1、第1课时计数原理知识网络要点梳理知识网络要点梳理填一填:;.知识网络要点梳理1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情,共有N=m1+m2+mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m1m2mn种不同的方法.3.排列与组合的概念知识网络要点梳理4.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从
2、n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.5.排列数、组合数的公式及性质知识网络要点梳理6.二项式定理 知识网络要点梳理7.二项式系数的性质(2)二项式系数先增后减中间项最大.专题归纳高考体验专题一两个计数原理例1 某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A.14 B.16C.20 D.48思路分析:根据题意分成两类,一类是甲企业有1人发言,另两个发言人来自其余4家企业,另一类是3人全来自其余
3、4家企业,采用分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得解.专题归纳高考体验解析:分两类.第1类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人来自其余4家企业,有6种情况.由分步乘法计数原理,得N1=26=12;第2类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.综上可知,共有N=N1+N2=12+4=16种情况.答案:B反思感悟两个计数原理的共同之处是研究做一件事,完成它共有的方法种数问题,而它们的主要差异是“分类”与“分步”.分类加法计数原理的特点是:类与类相互独立,每类方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联”电路来理解);分步乘法计数原理的特点是:步与步相互依存,且只有当所有步骤均完成了(每个步
4、骤缺一不可),这件事才算完成(可类比物理中的“串联”电路来理解).运用时要掌握其计数本质,合理恰当地运用两个原理.专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练1五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有()A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10 种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步
5、乘法计数原理,应有102=20种情况.答案:C专题归纳高考体验专题二排列组合综合应用例2 将由3,4,5,6,7五个数字组成没有重复数字的五位数排成一个递增数列,则首项为34 567,第2项是34 576,直到末项(第120项)是76 543.问:(1)65 473是第几项?(2)第93项是怎样的一个五位数?所以65 473是第120-32=88项.专题归纳高考体验但比第93项大的数有120-93=27(个),第93项即倒数第28项,而万位数是6,千位数是7的6个数是67 543,67 534,67 453,67 435,67 354,67 345,从此可见第93项是67 435.反思感悟将具
6、体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键.其求解策略为:(1)正确分类或分步,恰当选择两个计数原理;(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.排列组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练2数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行这个数为N1,N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1N2N3的所有排列的个数是.答案:240 专题归纳高考体验专题三涂色问题的解决思路例3一个地区分为5个行政区域(如图所示),现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色.现有4种
7、颜色可供选择,则不同的着色方法有种.(用数字作答)专题归纳高考体验专题归纳高考体验(方法二)以所用颜色的多少分类考虑.答案:72 专题归纳高考体验反思感悟在解决涂色问题的题目中应注意先分好步,然后再确定每一步中可能分成几类,而每类有几种不同情况,充分体现了分类加法和分步乘法这两大计数原理的综合应用.专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练3现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A.144种B.72种C.64种D.84种解析:根据所用颜色的种数分类.故共有24+48+12=84种不同的着色方案.答案:D 专题归纳高考体验专题四二项
8、式定理的应用 A.-4B.-2C.2D.4 故x的系数是-10+12=2.答案:C 专题归纳高考体验反思感悟对于二项式定理的考查常出现两类问题,一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类,需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.从近几年高考命题趋势来看,对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主,难度不大,但不排除与其他知识的交汇,具体归纳如下:(1)考查通项公式问题.(2)考查系数问题:涉及项的系数、二项式系数以及系数的和.一般采用通项公式或赋值法解决.(3)可转化为二项式定理解决问题.专题归纳高考体验答案:2 专题归纳高考体验专题五分类讨论思想例5车间有11名工人,其中5名男工是钳工,
9、4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?专题归纳高考体验反思感悟 解含有约束条件的排列、组合问题,应按元素的性质进行分类,分类时需要满足两个条件:类与类之间要互斥(保证不重复);总数要完备(保证不遗漏).专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练 5从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有个.(用数字作答)答案:60专题归纳高考体验考点一两个计数原理1.(2016课标高考)如图
10、,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.答案:B专题归纳高考体验考点二排列组合2.(2017课标高考)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种C.24种D.36种答案:D 专题归纳高考体验3.(2016四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五
11、位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60 D.72解析:由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1,3,5,答案:D 专题归纳高考体验4.(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个C.96个D.72个解析:当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数 答案:B 专题归纳高考体验5.(2017山东高考)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()答案:C专题归纳高考体验6.(2014北京高考)把5件不同产品摆成一
12、排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧,不同的摆 故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36(种).答案:36 专题归纳高考体验7.(2018全国高考)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案:16专题归纳高考体验考点三二项展开式 答案:C 专题归纳高考体验A.15B.20C.30 D.35 答案:C 专题归纳高考体验10.(2019全国高考)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20
13、D.24答案:A11.(2015课标高考)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30 D.60解析:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为 答案:C 专题归纳高考体验答案:10 答案:-56 专题归纳高考体验答案:28 专题归纳高考体验专题归纳高考体验16.(2015课标高考)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,a=3.解析二设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.答案:3
