1、2022年11月26日星期六第第7章机械波章机械波u 什么是波？什么是波？1.机械波机械波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波振动状态以一定速度在空间的传播就形成了波.u 波的分类波的分类 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波形成机械波.产生条件产生条件波源：作机械振动的物体波源：作机械振动的物体弹性介质：承担传播振动的物质弹性介质：承担传播振动的物质2.电磁波电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波变化的电场和变化的磁场在空中的传播过程形成电磁波.3.物质波物质波物质波物质波（也称概率波）（也称概
2、率波）是微观粒子的一种属性，具有完全是微观粒子的一种属性，具有完全不同的性质，遵从量子力学理论不同的性质，遵从量子力学理论.干涉、衍射干涉、衍射第第7章章 机机 械械 波波横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波.（仅在固体中传播（仅在固体中传播）特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波峰和波谷.7.1 机械波机械波纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部.水面波是什么波
3、水面波是什么波?纵波与横波的合成纵波与横波的合成波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。的指向表示波的传播方向。波阵面：波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成在波动过程中，把振动相位相同的点连成的的面面(简称波面简称波面)。波前：波前：在任何时刻，最前方的波面即是波前。在任何时刻，最前方的波面即是波前。平面波平面波波波线线波波阵阵面面球面波球面波波波阵阵面面波波线线7.1.3 波的几何描述波的几何描述7.1.4 波长、周期、频率和波速波长、周期、频率和波速2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、振动状态完全：沿波
4、的传播方向，两个相邻的、振动状态完全相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度相同的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-ux2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间.T2 频率频率 ：即：即单位时间内波动所传播的完整波的数目单位时间内波动所传播的完整波的数目.2 波速波速 ：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播：波动过程中，某一振动状态单位时间内所传播的距离的距离.uT1TuuTu纵、横波波速纵、横波波速固体中固体中纵波波速纵波波速横波波速横波波速气、液中纵波波速气、液中纵波波速绳中横波波速绳中横波波速 Yu杨氏模量杨氏模量质量
5、密度质量密度 Gu切变模量切变模量 Bu容变容变模量模量 Tu张力张力质量线密度质量线密度如声音的传播速度如声音的传播速度sm4000sm343空气，常温空气，常温左右，左右，混凝土混凝土取决于取决于介质的弹性模量介质的弹性模量和和密度密度),(txyy 各质点相对平衡位各质点相对平衡位置的置的位移位移波线上各质点波线上各质点平平衡衡位置位置7.2.1 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移）相对其平衡位置的位移（坐标为（坐标为 y）随时间的变化关系，即）随时间的变化关系，即 称为波函数称为波函数.(,)y x tyx简谐波
6、的波函数简谐波的波函数0(,)cos()y x tAtkx-7.2 平面简谐波平面简谐波传播过程中各质元均做同频率、同振幅的简谐振动的平面波点点O 的振动状态的振动状态tAyOcos点点 Puxt t 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-x/u时刻点时刻点O 的运动的运动 以速度以速度u 沿沿 x 轴正向传播的轴正向传播的平面简谐波平面简谐波.令令原点原点O 的初相为的初相为零，其振动方程零，其振动方程 tAyOcos)(cosuxtAyP-点点P 振动方程振动方程时间推时间推迟方法迟方法00,0 x0cos()OyAt点点 O 振动方程振动方程 沿沿 轴轴正正向向 ux0cos()xyAtu-
