1、 第三章第三章 随机过程的线性变换随机过程的线性变换随机过程的线性变换随机过程的线性变换3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布3.3 限带过程限带过程3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论一、线性系统一、线性系统时不变性：时不变性：()()Y tL X t()Y t()X tL.()()Y tL X t分类：分类：连续时间系统、离散时间系统连续时间系
2、统、离散时间系统因果系统、非因果系统因果系统、非因果系统线性系统、非线性系统线性系统、非线性系统1 1221122()()()()L Ax tA x tAL x tA L x t叠加性、齐次性叠加性、齐次性线性：线性：一、线性系统一、线性系统3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论T()y t()x t 2线性放大器线性放大器线性滤波器线性滤波器线性系统平方律检波平方律检波全波线性检波全波线性检波非线性系统二、连续时不变线性系统二、连续时不变线性系统()y t()x tL.()()()()()y tx th tx thd()()()YXH()()()Y sX s H s3.1 3.
3、1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论三、离散时不变线性系统三、离散时不变线性系统()y n()x nL.3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论()()()()()ky nx nh nx nk h k()()()Y zX z H z四、线性变换的基本定理四、线性变换的基本定理3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论定理一定理一()()E Y tL E X t定理二定理二21212(,)(,)XYtXRt tLRt t112121212(,)(,)(,)YtXYttXR t tLRt tLLRt t3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析LX(
4、t)Y(t)已知：已知：输入和线性系统的特性。输入和线性系统的特性。求解：求解：输出的统计特征。输出的统计特征。线性系统的描述方法：线性系统的描述方法：n微分方程微分方程n冲击响应冲击响应n系统传递函数系统传递函数n微分方程法微分方程法n冲击响应法冲击响应法n频谱法频谱法3.1 3.1 线性系统的基本理论线性系统的基本理论定理一定理一()()E Y tL E X t定理二定理二21212(,)(,)XYtXRt tLRt t112121212(,)(,)(,)YtXYttXR t tLRt tLLRt t一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分
5、析h(t)X(t)Y(t)(,)(,)()()(,)iiiiiiy t ex te hdh tx t e系统的输出：系统的输出：()()()()()Y tX thdh tX t 一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)()()()()()Y tX thdh tX t ()()()()()YXXm tmthdh tmt均值均值一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)()()()()()Y tX thdh tX t 互相关函数互相关函数121221
6、2(,)()()()(,)XYXRt tE X t Y th tRt t1212112(,)()()()(,)YXXRt tE Y t X th tRt t1212()()()()()X t Y tX tX thd一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)()()()()()Y tX thdh tX t 自相关函数自相关函数1212112(,)()()()(,)YXYR t tE Y t Y th tRt t1212()()(,)Xh th tRt t212()(,)YXh tRt t一、冲激响应法一、冲激响应法3.2
7、3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析h(t)X(t)Y(t)(tmX)(tmY)(th一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例例1、设有微分方程描述的线性系统：设有微分方程描述的线性系统：()()()dY taY tX tdt其中其中a为常数，系统的起始状态为为常数，系统的起始状态为Y(0)=0，输入，输入X(t)为平稳为平稳随机过程，且随机过程，且 ，求输出，求输出Y(t)的统计特性。的统计特性。()E X t2()()XR 一、冲激响应法一、冲激响应法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例
