1、进进 入入 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.1.随机变量的概念随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做样的变量叫做 .（1）离散型随机变量）离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值，如果对于随机变量可能取的值，可以可以 ，这样的随机变量叫做离，这样的随机变量叫做离散型随机变量散型随机变量.（2）连续型随机变量）连续型随机变量:如果随机变量可如果随机变量可以以 ，这样的随机变量叫做连，这样的随机变量叫做连续型随机变量续型随机变量.随机变量随机变量 按一定次序一一列出按一定次序一一列出 取某一区间内的一切值取
2、某一区间内的一切值 名师伴你行（3）若）若是随机变量，是随机变量，=a+b，其中，其中a,b是常数，则是常数，则 .2.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）：设离散型随机变量）概率分布（分布列）：设离散型随机变量可能取的可能取的值为值为x1,x2,xi,取每一个值取每一个值xi(i=1,2,)的概率的概率P(=xi)=pi，则称表，则称表为随机变量为随机变量的的 ，简称为，简称为的的 .也是随机变量也是随机变量 x1x2xiPp1p2pi概率分布概率分布 分布列分布列 名师伴你行返回目录返回目录（2）二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是）二项分布：如
3、果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是次的概率是P(=k)=.其中其中k=0,1,n,q=1-p，于是得到随，于是得到随机变量机变量的概率分布如下：的概率分布如下：我们称这样的随机变量我们称这样的随机变量服从服从 ，记作，记作B（n,p），其中），其中n,p为参数，并记为参数，并记 k=b(k;n,p).二项分布二项分布 01knPk k-n nk kk kn nq qp pC Ck k-n nk kk kn nq qp pC Cn n0 00 0n nq qp pC C-1 1n n1 11 1n nq
4、qp pC Ck k-n nk kk kn nq qp pC C0 0n nn nn nq qp pC C名师伴你行返回目录返回目录 考点一考点一 随机变量的分布列随机变量的分布列 【例【例1】已知随机变量已知随机变量的分布列为：的分布列为：分别求出随机变量分别求出随机变量1=,2=2的分布列的分布列.2 21 1-2-10123p12121 14 41 13 31 112121 16 61 112121 1名师伴你行返回目录返回目录【分析【分析】根据题设，随机变量的数值将发生变化，解题根据题设，随机变量的数值将发生变化，解题时，应注意变化后的随机变量与相应的概率之间的关系时，应注意变化后的随
5、机变量与相应的概率之间的关系.【解析【解析】由于由于1=，对于不同，对于不同的取值的取值-2,-1,0,1,2,3可得可得到不同的到不同的1,即即1=-1，-，0，1，.显然，尽管分布列中的随机变量的数值已经产生了变化，显然，尽管分布列中的随机变量的数值已经产生了变化，但其相应的概率并不发生变化，故但其相应的概率并不发生变化，故1=的分布列为的分布列为:2 21 12 21 12 23 32 21 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录 由于由于2=2对于对于的不同取值的不同取值-2，2及及-1，1，2分别取相分别取相同的值同的值4与与1，即，即2取取4时，其概率应是时，其概率应是取取-2与
6、与2时的概时的概率之和；率之和；2取取1这个值的概率应是这个值的概率应是取取-1与与1时的概率之时的概率之和，故和，故2的分布列为的分布列为:-101p2 21 12 21 12 23 31 12 21 14 41 13 31 11 12 21 16 61 11 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录【评析【评析】在得到在得到1或或2的分布列中，的分布列中，1或或2的取值中，的取值中，要求无重复的数值，相应的概率均应非负，且每项之和要求无重复的数值，相应的概率均应非负，且每项之和等于等于1.20149p3 31 13 31 14 41 11 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录 对应演练
7、对应演练设随机变量设随机变量的分布列的分布列P(=)=ak(k=1,2,3,4,5).求：求：（1）常数）常数a的值；的值；（2）P();（3）P().5 5k k5 53 310101 110107 7（1）a1+a2+a3+a4+a5=1，得，得a=.（2）分布列为）分布列为P(=)=k(k=1,2,3,4,5),15151 15 5k k15151 1名师伴你行返回目录返回目录 5 53 315153 35 54 45 55 515154 415155 55 54 45 53 35 53 35 51 15 52 21 15 51 11 15 52 25 54 4解法一解法一：P()=P(
8、=)+P(=)+P(=)=+=.解法二解法二：P()=1-P(=)+P(=)=1-(+)=.（3）因为）因为 ，只有，只有=,时满足，故时满足，故P()=P(=)+P(=)+P(=)=+=.10101 110107 75 51 15 52 25 53 310101 110107 75 51 15 52 25 53 31 15 51 11 15 52 21 15 53 35 52 2名师伴你行返回目录返回目录 考点二考点二 求随机变量的分布列求随机变量的分布列 【例【例2】某君参加射击，击中目标的概率为某君参加射击，击中目标的概率为 .（1）设）设为他射击为他射击6次击中目标的次数，求随机变量次
9、击中目标的次数，求随机变量的的分布列；分布列；（2）设）设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；的分布列；（3）若他连续射击）若他连续射击6次，设次，设为他第一次击中目标前没为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求有击中目标的次数，求的分布列；的分布列；（4）若他只有）若他只有6颗子弹，若击中目标，则不再射击，否颗子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数则子弹打完，求他射击次数的分布列的分布列.3 31 1名师伴你行返回目录返回目录【分析【分析】这这4个小题中的随机变量的意义都很接近，个小题中的随机变量的意义都很接近，因此准
