1、模块六模块六 随机模型随机模型6.1 6.1 基本概率模型基本概率模型6.2 传送系统的效率传送系统的效率6.3 报童的诀窍报童的诀窍 6.4 随机存储策略随机存储策略6.5 轧钢中的浪费轧钢中的浪费6.6 实验：随机模拟实验：随机模拟确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型6.1 基本概率模型基本概率模型 排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有排列的直接原型是人员或
2、者事物的排队。这里所讲的排队不带有歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。例例1 要把要把A、B、C三个人排成一队，有几种排三个人排成一队，有几种排法？法？一全排列一全排列排 法1ABC2ACB3BAC4BCA5CAB6CBA三人排队总共有三人排队总共有6123种不同的排法种不同的排法。四人排队，排头可以选定为这四人中的任四人排队，排头可以选定为这四人中的任何人。不论选定了谁站在排头，接下来的安何人。不论选定了谁站在排头，接下来的安排就变成了三人排队的问题。所以，共有排就变成了三人排队的问题。所以，共有 4 3 2 124 种不同的排
3、法种不同的排法。n人排队可以转化成人排队可以转化成 n个个 1n人排队问题，故人排队问题，故!123)1(nnnAnn全排列数为全排列数为 排列和组合排列和组合 种不同的排法，黄组都有种不同的排法，黄组都有 种不同的排法与之对应种不同的排法与之对应。列前，黄组（列前，黄组（人）排在后面，有几种排法？人）排在后面，有几种排法？例例2 把把 个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（人）人）二选排列二选排列前面前面 个人（红组）的排法共有个人（红组）的排法共有 种，对于红组的每一种，对于红组的每一)!(rnArn因此，在这样限制条件之下的排法总数为共有因此
4、，在这样限制条件之下的排法总数为共有 实际上，如果将红组的人规定在其它的实际上，如果将红组的人规定在其它的 个位置，排法的总个位置，排法的总数也与此相同数也与此相同。nr 像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，排列计算公像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，排列计算公式为式为)!(!rnrAArnrrn r!rArr)!(!rnrAArnr排法的总数为排法的总数为 。例例3 某个部门有把某个部门有把 个成员，因工作需要准备派个成员，因工作需要准备派 人外出。试人外出。试问共有几种不同的选择。问共有几种不同的选择。三组合三组合如果将所有成员排成一列，排在前如果将所有成员排成一列，
5、排在前 个位置的人为外出者，则个位置的人为外出者，则!nAn 由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为 n)!(!rnrnAAACrnrnrn 这刚好是全排列和选排列之商。这刚好是全排列和选排列之商。rr 一般是认为两种结果出现的一般是认为两种结果出现的机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都是是 。有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常
6、常需要有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常常需要对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的问题。问题。如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它落地后会是落地后会是“正面向上正面向上”还是还是“反面向上反面向上”。古典概率古典概率21如果用如果用A和和B分别代表两种不同的结果，用分别代表两种不同的结果，用()p A和和)(Bp代表两个结果出现的概率（可能性）。应该有代表两个结果出现的概率（可能性）。应该有5.021)(Ap，5.021
7、)(Bp。发生的概率就是发生的概率就是发生。则事件发生。则事件个等可能性的不同结果，其中个等可能性的不同结果，其中 种情况种情况 改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是正面或者反面的概率有多大？正面或者反面的概率有多大？其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结果符合要求。果符合要求。显然，共有四种可能发生的结果：显然，共有四种可能发生的结果：正正正，正，正正反，反，反反正，正，反反反。反。“正反面相同正反面相同”的概率应该是的概率应该是 .5.042p如果做某项试验共有如果做某项试
8、验共有nk都会导致某种事件都会导致某种事件AAnkp 这就是古典概率的计算公式。这就是古典概率的计算公式。必然会发生事件的概率认为是必然会发生事件的概率认为是1，这与人们常说，这与人们常说“百分之百分之百会如此百会如此”的习惯相一致，因为的习惯相一致，因为 例例4 某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的概率相同。试问：概率相同。试问：（1）事件）事件 连续两次都是正面向上的概率是多少？连续两次都是正面向上的概率是多少？（2）事件）事件 第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？（3）