7、yxuAA-O 如果原点的如果原点的初相位初相位不不为零为零0cos2yxtA-22uu，0(,)cos 2txy x tAT-0(,)cos 2xy x tAt-7.2.2 波函数的物理意义波函数的物理意义0cos2yxtA-00cos2Atyx-(1)x=x0，给出，给出 x0 处质元振动方程处质元振动方程(2)t=t0 ，给出，给出 t0时刻的波形图时刻的波形图00cos2xtyA-(3)x 和和 t 都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布都在变化，表明各质点在不同时刻的位移分布.yxuxt时刻时刻tt时刻时刻),(),(xxttxt)(2cosxTtAy-)(2)(2xxTttxTt
8、-xTtxu t v波速波速 u 也称作相速度也称作相速度.PoXYxu1x2x1102xxt-点相位：2202xxt-点相位：:两点相位差1200(2)(2)xxtt-2122xxx-波程差波程差1221xxx-x27.2.3 相位差与波程差（重要）相位差与波程差（重要）0cos2yxtA-0002:cos()xxyAt-参考点x点相位滞后0 xx-波程差)(20 xx-相位差0)2cos(xtxyA-x0 xxyu0002:cos()xxyAt0:px点相位超前0cos(2)xxyAt-02xx-PoXYxux0t+dt时刻oXYut时刻t+dt时刻uoXYt时刻沿X轴正向传播的波，此时两
9、条曲线对比，曲线上升段各质点速度为负；曲线下降段各质点速度为正。沿X轴负向传播的波，此时两条曲线对比，曲线上升段各质点速度为正；曲线下降段各质点速度为负。由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向/y m/x m5.010258111410/um sxp例例.波形如图波形如图0t 1Am12ms2.11012uT s/rad35T2 先写先写 点振动方程点振动方程o0 3 y3)3t35cos()tcos(Ay00 波动方程波动方程025coscos363xxytt-（1）写出波动方程。）写出波动方程。关键确定：关键确定：由图可知由图可知解：（解：（1）o/y m/x m5.01025
10、8111410/um s（2）求）求 两处质点振动位相差。两处质点振动位相差。125,11xm xm解：解：位相差位相差2122()(11 5)12xx-x2 反位相反位相（3）各质点振动速度、加速度表达式）各质点振动速度、加速度表达式025coscos363xxytt-振动速度振动速度tyv振动加速度振动加速度2022cos()yatxt-02sinxt-/y m/x m5.010258111410/um s（4）若图为）若图为 波形，波形，波动方程如何？波动方程如何？s2.0t 方法方法1：3t0 6Ts2.0t36TT20 00)t35cos(yo)10 xt(35cosy-将波形倒退将
11、波形倒退 得出得出 波形，再写方程！波形，再写方程！6 0t 波形波形方法方法2：00.16解：关键是求解：关键是求o点的初位相点的初位相例例2 2 已知已知t=0时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿Ox 方向传播，方向传播，经经t=1/2 s 后波形变为曲线后波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期T 1 s，试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求试根据图中给出的条件求出波的表达式，并求A点的点的振动方程振动方程。解：解：0.01A m0.04m110.010.02 m s1 2Oxxut-波速：波速：0.0420.02Tus2Ty/cmx/cm1 2345 61cmAO原点的初位相和
12、原点的初位相和振动方程：振动方程：)2cos(01.0tyOy/cmx/cm1 2345 61cmAO0.01cos()0.022xyt-波动方程：波动方程：A点振动方程：点振动方程：0.010.01cos()0.022Ayt-0.01cosAyt2补充：补充：波动微分方程波动微分方程)uxt(cosAy-)uxt(sinAty-)uxt(sinuAxy-)uxt(cosAty222-)uxt(cosuAxy2222-22222tyu1xy)t,z,y,x(222222222tu1zyx 2222tu1 三维空间三维空间或或沿沿 方向一维波动微分方程方向一维波动微分方程x 、电磁波电磁波BE7
13、.3.1 波动能量的传播波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.xxOxdxOydyy以固体棒中传播的以固体棒中传播的纵波纵波为例分析波动能量的传播为例分析波动能量的传播.7.3 机械波的能量机械波的能量 22k11ddd22EmVvv)(sinuvxtAty-2 振动动能振动动能222k1ddsin()2xEVAt-uxxOxdxOyyydcos()xyAtu-平面简谐纵波在直棒中传
14、播：平面简谐纵波在直棒中传播：1.动能动能长变杨氏模量长变杨氏模量FdyYSdxYu)(sinuxtAuxy-dYSkx)(sind21222uxtVA-22)dd(d21xyVu22P11dddd()22dyEkyYS xx2 2.弹性势能弹性势能xxOxdxOyyydFYSxdyd21()2PEkl弹簧伸长弹簧伸长 时弹簧的弹力：时弹簧的弹力：lFkl弹性势能：kdy 体积元的总机械能体积元的总机械能kpdddEEE222k1ddsin()2xEVAtu-2 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积
