=16 种可能的取种可能的取法法,即即k kA=16=16。所以，。所以，P(P(A)=16/36=4/9)=16/36=4/9；令令E=抽到两
8、只乙类三极管抽到两只乙类三极管，则，则 kE=2 2 2=42=4。故，故，P(P(E)=4/36=1/9)=4/36=1/9；因因C是是E的对立事件，所以的对立事件，所以 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=8/9;)=8/9;因因B=AE,且且A与与E互斥，得互斥，得 P(P(B)=P()=P(A)+P()+P(E)=5/9)=5/9；D是是B的对立事件的对立事件,得得 P(P(D)=1-P()=1-P(B)=4/9)=4/9。(2).(2).由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回,所以第一次所以第一次从从6 6只中取一只只中取一只,共有共有6 6种可能的取法；第二次种可能的取法
9、；第二次是从剩余的是从剩余的5 5只中取一只，有只中取一只，有5 5种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n=6=6 5=305=30种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理，得由乘法原理，得 kA=4=4 3=123=12。从而。从而P(P(A)=12/30=2/5)=12/30=2/5；类似地类似地,得得kE=2 2 1=21=2，P(E)=2/30=1/15P(E)=2/30=1/15；由由C是是E的对立事件的对立事件,得得 P(P(C)=1-P()=1-P(E)=14/15;)=14/15;由由B=AE,且且A与与E互斥，得互斥，得 P(
10、P(B)=P()=P(A)+P()+P(E)=7/15)=7/15；由由D是是B的对立事件的对立事件,得得 P(P(D)=1-P()=1-P(B)=8/15.)=8/15.例例4 4：n个球随机地放入个球随机地放入N(Nn)个盒子中，若个盒子中，若盒子的容量无限制。求盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一每个盒子中至多有一球球”的概率。的概率。解解:因因每个球都可以放入每个球都可以放入N个盒子中的任何一个盒子中的任何一个，个，故故每个球有每个球有N N种放法。由乘法原理，将种放法。由乘法原理，将n个个球放入球放入N个盒子中共有个盒子中共有 Nn 种不同的放法。种不同的放法。每个盒子中至多有一
11、个球的放法每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法由乘法原理得原理得):):N(N-1)(N-n+1)=ANn 种。种。故，故，P(P(A)=)=ANn/Nn.设每个人在一年设每个人在一年(按按365365天计天计)内每天出内每天出生的可能性都相同，现随机地选取生的可能性都相同，现随机地选取n(n365)365)个人，则他们生日各不相同的概率为个人，则他们生日各不相同的概率为 An365/365n。于是于是,n n个人中至少有两人生日相同的概率为个人中至少有两人生日相同的概率为 1-1-An365365/365/365n。打开书打开书 P13P13，可看到，可看到表表1.3。许多问题和上例有相同的
12、数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。如如(生日问题生日问题)：某人群有某人群有n个人，他们中至少个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？有两人生日相同的概率有多大？从上表可以看出从上表可以看出:在在4040人左右的人群里人左右的人群里,十有八九十有八九会发生会发生 两人或两人以上生日相同两人或两人以上生日相同 这一事件。这一事件。把把 n 个物品分成个物品分成k组，使第一组有组，使第一组有n1 1个个,第二组有第二组有n2 2个个,第第 k 组有组有nk k个，且个，且 n1 1+n2 2+nk k=n，则不同的分组方法数为则不同的分组方法数为公式公式!21knnnn例例5：某公司生
13、产的某公司生产的15件产品中，有件产品中，有12件正品件正品,3件次品。现将它们随机地分装在件次品。现将它们随机地分装在3个箱中个箱中,每每箱装箱装5件，设件，设A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品,B=三三件次品都在同一箱中件次品都在同一箱中。求。求P(A)和和P(B)。解：解：1515件产品装入件产品装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装5 5件，有件，有种等可能的装法。种等可能的装法。故，基本事件总数为故，基本事件总数为)!5!5!5/(!15)!5!5!5/(!15 把三件次品分别装入三个箱中，共有把三件次品分别装入三个箱中，共有3!3!种种装法。这样的每一种装法取定以后，把其余装
14、法。这样的每一种装法取定以后，把其余1212件正品再平均装入件正品再平均装入3 3个箱中，每箱装个箱中，每箱装4 4件，有件，有个基本事件。个基本事件。,)!4!4!4/(!12种种装装法法再由乘法原理，可知装箱总方法数有再由乘法原理，可知装箱总方法数有种种。)/(4!4!4!3!12!即即A包含包含。9125!5!5!5!15!4!4!4!12!3)(AP)/(4!4!4!3!12!从而，从而，把三件次品装入同一箱中把三件次品装入同一箱中,共有共有3 3种装法。种装法。这样的每一种装法取定以后这样的每一种装法取定以后,再把其余再把其余1212件正品件正品装入装入3 3个箱中个箱中(一箱再装一
15、箱再装2 2件件,另两箱各装另两箱各装5 5件件)又又有有个基本事件。故，个基本事件。故，种种装装法法。)!5!5!2/(!12由乘法原理，知装箱方法共有由乘法原理，知装箱方法共有种种。)!5!5!2/(!123 即即B包含包含。916!5!5!5!15!5!5!2!123)(BP)!5!5!2/(!123 例例6：设设N件产品中有件产品中有K件次品，件次品，N-K件正品件正品,Km),要求第要求第 i i 组恰有组恰有ni个球个球(i=1,m)，共有分，共有分法：法：3、分组问题、分组问题作业 1.11、1.14乘法公式：设完成一件事需分两步，乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有第一步有
16、n n1 1种方法种方法,第二步有第二步有n n2 2种方法，种方法，则完成这件事共有则完成这件事共有n n1 1n n2 2种方法种方法复习：复习：排列与组合的基本概念排列与组合的基本概念加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：从含有有重复排列：从含有n n个元素的集合中随机个元素的集合中随机抽取抽取k k 次，每次取一个，记录其结果次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，后放回，将记录结果排成一列，n n n n n nn n共有共有n nk k种排列方式种排列方式.无重复排列：从含有无重复排列：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 次，次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有共有A An nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式.n n n-1n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1组合：从含有组合：从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，个，共有共有种取法种取法.)!(!knknkAknCknkn