9、事件）事件 两次投掷正反面相同的概率有多大？两次投掷正反面相同的概率有多大？（4）事件）事件 连续连续10次都是正面向上的概率是多少？次都是正面向上的概率是多少？；不可能会发生的；不可能会发生的事件称其概率为。事件称其概率为。更多事件的概率都是介于和之间的正数。更多事件的概率都是介于和之间的正数。111()224p A A1100100BCD111()224p B 21()42p C 1011()0.1%21024p D 假定小偷一次行窃得逞的可能性为假定小偷一次行窃得逞的可能性为90,他连续他连续10次作案均得逞的次作案均得逞的概率是多少概率是多少?由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该
10、是由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是54取取4的组合数的组合数 例例5 从一副共从一副共54张的扑克牌中任意抽取张的扑克牌中任意抽取4张，这四张牌都是张，这四张牌都是A的概的概率有多大？率有多大？%35100901015812550)124950()1234(12495051525354)!454(!4!54454C符合要求的结果只有一个，所以发生事件符合要求的结果只有一个，所以发生事件A的概率应该是的概率应该是 1000000006158125501)(Ap大约为一亿分之六。大约为一亿分之六。这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该
11、是54取取13的组合的组合数数 例例6 从一副共从一副共52张扑克牌（四种花色各张扑克牌（四种花色各13张，不包括大王和小王）张，不包括大王和小王）中任意抽取中任意抽取13张，其中有四张牌是张，其中有四张牌是A的概率有多大？的概率有多大？符合要求的结果个数为符合要求的结果个数为)!1352(!13!521352C)123839()121213(12515200635013559612121340415152)!938(!9!38193844CC16301164012893031373810000300026.0006350135596163011640)(Ap 例例7 据说意大利医生兼数学家卡
12、当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点点，那么，赌注下在多少点上最有利？上最有利？两个骰子朝上的面共有两个骰子朝上的面共有36种可能种可能 骰123456123456723456783456789456789105678910116789101112 7是最容易出现的和数，它出是最容易出现的和数，它出现的概率是现的概率是 61366p 所以
13、，卡当预言说押所以，卡当预言说押7最最好，因为出现好，因为出现7点的概率最点的概率最大。大。前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的12枚金币；梅尔赢得枚金币；梅尔赢得全部的全部的12枚金币的概率是枚金币的概率是 赢钱的期望值为赢钱的期望值为 。例例8 在在17世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出们事先每人拿出6枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得12枚枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局。这时因为发生其金币。比赛开始后，保罗胜了一
14、局，梅尔胜了两局。这时因为发生其它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着12枚金币如何分配的时枚金币如何分配的时候两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿候两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿走三分之一的金币走三分之一的金币4枚，梅尔应该得余下的枚，梅尔应该得余下的8枚。但是，梅尔对此并枚。但是，梅尔对此并不认同，他觉得自己获胜的可能性大，应该得到比不认同，他觉得自己获胜的可能性大，应该得到比8枚更多的金币。枚更多的金币。他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮
15、助裁决。两位数学家的结论可以说是不谋而合，认为保罗应得是不谋而合，认为保罗应得3枚金币，梅尔应得枚金币，梅尔应得9枚金币。具体理由如下。枚金币。具体理由如下。如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜），（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜），（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。4394312 名同学每个人在名同学每个人在365天中任何一天出生
16、的机会均等，不同状况的总天中任何一天出生的机会均等，不同状况的总个数为个数为 例例9 设一个班级共有设一个班级共有 名同学。如果每个人生日在一名同学。如果每个人生日在一年年365天中每一天的可能性是均等的。这天中每一天的可能性是均等的。这 名同学的生日名同学的生日各不相同的概率是多少？各不相同的概率是多少？满足要求的基本事件个数为满足要求的基本事件个数为 事件发生的概率为事件发生的概率为rrrrr365365365365个)1365(364365r2365!364(2)1363!365365p35365!(35)0.27330!365p35人的班级有人生日相同的概率是人的班级有人生日相同的概率