15、元的位移最大时，三者均为零.1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、势能、总机械能均随总机械能均随 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的的.,x t222P1ddsin()2xEVAt-u222dsin()xVAtu-oXYuABCBACDE从波形图理解动能与势能同相变化从波形图理解动能与势能同相变化dydx：波形图上斜率2P1ddd()2dyEYS xx 2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量地传播能量.任一体积元的机械能不守恒任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传
16、波动是能量传递的一种方式递的一种方式.222ddsin()xEVAtu-能量密度能量密度：单位体积介质中的波动能量：单位体积介质中的波动能量.222dsin()dExwAtVu-平均平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.20211d2Tww tTA220AdV结论：结论：机械波的能量与机械波的能量与振幅的平方振幅的平方、频率的平方以及介质的、频率的平方以及介质的密度成正比密度成正比。1、能流：SuuPwuS3、平均能流密度（波的强度）：2212uwuSIPA22IAu、单位时间内垂直通过介质中某一面积的能量。单位面积上通过的平均能流2212PwusA
17、 uS2、平均能流：波的强度与振幅的平方成正比7.3.2 能流和能流密度能流和能流密度1)平面波平面波S1S2A不变不变!2)球面波球面波S1r1S2r22212PA uS2211112PA uS2222212PA uS2114Sr2224Sr1221rrAA12PP2222221122114422A urA ur球面波表达式：球面波表达式：cos()atr ur-式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。例例 证明球面波的振幅与证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数并求球面简谐波的波函数.证证 介质无吸收
18、，通过两个球面介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等的平均能流相等.1s2s1r2r1221rrAA)(cos00urtrrAy-2211uSuS2222221221421421ruAruA式中式中 为离开波源的距离，为离开波源的距离，为为 处的振幅处的振幅.r0rr 0A波在传播过程中，振幅越来越小，称为波的衰减。称为介质的吸收系数或波的衰减系数。xxAxdxAdA设波沿 方向传播，在 处振幅为，在处振幅为。AdxdA-AdxdA-即xeAA-0 则有0 0AAx处设xeII20-0(0)Ix 为处的波的强度dAAdx-2IA7.3.3 波的吸收和衰减（选讲）波的吸收和衰减（选讲）001 A
19、xAdAdxA-即 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射7.4 惠惠 更更 斯斯 原原 理理球球 面面 波波平平 面面 波波 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前新的波前.7.4.1 7.4.1 惠更斯原理惠更斯原理O1R2Rtu 波的衍射波的衍射 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.7.4
20、.2 波的衍射波的衍射N界面界面7.4.3 波的反射和折射波的反射和折射RN界面界面IiirL用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明.2）1）反射线、入射线和界面反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；的法线在同一平面内；ii 反射定律反射定律i i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii时刻时刻 t+t 波的折射波的折射 用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明.时刻时刻 ti i i A1A2A3B2B3B1NNAId1）折射线、入射线和界折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2）N界面界面RN界面界面
