1、4.5 4.5 应应 用（一）用（一）矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.4.5和4.6两节就来介绍这方面的知识.本节先来介绍下面的经济发展与环境污染的增长模型.经济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：14.5 4.5 应应 用（一）用（一）且有如下关系：发展水平的环境污染水平与经济分别为改地区若干年后平水境污染水平与经济发展分别为改地区目前的环设,1100yxyx001001223yxyyxx令 111000,
2、yxyx2213A则上述关系的矩阵形式为.01A 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.24.5 4.5 应应 用（一）用（一）如11000yx则由上式得 001411444112213 A 由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.模型为的增长则经济发展与环境污染水平与经济发展水平，年后的环境污染分别为该地区一般地，若令tyxtt,),2,1(2231111ktyxyyxxtttttt34.5 4.5 应应 用（一）用（一）令 tttyx则上述关系的矩阵形式为 ktAtt,2,1,1由此，有.)(,010323021201tttAAAAAAA44.
3、5 4.5 应应 用（一）用（一）由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论：由矩阵A 的特征多项式)1)(4(2213|AE得A 的特征值为1,421得特征向量，解方程组对0)4(41XAE11154.5 4.5 应应 用（一）用（一）212.,21线性无关显然，下面分三种情况分析：Case 1 1110由(*)及特征值与特征向量的性质知，1141110tttttAA得特征向量，解方程组对0)(11XAE64.5 4.5 应应 用（一）用（一）即 114tttyx或tttyx4 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较
4、高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.的特征向量的属于特征值也是则的特征向量，的属于特征值是矩阵一个性质：若kkAA74.5 4.5 应应 用（一）用（一）21220Case.,020不讨论此种情况y7130Case.0不能类似分析不是特征值，21021023唯一线性表出为，可以由但是由（*）及特征值与特征向量的性质84.5 4.5 应应 用（一）用（一）,221121210443243211211432323)23(tttttttttttAAAA即,443243ttttyx,243ttx443tty 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.94.5 4.5 应应 用（一）用（一）
5、由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用.因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重要作用.2104.5 4.5 应应 用（一）用（一）莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系.设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年），将区间0,L作n等分得n个年龄组,1LniLni.nL,2,1ni每个年龄组的长度为 114.5 4.5 应应 用（一）用（一）的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为ai，存活率（即第i个年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与第i 个
6、年龄组中雌性动物的总数之比）为bi.,1LniLni 令)0()0(2)0(1)0(nxxxX设第i个年龄组124.5 4.5 应应 用（一）用（一）即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.)0(X取,Lnktk,2,1k 设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为 ,)(kixni,2,1令,)()(2)(1)(knkkkxxxX,2,1k134.5 4.5 应应 用（一）用（一）则X(k)即为时刻tk该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化.易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段t
7、k-1,tk内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即)1()1(22)1(11)1(2)1(21)1(1)(1knnkknknkkkxaxaxaaxaxaxx（2.1）又tk时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1 时刻第i个年龄组中雌性动物的存活量，即,)1()1()(1kiiikikixbbxx1,2,1ni（2.2）144.5 4.5 应应 用（一）用（一）联立（2.1）和（2.2）得1,2,1,)1()(1)1()1(22)1(11)(1nixbxxaxaxaxkiikiknnkkk（2.3）即)1(11)()1(22)(3)1(11)(2)1()1(11)
8、1(22)1(11)(1knnknkkkkknnknnkkkxbxxbxxbxxaxaxaxax（2.4）154.5 4.5 应应 用（一）用（一）令莱斯利矩阵 000000000121121nnnbbbaaaaL则（2.4）即为,)1()(kkLXX（2.5）,2,1k于是164.5 4.5 应应 用（一）用（一）.,)0()1()()0(3)2()3()0(2)1()2()0()1(XLLXXXLLXXXLLXXLXXkkk（2.6）由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X(0)，则可计算出tk时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X(k)，从而对该动物种群中雌性动物的数量
9、作出科学的预测和分析.174.5 4.5 应应 用（一）用（一）例例 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析.解：,3,15nL,3,4,0321aaa.25.0,5.021bb,5001000500)0(X025.00005.0340L184.5 4.5 应应 用（一）用（一）由（2.
10、6）得 25025055005001000500025.00005.0340)0()1(LXX5.62275017502502505500025.00005.0340)1()2(LXX)0()1()(XLLXXkkk194.5 4.5 应应 用（一）用（一）下面求 .kL由矩阵L的特征多项式)4123)(23(25.0005.034|2LE得L的特征值为453,453,23321由Th4.9推论知，矩阵L可相似对角化.得特征向量，解方程组对0)23(231XLE204.5 4.5 应应 用（一）用（一）1813111特征向量得，解方程组对0)453(4532XLE214.5 4.5 应应 用（
11、一）用（一）535614516362535614516363.特征向量得，解方程组对0)453(4533XLE224.5 4.5 应应 用（一）用（一）令矩阵 5353181561456143151636516361),(321P则P可逆，且 3211LPP234.5 4.5 应应 用（一）用（一）于是 1321PPL从而)0(1321)0()(XPPXLXkkk244.5 4.5 应应 用（一）用（一）)0(112121)0(1321)0(1321)()(1XPPXPPXPPkkkkkkk254.5 4.5 应应 用（一）用（一）5001000500535318156145614315163
12、6516361)()(1112121kkkP264.5 4.5 应应 用（一）用（一）500100050038051172557605953805815380511725576059538058151981927199)()(112121kkkP274.5 4.5 应应 用（一）用（一）19529006125195250058751927500)()(112121kkkP284.5 4.5 应应 用（一）用（一）19529006125195250058751927500)()(111212)(1kkkkPX两边取极限得 294.5 4.5 应应 用（一）用（一）1952900612519525
13、0058751927500)()(1lim1lim1212)(1kkkkkkPX304.5 4.5 应应 用（一）用（一）19529006125195250058751927500)()(1lim1212kkkP314.5 4.5 应应 用（一）用（一）.1927500001927500),(001927500)1,1(1952900612519525005875192750000133211212PP324.5 4.5 应应 用（一）用（一）于是，当k充分大时，181311)23(192750019275001927500111)(1)(1kkkkkXX.334.5 4.5 应应 用（一）用（一）由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为,181:31:1,)23(1927500k.)23(34227500k,)23(5727500k.)23(171343750k且时刻该动物种群的3个年龄组中雌性动物的数目分别为且其总和为34