17、是%7373.027.011 prrrp365)1365(364365)(rr365)!365(!365 例例10(蒙特霍尔问题蒙特霍尔问题)在某个具有观众参与的电视节目在某个具有观众参与的电视节目中，主持人（据说是蒙特霍尔）向你指示三扇关着的门：中，主持人（据说是蒙特霍尔）向你指示三扇关着的门：号门、号门和号门。他告诉你，其中某一扇门的后号门、号门和号门。他告诉你，其中某一扇门的后面有一辆高级轿车，而其它门后面东西的价值是微不足道面有一辆高级轿车，而其它门后面东西的价值是微不足道的。你可以在这三扇门中任意指定一个并且将无偿获得门的。你可以在这三扇门中任意指定一个并且将无偿获得门后面所摆放的东
18、西。后面所摆放的东西。经过犹豫再三，你选定了其中一扇门，比如是经过犹豫再三，你选定了其中一扇门，比如是2号门。号门。其实，你对其实，你对2号门后是否有汽车没有任何把握。号门后是否有汽车没有任何把握。为了增加悬念，使得电视节目更加好看，主持人并没为了增加悬念，使得电视节目更加好看，主持人并没有立刻打开你所选定的那扇有立刻打开你所选定的那扇2号门，而是打开了号门，而是打开了3号门！号门！人们看到，人们看到，3号门内没有汽车，只是放着一个值不了几个号门内没有汽车，只是放着一个值不了几个钱的塑料垃圾桶。钱的塑料垃圾桶。此时，主持人给你提供了一次重新选择的机会，告诉此时，主持人给你提供了一次重新选择的机
19、会，告诉你现在可以放弃你现在可以放弃2号门而改选号门而改选1号门。到底改不改？号门。到底改不改？多数人会支持你坚持原来的多数人会支持你坚持原来的1号门，他们认为号门，他们认为1号门和号门和2号门有汽车的可能性各占号门有汽车的可能性各占50。其实，主持人所履行的是事先设计好的演出程序，不其实，主持人所履行的是事先设计好的演出程序，不论你首次选择的是哪一扇门论你首次选择的是哪一扇门,也不论你是否选中了汽车，也不论你是否选中了汽车，他都会打开另一扇没有放汽车的门，并且允许你重新选择。他都会打开另一扇没有放汽车的门，并且允许你重新选择。再来说说获奖概率吧，这才应该是你是否更改选择的再来说说获奖概率吧，
20、这才应该是你是否更改选择的理论依据。理论依据。在你最开始选定在你最开始选定2号门的时候，所有人（包括你自己）号门的时候，所有人（包括你自己）都清楚，选中汽车的把握刚好是三分之一。就是说，都清楚，选中汽车的把握刚好是三分之一。就是说，2号号门的后面没有汽车的概率应该是三分之二。门的后面没有汽车的概率应该是三分之二。后来，主持人排除掉了没有被你选中的那扇没有汽车后来，主持人排除掉了没有被你选中的那扇没有汽车的门，再让你重新选择，你居然报定原有的、仅有三分之的门，再让你重新选择，你居然报定原有的、仅有三分之一成功可能性的选择而不放，这是很不明智的。一成功可能性的选择而不放，这是很不明智的。要是你还不
21、明白的话，我们不妨修改一下游戏规则：要是你还不明白的话，我们不妨修改一下游戏规则：第一步，允许你自主地先将在三扇门分成两组，比如你所第一步，允许你自主地先将在三扇门分成两组，比如你所分的第一组只有分的第一组只有2号门，第二组则由号门，第二组则由1号门和号门和3号门组成；号门组成；第二步，你在这两组中任选一组，选中了汽车的话就归你第二步，你在这两组中任选一组，选中了汽车的话就归你了！你会选第一组还是第二组呢？我想你会毫不犹豫地选了！你会选第一组还是第二组呢？我想你会毫不犹豫地选第二组；第三步，主持人在第二组中打开了一扇没有汽车第二组；第三步，主持人在第二组中打开了一扇没有汽车的门给你看，问你是不
22、是改选成第一组。你会改变自己的的门给你看，问你是不是改选成第一组。你会改变自己的选择吗？选择吗？这两种游戏程序和数学原理确是完全相同的。你的确这两种游戏程序和数学原理确是完全相同的。你的确应该充分利用第二次选择的机会，理智地把（概率的）应该充分利用第二次选择的机会，理智地把（概率的）“三分之一三分之一”换成换成“三分之二三分之二”。当然，也许你不换是。当然，也许你不换是正确的，但是正确的可能性只有三分之一。正确的，但是正确的可能性只有三分之一。有些试验的可能结果有无限多个，一旦用不同的数来代有些试验的可能结果有无限多个，一旦用不同的数来代表每个可能的结果，就可以认为是某个所谓表每个可能的结果，
23、就可以认为是某个所谓“随机变量随机变量”可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随机变量，概率的问题就专化成了几何问题。机变量，概率的问题就专化成了几何问题。几何概型几何概型 例例10 假设在假设在10000平方公里的海域内有一块面积为平方公里的海域内有一块面积为100平方公里的平方公里的大陆架蕴藏着石油。如果任选一点钻探，钻到石油的概率是多少？大陆架蕴藏着石油。如果任选一点钻探，钻到石油的概率是多少？出油的概率应该等于面积之比，就是出油的概率应该等于面积之比，就是 这是一个原本就与面积相关的问题，概率值等于面积之这是一个原本就与面积相
24、关的问题，概率值等于面积之比应该说并不奇怪。比应该说并不奇怪。%110000100p 例例11 有两个人相约在有两个人相约在9点钟到点钟到10点钟之间在某咖啡厅点钟之间在某咖啡厅见面。不过不曾作更精确的时间规定，只约定先到者等候见面。不过不曾作更精确的时间规定，只约定先到者等候20分钟离去。试求两人会面的概率。分钟离去。试求两人会面的概率。问题集中在问题集中在60分钟的时间间隔内。设两人到达的时刻分别为分钟的时间间隔内。设两人到达的时刻分别为 ,则两人到达时刻组成一个数组则两人到达时刻组成一个数组),(yx，它对应着平面区域，它对应着平面区域0),(yxD,x y60，0y60 x无论谁先到都