21、IiirL时刻时刻 t+tB2B3B1NNAIrrBRri i i A1A2A3B2B3B1NNAId时刻时刻 t时刻时刻 t+ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133sinsinuuABBAri所以所以7.5.1 波的叠加原理7.5 波的干涉波的干涉2 几列波相遇之后，几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频仍然保持它们各自原有的特征（频、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样前进，好象没有遇到过其他波一样.2 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单
22、独存在时在该在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和点所引起的振动位移的矢量和.7.5.1 波的叠加原理频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为弱的现象，称为波的干涉现象波的干涉现象.7.5.2 波的干涉波的干涉相干条件相干条件1s2sP*1r2r波源振动1011cos()yAt2022cos()yAt)2cos(1111rtAyp-)2cos(2222rtAyp-点点P
23、的两个分振动的两个分振动)cos(21tAyyypppcos2212221AAAAA12122rr-常量常量讨讨 论论1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的布随位置而变，但是稳定的.,2,1,02kk,2,1,0)12(kk2121AAAAA-其他其他21AAA振动始终振动始终加强加强21AAA-振动始终振动始终减弱减弱2)cos2212221AAAAA12122rr-波程差波程差12rr-若若 则则212-21AAA-振动始终振动始终减弱减弱21AAA振动始终振动始终加强加强(21)0,1,2,2kk 2121AAAAA-其他
24、其他,2,1,0kk3)讨讨 论论cos2212221AAAAA12122rr-例例1 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波两点为同一介质中两相干波源源.其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 适为波谷适为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.解解15m20mABPm25m201522BPm10.0m10010u 设设 A 的相位较的相位较 B 超超前，则前，则 .-BA2011.0152522-APBPAB点点P 合振幅合振幅
25、021-AAA求：（求：（1）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？1020 m2510u -krr21 -k)xl(x)m(k52k2lx 由由 取值在取值在 之间之间x0l5,4,3,2,1,0k 10,9,8,7,6,5x 0,1,2,3,4)m(加强加强m04.0A2A1 l1s2sxxl-例例2.设两相干波源设两相干波源 、1s2sm10l m02.0AA21 Hz5 02010 s/m10u （2）延长线上合振动如何？）延长线上合振动如何？-5m10lrr21加强加强两边延长线上合振动始终加强两边延长线上合振动始终加强（3）能否改变）能否改变 使
26、延长线上合振动减弱？使延长线上合振动减弱？l可以！可以！2)1k2(l 半波长的奇数倍即可。半波长的奇数倍即可。l1s2s1r2r4 1spp1r1r2r2r解：解：左边延长线上左边延长线上 点：点：p右边延长线上右边延长线上 点点：p0422)rr(2121020-)4(22)rr(2121020加强加强减弱减弱合振幅合振幅合振幅合振幅1A2A 0A 例例3.两相干波源两相干波源 超前超前 ，2s1s2 4l 相距相距 ，。讨论。讨论延长线上干涉情况延长线上干涉情况21AA 2s驻驻 波波 的的 形形 成成7.6.1 驻波的产生驻波的产生振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿
27、振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.7.6 驻波驻波为何要调节钢丝长度或砝码质量？驻波的振幅驻波的振幅与位置有关与位置有关2cos 2cosxAt7.6.2 驻波方程驻波方程1cos(2)xyAt-正向正向2cos(2)xyAt负向负向21yyy各质点都在作同各质点都在作同频率的简谐运动频率的简谐运动cos(2)cos(2)xxAtAt-2cos2cosxyAt 驻波方程驻波方程 讨论讨论x2cos,2,1,02kkx2(21)0,1,2,2xkk 10 x波腹波腹波节波节AAkk2,1