10、确定义随机变量的意义是解答的关键因此准确定义随机变量的意义是解答的关键.【解析【解析】（1）随机变量）随机变量服从二项分布服从二项分布B(6,)，而，而的的取值为取值为0,1,2,3,4,5,6,则则P(=k)=(k=0,1,2,3,4,5,6)，故故的分布列为：的分布列为：3 31 1k k6 6k kk k6 63 32 23 31 1C C0123456P7297291921927297296464729729240240729729160160729729606072972912127297291 1名师伴你行返回目录返回目录（2）设）设=k表示他前表示他前k-1次未击中目标，而在第次
11、未击中目标，而在第k次射击次射击时击中目标，则时击中目标，则的取值为全体正整数的取值为全体正整数1,2,3,该君射击过程可看作取球过程，击中一次目标看作取出该君射击过程可看作取球过程，击中一次目标看作取出一个绿球，而未击中目标看作取出一个红球，所以一个绿球，而未击中目标看作取出一个红球，所以表示前表示前k-1次取得红球，而第次取得红球，而第k次取得绿球，这种取球次取得绿球，这种取球显然是有放回的取球，则显然是有放回的取球，则P(=k)=(k=1,2,3,).故故的分布列为：的分布列为：3 31 13 32 2k k123kP3 31 13 31 13 32 23 31 13 32 223 31
12、 13 32 21 1k k名师伴你行返回目录返回目录（3）设）设=k表示前表示前k次未击中目标，而第次未击中目标，而第k+1次击中目标，次击中目标，的取值为的取值为0,1,2,3,4,5，当，当=6时表示射击时表示射击6次均未击中目次均未击中目标，则标，则P(=k)=(k=0,1,2,3,4,5)，且，且P(=6)=.故故的分布列为：的分布列为：3 31 13 32 2k k6 63 32 20123456P3 31 19 92 227274 48 81 18 82 24 43 31 16 67 72 29 93 32 27 72 29 96 64 4名师伴你行返回目录返回目录（4）设）设=
13、k表示前表示前k-1次未击中，而第次未击中，而第k次击中，次击中，k=1,2,3,4,5,P(=k)=(k=1,2,3,4,5)；而；而=6表示前表示前5次未击次未击中，中，P(=6)=.的分布列为：的分布列为：3 31 13 32 2-1-1k k53 32 2123456P3 31 19 92 227274 48 81 18 82 24 43 31 16 62 24 43 33 32 2名师伴你行返回目录返回目录【评析【评析】从上面各小题可以看出求随机变量的分布从上面各小题可以看出求随机变量的分布列列，必须首先弄清，必须首先弄清的含义及的含义及的取值情况，并准确定的取值情况，并准确定义义“
14、=k”,问题解答完全后应注意检验分布列是否满足问题解答完全后应注意检验分布列是否满足第二条性质第二条性质.注意射击问题与返回抽样问题是同一类问注意射击问题与返回抽样问题是同一类问题题.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列的分布列.（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；）每次取出的产品都不
15、放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；出一件产品；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中中.名师伴你行返回目录返回目录（1）的取值为的取值为1,2,3,4.当当=1时，即只取一次就取得合格品，时，即只取一次就取得合格品，故故P（=1）=；当当=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故故P（=2）=.类似地，有类似地，有P（=3）=,P(=4)=，所以，所以，的分布列为：的分布列为：13131010131
16、33 31212101026265 513133 312122 2111110101431435 513133 312122 211111 1101010102 28 86 61 11234P1313101026265 51431435 52 28 86 61 1名师伴你行返回目录返回目录（2）的取值为的取值为1,2,3,n,.当当=1时，即第一次就取到合格品，故时，即第一次就取到合格品，故P（=1）=；当当=2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故故P（=2）=;当当=3时，即第一、第二次均取到次品，而第三次取到合格时，即第一、第二次均取到次品
17、，而第三次取到合格品，故品，故P(=3)=()2 .类似地，当类似地，当=n时，即前时，即前n-1次均取到次品，而第次均取到次品，而第n次取到合次取到合格品，故格品，故P(=n)=（）n-1 ,n=1,2,3,因此，因此，的分布列为：的分布列为：1313101013133 31313101013133 31313101013133 313133 31313101013133 313131010123nP1 13 31 10 01 13 33 31 13 31 10 01 13 31 10 01 13 33 321 13 31 10 01 13 33 31 1n n名师伴你行返回目录返回目录（3
18、）的取值为的取值为1,2,3,4.当当=1时，即第一次就取到合格品，故时，即第一次就取到合格品，故P(=1)=.当当=2时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注时，即第一次取到次品而第二次取到合格品，注意第二次再取时，这批产品有意第二次再取时，这批产品有11个合格品，个合格品，2个次品个次品,故故P(=2)=;类似地，类似地，P(=3)=,P(=4)=.1313101013133 3131311112 21313333313133 313132 2131312122 21313333313133 313132 213131 1131313132 213136 6因此，因此，的分布列为：的分布