8、例2、设有图示的设有图示的RC电路，假定输入为零均值的平稳随机过电路，假定输入为零均值的平稳随机过程，且自相关函数为程，且自相关函数为求稳态时输出求稳态时输出Y(t)的自相关函数。的自相关函数。()XRe)()(tUethtjH)(RC/1平稳性讨论平稳性讨论对于物理可实现系统，假定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳,若输入从若输入从-加加入入(双侧随机信号双侧随机信号)0(HmX 则输出则输出Y(t)Y(t)平稳，且与平稳，且与X(t)X(t)联合平稳；联合平稳；0()()YXm tmh u du(,)()()XYRttE X tY t0()()XRv h v dv(,
9、)()()YR ttE Y tY t0()()XYRu h u du00()()()XRvu h u h v dudv )(XYR)(YR3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析对于物理可实现系统，假定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳,若输入从若输入从-加加入入(双侧随机信号双侧随机信号)0(HmX 则输出则输出Y(t)Y(t)平稳，且与平稳，且与X(t)X(t)联合平稳；联合平稳；0()()YXm tmh u du(,)()()XYRttE X tY t0()()XRv h v dv(,)()()YR ttE Y tY t0()()XYRu h
10、 u du00()()()XRvu h u h v dudv )(*)(hRX)(*)(hRXY)(*)(*)(hhRX)(XYR)(YR平稳性讨论平稳性讨论3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析tduuhutXtY0)()()(tXYduuhmtm0)()(对于物理可实现系统，假定输入对于物理可实现系统，假定输入X(t)X(t)平稳平稳,若输入从若输入从0 0时刻时刻加入加入(单侧随机信号单侧随机信号)则输出则输出Y(t)Y(t)非平稳。非平稳。平稳性讨论平稳性讨论二、频谱法二、频谱法3.2 3.2 随
11、机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析)()()(*XXYGHG)()()(XXYRhR)()()(XYXGHG)()()(XYXRhR)()()()()(*YXXYYGHGHG)()()()()(2*XXGHGHH)()()()()(YXXYYRhRhR)()()(XRhh只适用于平稳随机过程的分析只适用于平稳随机过程的分析3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例例3、设有微分方程描述的线性系统：设有微分方程描述的线性系统：()()()dY taY tX tdt其中其中a为常数，系统的起始状态为为常数，系统的起始状态为Y(0)=0，输入，输入X(t)为平稳为
12、平稳随机过程，且随机过程，且 ，运用频谱，运用频谱法求输出法求输出Y(t)的功率谱和自相关函数。的功率谱和自相关函数。()E X t2()()XR 二、频谱法二、频谱法3.2 3.2 随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析例例4、设有图示的设有图示的RC电路，假定输入为零均值的平稳随机过电路，假定输入为零均值的平稳随机过程，且自相关函数为程，且自相关函数为运用频谱法求输出运用频谱法求输出Y(t)的功率谱和自相关函数。的功率谱和自相关函数。()XRe)()(tUethtjH)(RC/1二、频谱法二、频谱法二、频谱法二、频谱法输入输出相关函数关系图输入输出相关函数关系图3.2 3.2 随
13、机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统分析时域法时域法变换域方法变换域方法微分方程法微分方程法冲击响应法冲击响应法频谱法频谱法系统特系统特性描述性描述微分方程和初始值h(t)H()适用适用范围范围平稳和非平稳平稳和非平稳平稳特点特点运算繁琐h(t)较简单时，较方便方法简单3.3 3.3 限限带过程带过程定义：定义：若随机过程在一个有限的频带内具有非零的功率谱，而若随机过程在一个有限的频带内具有非零的功率谱，而在频带之外为零，则称其为在频带之外为零，则称其为限带随机过程限带随机过程，或，或限带过程限带过程。显然，。显然，白噪声通过一个限带系统，输出就是一个限带随机过程。白噪声通过一个限带系统
14、，输出就是一个限带随机过程。常见限带随机过程有常见限带随机过程有 低通随机过程低通随机过程 和和 带通随机过程带通随机过程 。3.3 3.3 限限带过程带过程一、低通过程一、低通过程c0()XGc定义：定义：若功率谱若功率谱 在在 内不为零，而在其外为零，为内不为零，而在其外为零，为低通低通随机过程随机过程。其自相关函数为。其自相关函数为()XGC-1()()2CCjXXRGed低通随机过程低通随机过程 的任意的任意n n阶导数存在。阶导数存在。3.3 3.3 限限带过程带过程一、低通过程一、低通过程理想低通理想低通白噪声白噪声功率谱：功率谱：02()0otherCCXNG 相关函数：相关函数