28、,02max相邻相邻波腹（节）波腹（节）间距间距 24相邻波相邻波腹腹和波和波节节间距间距 1）振幅振幅 随随 x 而异，而异，与时间无关与时间无关.xA2cos2min1()0,1,02 2kkA 2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在两侧振动相位相反，在波节波节处产生处产生 的的相位跃变相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）（与行波不同，无相位的传播）.2 cos2cosxyAtx2cos,44,0-x2 cos2 cosxyAt2 cos2cos()xyAt-,434,0 xx2cosxyo22-4x为为波节波节例例7.6.3
29、 相位跃变相位跃变（半波损失）（半波损失）当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介被反射到波疏介质时形成质时形成波节波节.入射波与反射波在此处的相位时时入射波与反射波在此处的相位时时相反相反,即反射即反射波在波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个波长的波，相当于出现了半个波长的波程差，称程差，称半波损失半波损失.波密波密介质介质u较大较大波疏介质波疏介质较小较小u 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射被反射到波密介质时形成到波密介质时形成波腹波腹.入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此
30、处的相位时时位时时相同相同，即反射波在分界处，即反射波在分界处不不产生相位产生相位跃变跃变.7.6.4 驻波的能量驻波的能量2kdE()yt2pdE()yx 驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.AB C波波节节波波腹腹xx位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时例例 在弦线上有一简谐波，其表达式为：在弦线上有一简谐波，其表达式为：212.0 10cos2(
31、)()0.02203txy-SI 为了在此弦线上形成驻波，并且在为了在此弦线上形成驻波，并且在x=0处为一波节，此处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。弦上还应有一简谐波，求其表达式。解：解：222.0 10cos2()0.0220txy-反向波反向波2121 21 44.0 10cos()cos()2 2032 0.023xtyyy-因为因为x=0处为波节处为波节 1()232-432242.0 10cos2()0.02203txy-mM1M2O1O2ABP1211022012,coscos8,3A BO OAmBPAOyAtBOyAtOmmpO p两列相干波分别通过，波长，波在 点
32、反射后与 波在 点相遇，设反射波有半波损失。波在点振动方程：波在点振动方程：且点的合振动）（不变）点的振动方程（设振幅）两列波分别在求（PP211Am解：（）波在 点11cos(2)O myAt-反反射波 AP波在 点)cos(-tABP波在 点12(2)co s(s0)coyyyAtAt-mM1M2O1O2ABP11cos(2)OmyAt-入 入射波 11cos(22)OmmpyAt-18Ommp22cos(2)cosO pyAtAt-23O p 例例 如图如图,一列沿一列沿x轴正向传播的简谐波轴正向传播的简谐波方程为方程为 (m)（1）在在1，2两种介质分界面上点两种介质分界面上点A与坐标
33、原点与坐标原点O相距相距L=2.25 m.已知介质已知介质2的波阻大于介质的波阻大于介质1的波阻的波阻,反射波与入射波的振幅相等反射波与入射波的振幅相等,求：求：（1）反射波方程反射波方程;（2）驻波方程驻波方程;（3）在在OA之间波节和波腹的位置坐标之间波节和波腹的位置坐标.yLOAx1231y10cos200(tx/200)-解解（1）设反射波方程为设反射波方程为（2）由式由式（1）得得A点的反射振动方程点的反射振动方程（3）)200(200cos10032-xty3110cos200()200ALyt-yLOAx12 由式由式（2）得得A点的反射振动方程点的反射振动方程（4）由式由式（3
34、）和式和式（4）得：得：舍舍去去)200(200cos10032-LtyA2-4-3.520-L20所以反射波方程为：所以反射波方程为：2)200(200cos1032-xty(m)（2）)4200cos()4cos(102321-txyyy（3）令令0)4cos(x令令1)4cos(x),2,1,0(41nnxmm,2.25m,1.250.25m25.2 xx得波节坐标得波节坐标得波腹坐标得波腹坐标),2,1(41-nnxmm,1.750.75m25.2xx7.6.4 振动的简正模式振动的简正模式应满足应满足 ，由此频率由此频率两端两端固定固定的弦线形成的弦线形成驻驻波时，波长波时，波长 和