25、停留无论谁先到都停留20分钟，这告诉我们只要分钟，这告诉我们只要 yx 20，两人就能见面两人就能见面。y20 xy 20，20 x20 xO D20 xy20 xy2020606056.0956040402126022p 例例12（蒲丰投针问题）这是法国数学家蒲丰在（蒲丰投针问题）这是法国数学家蒲丰在1777年提出的一个年提出的一个著名概率问题。平面上画着若干间距均为著名概率问题。平面上画着若干间距均为 的平行线，将一枚长度为的平行线，将一枚长度为 的针任意投放在平面内，试计算针与某直线相交的概率。的针任意投放在平面内，试计算针与某直线相交的概率。()a abb O D xA2asin2ax
26、A2bx 问题简化成下图，针的端点到问题简化成下图，针的端点到直线距离成为问题的关键。直线距离成为问题的关键。D122bb 100sincos22aaAda 10212AaapAbb返回传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。背背景景在生产进入稳态后，给出衡量传送带效在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高率的指标，研究提高传送带效率传送带效率的途径的途径6.2 传送系统的效率传送系统的效
27、率问题分析问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的定工人们的生产周期相同生产周期相同，即每人作完一件产品，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。件产品并立即投入下件产品的生产。可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的总数的比例比例，作为衡量传送带效率的数量指标。，作为衡量传送带效率的数量指标。工人们生产周期虽
28、然相同，但稳态下每人生产工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内并且在一个周期内任一时刻的可能性相同任一时刻的可能性相同。模型假设模型假设1）n个工作台个工作台均匀排列，均匀排列，n个工人生产相互独立，个工人生产相互独立，生产周期是常数；生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是一个周期内是等可能等可能的；的；3）一周期内）一周期内m个均匀排列的挂钩个均匀排列的挂钩通过每一工作台通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂
29、钩都是空的；的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只挂钩挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。模型建立模型建立 定义定义传送带效率传送带效率为一周期内运走的产品数（记作为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数待定）与生产总数 n（已知）之比，记作（已知）之比，记作 D=s/n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则，则 s=mp为确定为确
30、定s s，从，从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑，哪个方便？考虑，哪个方便？设每只挂钩为空的概率为设每只挂钩为空的概率为q，则，则 p=1-q如如何何求求概概率率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则，则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方个挂钩通过每一工作台的上方模型解释模型解释若若(一周期运行的一周期运行的)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n,则则)2)1(1(12mnn
31、mnnmD 传送带效率传送带效率(一周期内运走一周期内运走产品数与生产总数之比）产品数与生产总数之比）)11(1nmnmD定义定义E=1-D(一周期内未运走产品数与生产总数之比）一周期内未运走产品数与生产总数之比）提高效率提高效率的途径：的途径：增加增加m 习题习题1当当n远大于远大于1时时,E n/2m E与与n成正比，与成正比，与m成反比成反比若若n=10,m=40,D 87.5%(89.4%)mn2116.3 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可
32、使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备)()(r
33、ncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)(赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解将将r视为连续变量视为连续变量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释结果解释
34、nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp6.4 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s,S)存贮策略存贮策略制订下界制订下界s,上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S;否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货