15、：0sin()2CCXCNR 输出功率：输出功率：20(0)2CXXNR 3.3 3.3 限限带过程带过程一、低通过程一、低通过程理想低通理想低通白噪声白噪声低通型限带白噪声的相关函数低通型限带白噪声的相关函数 c0c)(XR随机过程的采样定理：随机过程的采样定理：当采样频率等于或大于当采样频率等于或大于2 2倍带宽时，一个倍带宽时，一个限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。限带平稳随机过程可以用它的一组样本值唯一的表示。3.3 3.3 限限带过程带过程二、带通过程二、带通过程()XGc0c0c0c0000()XGc0c0c0c0000理想带通随机过程理想带通随机过程带通随机过程带通
16、随机过程二、带通过程二、带通过程 理想带通随机过程理想带通随机过程输出功率谱输出功率谱：0002()0ccXNGother 输出功率：输出功率：20(0)CXXNR 相关函数：相关函数：00sin().cosCCXCNR 3.3 3.3 限限带过程带过程二、带通过程二、带通过程 理想带通随机过程理想带通随机过程3.3 3.3 限限带过程带过程)(XR带通型限带白噪声带通型限带白噪声三、噪声等效通能带三、噪声等效通能带3.3 3.3 限限带过程带过程在一般线性系统中，通常都是以半功率点的通频带（即在一般线性系统中，通常都是以半功率点的通频带（即3dB3dB带宽）带宽）来表示该系统对确定信号频谱的
17、选择性，而这里则以等效噪声来表示该系统对确定信号频谱的选择性，而这里则以等效噪声带宽来表示该系统对输入白噪声功率谱的选择性，它们都是由带宽来表示该系统对输入白噪声功率谱的选择性，它们都是由系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的形式和级数确定系统本身参数决定的。实际上，当线性系统的形式和级数确定之后，两者也被确定，有着确定的关系。级数越高，两者越接之后，两者也被确定，有着确定的关系。级数越高，两者越接近。近。202max()()eHdH 等效原则：等效原则：理想系统理想系统与实际系统在同一白与实际系统在同一白噪声激励下的输出噪声激励下的输出平平均功率均功率相等，且理想相等，且理想系统的增益为实
18、际系系统的增益为实际系统的统的最大增益。最大增益。三、噪声等效通能带三、噪声等效通能带3.3 3.3 限限带过程带过程0()H e0|()|H 0用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。用一个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统。e 等效噪声带宽：等效噪声带宽：理想系统的带宽，用理想系统的带宽，用 来表示。来表示。三、噪声等效通能带三、噪声等效通能带n 噪声等效通能带只由线性系统特性确定：噪声等效通能带只由线性系统特性确定：n 对于对于带通系统带通系统，输出平均功率：，输出平均功率：n 对于对于低通系统低通系统，输出平均功率：，输出平均功率：202max()2()eHdfH 200
19、(0)()YeRf N H 200(0)()YeRf N H 三、噪声等效通能带三、噪声等效通能带例例5、白噪声通过白噪声通过图示的图示的RC电路，分析输出的统计特性。电路，分析输出的统计特性。3.3 3.3 限限带过程带过程3.4 3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY)()()()()(nXnhknXkhnYk系统输出系统输出nnznhzH)()()()jnnHh n e，系统描述系统描述3.4 3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析均值均值:)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY
20、相关函数相关函数:一、冲激响应法一、冲激响应法()()()()YXmnE Y nh nmn()()Xkh k mnk1212212(,)()()()(,)XYXRn nE X n Y nh nRn n121212(,)()()(,)YXR n nh nh nRn n3.4 3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析二、平稳性讨论二、平稳性讨论()(0)YXXkmmh km H假定输入假定输入X(n)X(n)平稳平稳,若输入从若输入从-加入加入(双侧随机信号双侧随机信号)则输出则输出Y(n)Y(n)平稳，且与平稳，且与X(n)X(n)联合平稳；联合平稳；()()()XYXR
21、mhmRm()()()()YXR mhmh mRm均值均值:相关函数相关函数:3.4 3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析三、频谱法三、频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)()()()XYXGHG 功率谱密度：功率谱密度：若用若用z变换表示：变换表示：2()()()()()YXYXGHGHG 1()()()XYXGzH zGz1()()()()XYXGzH z H zGz三、频谱法三、频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)例例6 设有如下差分方程描述的离散线性系统，设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=aX(n-1)+W(n)其中其中W(n)为平稳白噪声，方差为为
