1、第十三章第十三章 概率与统计概率与统计第七节离散第七节离散型随机变量的期望与方差型随机变量的期望与方差第七节离散型随机变量的期望与方差第七节离散型随机变量的期望与方差课前自主学案课前自主学案 知识梳理知识梳理 1数学期望一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望(或均值)，简称期望数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2方差D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn.叫做离散型随机变量的方差方差是衡量数据波动大小的量，方差越大数据波动越大3.标准差D的算术平方根 叫做随机变量的标准差，记
2、作.4均值、方差的性质 E(ab)aEb；D(ab)a2D；5几个重要分布的期望和方差(1)若X服从两点分布，则EXp，DXp(1 p)基础自测基础自测 1若XB(n，p)，且EX1.6，DX1.28，则()An8，p0.2Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45解析：EXnp1.6，DXnp(1p)1.28.n8，p0.2.答案：A课堂互动探究课堂互动探究 根据离散型随机变量的概率分布的性质求均值与方差 (2009年陕西卷改编)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示据统计，随机变量的概率分布如下：求：E、D.分析：可按照分布列的性质，求出a的值，再利用公式计算E和D.解析：
3、由概率分布的性质有0.10.32aa1，解得a0.2.的概率分布为0123P0.10.30.40.2E00.110.320.430.21.7.于是D(01.7)20.1(11.7)20.3(21.7)20.4(31.7)20.20.81.变式探究变式探究 1设离散型随机变量可能取的值为1,2,3,4.P(k)akb(k1,2,3,4)又的数学期望E3，则ab_.求离散型随机变量的均值和方差 (2009年天津卷改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)求X的期望EX和方差DX.解析：(1)由于从 1
4、0 件产品中任取 3 件的结果数为 C310，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为Ck3C3k7，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为 P(Xk)Ck3C3k7C310，k0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是 变式探究变式探究 2(2009 年重庆卷)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：(1)两种大树各成活 1 株的概率；(2)成活的株数 的分布列与期望 P(3)P(A1B2)P(A2B1)4914491213，P(4)P(
5、A2B2)491419.综上知 有分布列：0 1 2 3 4 P 136 16 1336 13 19 从而，的期望为 E01361162133631341973(株)解法二：分布列的求法同前 令 1、2分别表示甲、乙两种树成活的株数，则 1B2，23，2B2，12，故有 E122343，E22121，从而知 EE1E243173(株)均值、方差的应用甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和 的分布列如下：0 1 2 0 1 2 P 610 110 310 P 510 310 210 试对这两名工人的技术水平进行比较 分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等
6、的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小 解析：工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为：E0610111023100.7，D(00.7)2610(10.7)2110(20.7)2310 0.81；工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为：E0510131022100.7，D(00.7)2510(10.7)2310(20.7)2210 0.61；由 EE 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 DD，可见乙的技术比较稳定 点评：期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化
7、，即计算方差方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.变式探究变式探究 3下表为某班英语及数学成绩的分布学生共有50人，成绩分为5个档次，如表中所示，英语成绩为5分、数学成绩为4分的学生有3人若在全班学生中任选一人，其英语成绩记为x，数学成绩记为y.(1)x1 的概率是多少？x3 且 y3 的概率是多少？(2)若 y 的期望为13350，试确定 a，b 的值 解析：显然 x，y 是随机变量(1)p(x1)11350110，p(x3，y3)1750425.(2)由 y 的期望为13350得 555044b50315502155018a5013350，即 a4b9
8、.根据表中数据，得 ab4750，即 ab3.联立解得 a1，b2.均值、方差与函数知识的综合均值、方差与函数知识的综合 若随机事件 A 在 1 次实验中发生的概率为 p()0p1，用随机变量 表示 A 在 1 次实验中发生的次数 求方差 D 的最大值；求2D1E的最大值 解析：随机变量 的所有可能取值为 0,1，并且有 P(1)p，P(0)1p，E0()1p 1pp.D()0p2()1p()1p2ppp2，Dpp2p12214，0p1，当 p12时，D 取得最大值，最大值为14.变式探究变式探究 4某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元设在一年内E发生的概率为
9、p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解析：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以 表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：x xaP1p p因此，公司每年收益的期望值为Ex(1p)(xa)pxap为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E0.1a，即xap0.1a，故可得xa(p0.1)即顾客交的保险金为 a(p0.1)时，可使公司期望获益0.1a.温馨提示温馨提示 1数学期望(均值)EX是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均EX由X的分布列唯一确定.均值是离散型随机变量的一个重要参数，是对随机变量的一种简明的描述，它是表示均值的统计概念，但要
10、通过大量的现象才能表现出来，在实际生产生活中有着广泛的应用2求均值的一般方法步骤是：首先写出随机变量所有可能的取值，然后求出随机变量取每个值对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望的定义计算3方差DX表示X对EX的平均偏离程度，DX越大表示平均偏离程度越大，说明X的取值越分散4二项分布的均值和方差的计算公式是重要公式，在解题时要注意哪些变量服从二项分布 题型展示台题型展示台 (2009 年青岛一模)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y，设 O 为坐标原点，点 P 的坐标为(x2，xy)，记|OP|2.(1)求随机变量
11、的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量 的分布列和数学期望 解析：(1)x、y 可能的取值为 1、2、3，|x2|1，|yx|2.(x2)2(xy)25，且当 x1，y3 或 x3，y1 时，5.因此，随机变量 的最大值为 5.有放回抽两张卡片的所有情况有 339 种，P(5)29.(2)的所有取值为 0,1,2,5.0 时，只有 x2，y2 这一种情况，(2009年广州质检)某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的
12、某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？21解析：(1)从 2 种服装商品，2 种家电商品，3 种日用商品中，选出 3 种商品一共有C37种选法，选出的3 种商品中没有日用商品的选法有C34种，所以选出的3 种商品中至少有一种日用商品的概率为P1C34C373135.(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，设为 X，其所有可能值为0，m,2m,3m，X
13、0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖 所以 P(X0)C0312012318，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5m150，所以m100.故商场应将中将将金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有
14、一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，
15、殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很
16、多在选择，学业、事业、爱情我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样
17、的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如
18、此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨
19、声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试
20、图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每
21、个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是
22、给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是
23、单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端
24、到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把
25、钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚
26、的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一
27、放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴
28、里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾
29、就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！