35、费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略存贮策略,使使(平均意义下平均意义下)总费用最小总费用最小模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0,每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3(相当于相当于售出价售出价)(应有应有c1c3)每周销售量每周销售量 r 随机、随机、r 取值很大取值很大,可视为可视为连续变连续变量，其概率密度量，其概率密度 p(r)上周末库存量上周末库存量x,订货量订货量 u,并且立即到货并且立即到货,周周初库存量初库存量 x+u 一周的销售是集中在周初进行的一周的销售是集中在周初进行的,即
36、一周贮即一周贮存量按存量按 x+u-r 计计,不随时间改变不随时间改变,即不考虑售即不考虑售出的出的r件货物的存贮。这是为了计算方便，不很合件货物的存贮。这是为了计算方便，不很合理理0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模与求解建模与求解（s,S)存贮策略存贮策略0usx确定确定(s,S),使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用 订货费订货费c0,购进价购进价c1,贮存费贮存费c2,缺货费缺货费c3,销售量销售量 r Suxusx,012130)()(ccccdrrpdrrpSSu
37、xuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模与求解建模与求解1）设）设 xs,求求 u 使使 J(u)最小，确定最小，确定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2）对库存）对库存 x，确定确定s)()(101SLxSccJ若订货若订货u,u+x=S,总费用为总费用为)(2xLJ 若不订货若不订货,u=0,总费用为总费用为 12JJ)()(1xIxLxc记)()(0SIc
38、xIs 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货不订货)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x)0 S I(S)s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(
39、1xLxcxIJ(u)与与I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s6.5 轧钢中的浪费轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧)形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧)得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以调整均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最
40、小背背景景分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l，粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m,2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根报废整根报废的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多
41、余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费=+lPm粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mNNlPNmN lPm共浪费长度共浪费长度 mN-lPNlPmPNlPNmN)()(mPmmJ记222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适的目标函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m)最小（已知最小（已知
42、l,）建模建模粗轧粗轧N根根得成品材得成品材 PN根根,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z)最小（已知最小（已知 ）求解求解)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/)(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/)()()(zzzFzzF简表)()()(zzzFz*z例例设设l=2(米米),=20(厘米厘米)，求求 m 使浪费最小。使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N 次试验，得n 次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些近似值的实验数据.的随机模拟（MonteCarlo法）6.6 数学实验：随机模拟数学实验：随机模拟