22、平稳白噪声，方差为 2，模型所产生的随机过程，模型所产生的随机过程称为称为AR过程，求一阶过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。过程的自相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)自回归模型自回归模型3.4 3.4 随机序列通过离散线性系统分析随机序列通过离散线性系统分析三、频谱法三、频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)1()(1)()NY naY na Y nN常用时间序列模型常用时间序列模型式中式中X(n)X(n)为零均值、方差为为零均值、方差为 2 2的平稳白噪声，模型称为的平稳白噪声，模型称为自回归自回归滑动平均模型滑动平均模型，用，
23、用ARMA(N,r)ARMA(N,r)表示。表示。许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性系统所产生的，一般表示式为：系统所产生的，一般表示式为：1()(1)()rX nb X nb X nr三、频谱法三、频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)常用时间序列模型常用时间序列模型当系数当系数 均为零时，均为零时，)()()1()(1nXNnYanYanYNrbbb,21模型称为模型称为自回归模型自回归模型，用，用AR(N)AR(N)表示。表示。)()1()()(1rnXbnXbnXnYr当系数当系数 均为零时，均为零时，Naaa,21模型称为
24、模型称为滑动平均模型滑动平均模型，用，用MA(r)MA(r)表示。表示。三、频谱法三、频谱法(平稳随机序列平稳随机序列)例例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统，设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=b0W(n)+b1W(n-1)其中其中W(n)为平稳白噪声，方差为为平稳白噪声，方差为 2，模型所产生的随机过，模型所产生的随机过程称为程称为MA过程，求一阶过程，求一阶MA过程的自相关函数和功率谱。过程的自相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)b1b单位延迟单位延迟X(n)W(n)b1b0滑动平均模型滑动平均模型3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线
25、性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器()()s tn t)(nh)(th确知确知信号信号零均值平稳随机过零均值平稳随机过程，功率谱程，功率谱Gn().()()oos tn t信噪比最大信噪比最大一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器()()s tn t)(nh)(th()()oos tn tdeSHtstj)()(21)(0dGHtnEn)()(21)(220输出噪声功率为输出噪声功率为:200020()()s tdE n t输出信号为输出信号为:信噪比：信噪比：输出端信号在输出端信号在t=tt=t0 0 时的瞬时功率与噪声的平均功率之比时的瞬时功率与噪声的
26、平均功率之比022()()2()()j tnHSedHGd一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器()()s tn t)(nh)(th()()oos tn t设计最佳滤波器设计最佳滤波器(使输出信噪比最大使输出信噪比最大):):其幅频特性为其幅频特性为:其相频特性为其相频特性为:0*()()()jtnSHceG ()()()nSHcG 0arg()arg()HSt 一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器()()s tn t)(nh)(th()()oos tn t当当:最大输出信噪比为最大输出信噪比为:输出信号波形为输出信号波形为:当当
27、t=t0 t=t0 时时,输出信号值最大输出信号值最大,是波形是波形s0(t)s0(t)的尖峰的尖峰.0*()()()jtnSHceG 2()12()mnSddG 02()0()()2()jt tnScs tedG 一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器一、输出信噪比最大的最佳线性滤波器滤波器物理意义分析滤波器物理意义分析:相频特性为相频特性为:0*()()()jtnSHceG 00arg()arg()0arg()arg()()1()()()21()()21()()2jSHtjSSttjt ts tSHedSHedSHed 0arg()arg()HSt 信噪比得到提高！信噪比得到提高！3.5 3.