19、列为：1234P131310102 2131333333 31 13 37 72 23 31 13 36 6名师伴你行返回目录返回目录 考点三考点三 分布列的应用分布列的应用【例【例3】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间设各局比赛相互间没有影响没有影响.令令为本场比赛的局数，求为本场比赛的局数，求的概率分布及不用的概率分布及不用赛满五局就能决出胜负的概率（精确到赛满
20、五局就能决出胜负的概率（精确到0.0001）.【分析【分析】五局三胜制，比赛局数最少要进行三局，最多五局三胜制，比赛局数最少要进行三局，最多要进行五局，即要进行五局，即的可能取值为的可能取值为3,4,5;而不用打满五局，而不用打满五局，即比赛场数为即比赛场数为3场或场或4场场.名师伴你行返回目录返回目录【解析【解析】单局比赛甲队胜乙队的概率为单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,乙队胜甲队的乙队胜甲队的概率为概率为1-0.6=0.4.比赛比赛3局结束有两种情况：甲队胜局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜局或乙队胜3局局.因而因而P(=3)=0.63+0.43=0.28.比赛比赛4局结束有两种情况：
21、前局结束有两种情况：前3局局中甲队胜中甲队胜2局，第局，第4局甲队胜；或前局甲队胜；或前3局中乙队胜局中乙队胜2局，第局，第4局乙队胜局乙队胜.因而因而P(=4)=0.620.40.6+0.420.60.4=0.3744,比赛比赛5局结束有两种情况：前局结束有两种情况：前4局中甲队胜局中甲队胜2局、乙队胜局、乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜局，第五局甲胜或乙胜.因而因而2 23 3C C2 23 3C C名师伴你行返回目录返回目录 P(=5)=0.620.420.6+0.620.420.4=0.3456.所以所以的概率分布为的概率分布为:2 24 4C C2 24 4C Cp=p(=3)+p(=4
22、)=0.28+0.3744=0.6544.345P0.280.37440.3456则比赛不用赛满五局就能决出胜负的概率则比赛不用赛满五局就能决出胜负的概率名师伴你行返回目录返回目录【评析【评析】（1）关于离散型随机变量分布列的计算方法如）关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：下：写出写出的所有可能取值；的所有可能取值；利用随机事件概率的计算方法，求利用随机事件概率的计算方法，求取各个值的概率；取各个值的概率；利用利用的结果写出的结果写出的分布列的分布列.（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取此范围内各个值的概率之和此范围内各个值的概率
23、之和.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰.已知某选手能已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ,，且各轮问题能否正确回答互不影响且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为）该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量求随机变量的分布列与数学期望的分布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表
24、示注：本小题结果可用分数表示).5 54 45 53 35 52 2名师伴你行返回目录返回目录 解法一解法一：（）记：（）记“该选手能正确回答第该选手能正确回答第i轮的问题轮的问题”的的 事件为事件为i(i=1,2,3),则则P(AP(A1 1)=P(A)=P(A2 2)=P(A)=P(A3 3)=)=该选手被淘汰的概率该选手被淘汰的概率P(AP(A1 1+A+A1 1A A2 2+A+A1 1A A2 2A A3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A1 1)P(A)P(A2 2)+P(A)+P(A1 1)P(A)P(A2 2)P(A)P(A3 3)5 54 45 53 35 52
25、 21 12 25 51 10 01 15 53 35 53 35 54 45 52 25 54 45 51 1（2）的可能值为，的可能值为，.P(=1)=P(A1)P(=2)=P(A1 A2)=P(A1)P(A2)P(=3)=P(A1 A2)=P(A1)P(A2)5 51 15 52 25 54 45 53 35 54 4名师伴你行返回目录返回目录 的分布列为的分布列为:E 123P5 51 125258 82525121225255757252512123 325258 82 25 51 11 1解法二解法二：（）记：（）记“该选手能正确回答第该选手能正确回答第i轮的问题轮的问题”的的事件
26、为事件为i(i=1,2,3)，则则 ,该选手被淘汰的概率该选手被淘汰的概率P=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-.(2)同解法一同解法一.P(A1)=P(A2)=P(A3)=5 54 45 53 35 52 21251251011015 52 25 53 35 54 4名师伴你行返回目录返回目录 1.离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：pi0(i=1,2,n)与与 =1是确定分布列中参数值的依据是确定分布列中参数值的依据.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体依据确定求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体依据确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各取各个值的概率个值的概率.3.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和范围内各个值的概率之和.4.处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量际问题确定恰当的随机变量.n n1 1i ii iP P名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行
