1、如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy ),(yx),(yx.),(),()()(21dxdyyxfdxdyyxfDbaxx )(2xy abD)(1xy ,bxa ).()(21xyx :D.),()()(21 xxbadyyxfdx .),()()(21 dcyydxyxfdy 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx D
2、cdcd)(2yx )(1yx D其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1y)(2y,dc),(yx),(yx.),(),()()(21dydxyxfdxdyyxfDdcyy 定义定义3.3.1 3.3.1 设设(,)X Y是二维随机变量是二维随机变量,其分布函数其分布函数为为(,)F x y如果存在如果存在非负非负可积可积的的二元函二元函数数(,)f x y使得对于任意实数对使得对于任意实数对(,),x y有有(,)F x y(,)f s t ds dtxy则称则称(X,Y)(X,Y)为为(,)f x y称为称为(X,Y)(X,Y)的的函数函数.简称简称 联合概率密度联合概率密
3、度.(,)(,)X Yf x y记为记为,xP XYy1.1.联合概率密度函数联合概率密度函数二维二维连续型连续型随机随机变量，变量，联合概率联合概率密度密度3.3 3.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 x y 如果将随机变量如果将随机变量(X,Y)(X,Y)看成落在看成落在坐标平面上的坐标平面上的随机点随机点,(X,Y)(X,Y)落在区域落在区域:Dxyst 的概率的概率(,)f s t在在D D上的二重积分上的二重积分.密度函数密度函数等于等于定义定义3.5 3.5 设设(,)X Y是二维随机是二维随机变变量量,其分布函数其分布函数为为(,)F x y如果存在如果存在非负非负可积可
4、积的的二元函二元函数数(,)f x y使得对于任意实数对使得对于任意实数对(,),x y有有(,)F x y(,)f s t ds dtxy则称则称(X,Y)(X,Y)为二维为二维连续型随机连续型随机变变量量(,)f x y称为称为(X(X，Y)Y)的的联合概率密度联合概率密度函数函数.简称简称 联合概率密度联合概率密度.(,)(,)X Yf x y记为记为,xP XYy x y 联合概率密度具有性质联合概率密度具有性质:0),()1(yxf(2)1对平面上任意对平面上任意有有特殊地特殊地,P aXb0abcd对平面上的任一矩形区域对平面上的任一矩形区域 有有axbcydcYd（非负性）（非负
5、性）（规范性）（规范性）可度量的区域可度量的区域D,D,()3(,)f x y dxdy:Dbadxdcdy(,)f x y(,)f x y dxdyD D(,)X YDPD dxdyyxf),(联合概率密度具有性质联合概率密度具有性质:处连续时，有处连续时，有在在当当),(),()4(yxyxf),(),(2yxfyxyxF 注注:(1)(1)和和(2)(2)是函数是函数),(yxf随机变量的联合概率密度函数的充分条件随机变量的联合概率密度函数的充分条件。可以做为某二维连续型可以做为某二维连续型例例1-1-例例2 P76-772 P76-772.2.边缘概率密度函数边缘概率密度函数设设连续型
6、连续型随机变量随机变量YX(,)的的联合概率联合概率密度为密度为f x y(,)则则X是是连续型连续型随机变量，随机变量，其概率密度为其概率密度为Xfx()Xfx()fyxdy(,)证证 由概率密度的定义，由概率密度的定义，PXaaXfx()dx另一方面，另一方面，P XaaP X,Y adxdyf x y(,)Xxf()fyxdy(,)称为联合概率密度称为联合概率密度关于的边缘概率密度函数关于的边缘概率密度函数由联合概率密度的定义由联合概率密度的定义aXfx()f x y(,)2.2.边缘密度函数边缘密度函数设设连续型连续型随机随机变变量量YX(,)的联合概率密度为的联合概率密度为f x y
7、(,)则则Y是是连续型连续型随机变量，随机变量，其概率密度为其概率密度为Yfy()Yfy()f xxdy(,)证证 由概率密度的定义，由概率密度的定义，PYbbYfy()dy另一方面，另一方面，P YbbPY,X bdydxf x y(,)Yyf()f xxdy(,)称为称为联合概率密度联合概率密度关于的边缘概率密度函数关于的边缘概率密度函数由联合概率密度的定义由联合概率密度的定义bYfy()f x y(,)2.2.边缘概率密度函数边缘概率密度函数设设连续型连续型随机变量随机变量YX(,)的的联合概率联合概率密度为密度为f x y(,)则则X是是连续型连续型随机变量，随机变量，其概率密度分别为
8、其概率密度分别为Xfx()Xfx()fyxdy(,)X的的边缘分布函数边缘分布函数)(xFX)(YYfy()和和且且Yfy()f xxdy(,)xXP xXdxxf)(),(xFY的的边缘分布函数边缘分布函数)(yFYyYP yYdyyf)(),(yF ),(limyxFy ),(limyxFx 例例3-3-例例4 P78-794 P78-79定义定义3.3.33.3.3如果二维随机变量如果二维随机变量设设D 为为xOy平面上的区域，平面上的区域，(,)X Y则称随机变量则称随机变量X Y(,)(,)f x y0的联合概率密度为的联合概率密度为,1DSDyx),(其其他他服从服从 上的二维上的
9、二维均匀分布均匀分布.D其面积为其面积为SD，例例5 P795 P79定义定义3.3.43.3.4则称则称(X,Y)(X,Y)服从服从X Y(,)其中参数其中参数2121,210,0 1设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,如果其联合概率如果其联合概率密度密度函数为函数为1212 21122(1)x112e2y22y222的的二维正态分布二维正态分布,记为记为x11dxdy2)1N211222(,)均为常数均为常数,且且参数为参数为211222(,),(yxf),(yxf0),()1 yxf),(yxf定理定理二维正态分布二维正态分布的边缘分布的边缘分布为一维正态分布为一维正态
10、分布.即若即若X YN221221(,)(,)则则112212e21()x即即XN121,1212 21122(1)x112e2y22y222x11d y212222e22()xYN222,)(xfXXdyyxf),()(yfYYdxyxf),(定理定理 若二维正态分布若二维正态分布中中,则则(X,YX,Y )的联合概率密度为的联合概率密度为1212 21122(1)x112e2y22y222x11e12x112y222ex12212ey22222两个边缘概率密度的两个边缘概率密度的乘积乘积.证证=0=0时，时，2112 211222(,)N0 112212),(yxf)()(yfxfYX 结
11、论结论:1.1.二维正态分布二维正态分布的边缘分布的边缘分布为一维正态分布为一维正态分布.即若即若X YN221221(,)(,)则则XN121,YN222,2.2.不同的二维正态分布不同的二维正态分布可以有相同的边缘分布可以有相同的边缘分布.如如X YN212122(,)(,(,)N222112(,2)21(X,Y)(X,Y)和和(,)是两个不同的二维正态分布是两个不同的二维正态分布,但它们的边缘分布但它们的边缘分布:XN121,YN222,N121,N222,相同相同.故由边缘分布故由边缘分布,不能唯一确定联合分布不能唯一确定联合分布.正态分布正态分布,要确定要确定二维二维还需知道参数还需知道参数的值的值.除知道边缘分布外除知道边缘分布外,1)作业作业 P84 1(3)P84 1(3)不做不做,(,(5)5)不不做做,2,32,3