28、5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质0*()()jtHcSe ()()s tn t)(nh)(th确知信号确知信号白噪声白噪声()()oos tn t信噪比最大信噪比最大匹配滤波器匹配滤波器0*()()()，jtnSHceG 当当:()tannGconst 匹配滤波器的传递函数为：匹配滤波器的传递函数为：3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质匹配滤波器冲激响应匹配滤波器冲激响应:即匹配滤波器的冲激响应为即匹配滤波器的冲激响应为信号的共轭镜像信号的共轭镜像。如果如果 c=1,h(t)c=1,h(t)与与s(
29、t)s(t)对于对于 t t0 0/2/2 点呈偶对称关系点呈偶对称关系.对于实信号对于实信号,有有:()h t*0()cs tt0()*1=()2()2j tjt tHedcSed 0()()h tcs tt3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质如果如果 c=1,h(t)c=1,h(t)与与s(t)s(t)对于对于 t t0 0/2/2 点呈偶对称关系点呈偶对称关系.对于实信号对于实信号,有有:0()()h tcs tttt0/2s(t)h(t)h(t)s(-t)0s(t)实信号及其匹配滤波器的冲激响应实信号及其匹配滤波器的冲激响应3.5 3
30、.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质最大最大 输出信噪比输出信噪比dm与信号与信号s(t)波形无关波形无关;输出最大信噪比只与信号能量有关输出最大信噪比只与信号能量有关,而与信号波形无关。而与信号波形无关。其中其中20()122()mnSEddGN 221()()2ESds t dt 3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质 t0时刻应当选在信号时刻应当选在信号s(t)结束之后结束之后;物理可实现的滤波器满足物理可实现的滤波器满足:0()0,s ttt0()0,0s ttt如果选择输出最大的时刻如果选择输
31、出最大的时刻 t0 在信号结束之前在信号结束之前,则匹配滤则匹配滤波器在物理上不可实现，即波器在物理上不可实现，即()0,0h tt3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质n 匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性；匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性；匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。1()()，s tas t 1()()jSaSe 11()*11()()()j tjtHcSecaSe 2()()dSS 0*2()()()j tdHcSeH 01010()()*()()j tjttjttcaSeeaHe 3.
32、5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质例例7:7:单个矩形脉冲信号单个矩形脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形.tttats,0,00,)(ta0s(t)解解:信号频谱为信号频谱为二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质0()()(1)j tj tjaSs t edtaedtej取匹配滤波器时间取匹配滤波器时间 ，则，则0=t()(1)(1)jjjcacaHeeejj 冲激响应为冲激响应为()()h tcs t2200()()()()()(2)200ca tts ts th tcs ts tcat
33、t 0s(t)ta0h(t)tca0s0(t)t2ca2图3.17 矩形脉冲的匹配滤波器(a)矩形脉冲信号(b)匹配滤波器的冲击响应(c)匹配滤波器的输出信号(a)(b)(c)0s(t)ta0h(t)tca0s0(t)t2ca2图3.17 矩形脉冲的匹配滤波器(a)矩形脉冲信号(b)匹配滤波器的冲击响应(c)匹配滤波器的输出信号(a)(b)(c)积分器延迟线s(t)jcaj+-s0(t)积分器延迟线s(t)jcae+-s0(t)矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图 二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质信号的频谱为信号的频谱为s(t)s(t)的匹配滤波器的匹配滤波器 取取 t0=(M-1)T+
34、矩形脉冲串信号的匹配滤波器矩形脉冲串信号的匹配滤波器 矩形脉冲串信号为矩形脉冲串信号为110()=(-)Mks ts t kT110()()Mjk TkSSe 001*10()()()MjtjtjkTkHc SecSee 11*(1)*(1)1100()()()MMjk TjMTjjMk TkkHcSeecSee 二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质矩形脉冲串信号的匹配滤波器矩形脉冲串信号的匹配滤波器 匹配滤波器可表示为匹配滤波器可表示为 H()=H1()H2()相参积累器相参积累器输出的最大信噪比输出的最大信噪比11*(1)*(1)1100()()()MMjk TjMTjjMk Tk
35、kHcSeecSee *11()()jHc Se 1(1)(1)20()1 MjMk Tj TjMTkHeee 子脉冲匹配滤波器子脉冲匹配滤波器111000222mMEEEdMMdNNN脉冲串信号匹配滤波实现的结构脉冲串信号匹配滤波实现的结构二、匹配滤波器及其性质二、匹配滤波器及其性质3.5 3.5 最佳线性滤波器最佳线性滤波器三、广义匹配滤波器三、广义匹配滤波器假定噪声具有有理的功率谱假定噪声具有有理的功率谱 ()()/()nSSG 0*()()()jtnSHceG 一般平稳噪声环境的最佳线性滤波器一般平稳噪声环境的最佳线性滤波器*()()()()()nnnnnGGGGG 则则00*121(
36、)()()/()()()()()jtjtnnnSHcSeGceHHGG 11()()，nHG 0*2()()j tHcSe 三、广义匹配滤波器三、广义匹配滤波器对于物理可实现的系统对于物理可实现的系统噪声通过噪声通过H1()后变成了白噪声，这是因为后变成了白噪声，这是因为21*11()()()()1()()nnnnnGGHGGG 0*2()()()jtcnc SeHG 0*12()1()()()()()jtcnnc SeHHHGG 三、广义匹配滤波器三、广义匹配滤波器例例8:8:设信号为设信号为噪声的功率谱为噪声的功率谱为 ，求广义匹配滤波，求广义匹配滤波器的函数。器的函数。/20()00tt
37、eets tt2()1/(1)nG 211()1(1)(1)nG ssss白化滤波器白化滤波器11()1()nHssGs1()1nGss，1()1nGss谱分解谱分解解解噪声功率谱的拉氏变换为噪声功率谱的拉氏变换为信号的拉普拉斯变换信号的拉普拉斯变换 111()1/21(12)(1)S sssss取物理可实现部分取物理可实现部分0()/20200()200t tccetthtttt 或对应的传递函数为对应的传递函数为 0000()/2/220()212tt tsttstcccHseedteess(t)s(t)的广义匹配滤波器为的广义匹配滤波器为 00/2121()()()12sttcsH sH
38、 s Hscees002()()()12ststncSs ecHseGss，0()/2020()20t tcetth ttt 续续3.6 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布一、一、正态随机信号通过线性系统正态随机信号通过线性系统 niiiitthXdthXtYi00maxlim正态随机信号通过线性系统输出服从正态分布正态随机信号通过线性系统输出服从正态分布h(t)(tY)(tX11111221221122221122NNNNNNNNNNYl Xl XlXYl Xl XlXYlXlXlX例例9:9:图示系统，假定输入图示系统，假定输入X(t)X(t)为零均值
39、平稳正态随机为零均值平稳正态随机过程，功率谱密度为过程，功率谱密度为 ，求输出过程的一、二维，求输出过程的一、二维概率密度。概率密度。一、一、正态随机信号通过线性系统正态随机信号通过线性系统()XG)(tY)(tX()H 解解2)()()(HGGXYdHGRXYY22)()(21)0()0(2exp)0(21)(2YYYRyRyf若若X(t)均值为零：均值为零：niiiinthXtYi10maxlim中心极限定理：中心极限定理：大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。白噪声通过有限带宽线性系统白噪声通过有限带宽线性系统 宽带随机信号通过窄带线性系统宽带随机信号通过窄带线性系统3.6 3.6 线性系统输出端随机过程的概率分布线性系统输出端随机过程的概率分布二、随机过程正态化二、随机过程正态化