35、弦线长和弦线长2nnl,2,12nlunnnl决定的各种振动方式称为弦线振动的决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式简正模式.,2,12nnln 两端两端固定固定的弦的弦振动的简正模式振动的简正模式 一端一端固定固定一端一端自由自由 的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式,2,12)21(-nnln21l222l233l41l432l453l,2,12nnllnuu2频率频率 Tu 波速波速 基频基频 Hz2622111TlnTlnnn21谐频谐频 解解：弦两端为固定点，是弦两端为固定点，是波节波节.千斤千斤码子码子l 如图二胡弦长如图二胡弦长 ，张力，张力 .密度密度mkg108.34-m3
36、.0lN4.9T讨论讨论.求弦所发的声音的求弦所发的声音的基基频和频和谐谐频频.发射频率发射频率s接收频率接收频率接收频率接收频率单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.s?人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？讨论讨论只有波源与观察者只有波源与观察者相对静止相对静止时才相等时才相等.8.3 多多 普普 勒勒 效效 应应8.3.1 机械波的多普勒效应机械波的多普勒效应观察观察者接者接收的收的频率频率 uuov观察者观察者向向波源运动波源运动观察者观察者远离远离波源波源uuov-多普勒效应：多普勒效应：由于观
37、察者或波源或两者同时相对介质运动，而使观察者接收到的频率与波源频率不同的现象一一 波源不动，观察者相对介质以速度波源不动，观察者相对介质以速度 运动运动ov二二 观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度 运动运动svbAs sTsvuTsuuT-vsv-uusv-uu波源波源向向观察者运动观察者运动观察观察者接者接收的收的频率频率 波源波源远离远离观察者观察者svuu三三 波源与观察者同时相对介质运动波源与观察者同时相对介质运动),(osvvsovvuu 若波源与观察若波源与观察者不沿二者连线运者不沿二者连线运动动ovsvovsvsovvuu ov观察者观察者向向波源运动波
38、源运动+，远离远离 .波源波源向向观察者运动观察者运动 ，远离远离+.sv机械波只有纵向多普勒效应机械波只有纵向多普勒效应sovvuu Hz5.454Hz50033030330-解：解：1）sAsO330 m/s,0,30 m/su vv例例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为为两个汽笛，其频率皆为500Hz，A 静止，静止，B 以以60m/s 的速率向右运动的速率向右运动.在两个汽笛之间有一观察者在两个汽笛之间有一观察者O，以，以30m/s 的速度也向右运动的速度也向右运动.已知空气中的声速为已知空气中的声速为330m/s，求：，求：AOBOvsBv1）观察者听到来自观察者听到来自A 的频率的
39、频率2）观察者听到来自观察者听到来自B 的频率的频率3）观察者听到的拍频观察者听到的拍频3）观察者听到的拍频观察者听到的拍频Hz7-Hz5.461Hz5006033030330 2）例例2 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为为 的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为为 .已知空气中的声速为已知空气中的声速为 ，求求车速车速.kHz100kHz1101ms330-u0v解解 1）车为接收器车为接收器uu0v2）车为波源
40、车为波源sv-uus0vv-uu车速车速1s0hkm8.56-uvvu多普勒效应的多普勒效应的应用应用 可以测量运动物体的速度可以测量运动物体的速度.监测车辆行驶速度监测车辆行驶速度测量血液流速测量血液流速战机突破音障的瞬间战机突破音障的瞬间艏波 当当 时，所有波时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成波的能量高度集中形成冲击冲击波波或或激波激波，如核爆炸、超音，如核爆炸、超音速飞行等速飞行等.usv5）卫星跟踪系统等卫星跟踪系统等.1）交通上测量车速；交通上测量车速；2）医学上用于测量血流速度；医学上用于测量血流速度；3）天文学家利用电磁波红移说明大爆炸
41、理论；天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；4）用于贵重物品、机密室的防盗系统；用于贵重物品、机密室的防盗系统；多普勒效应的应用多普勒效应的应用tsv1P2Put8.3.1 光波的多普勒效应光波的多普勒效应当光源和接收器在同一直线上运动时，有：1/1/V cV cV代表光源与接收器之间的相对速度c代表真空中的光速当光源与接收器相互趋近时，分子取正，分母取负；当光源与接收器相互远离时，分子取负，分母取正；红移：红移：当光源远离接收器运动时，接收到的频率变小，因而波长变长，在可见光谱中移向红色一端。宇宙大爆炸学说：理论根据就是观察到的其他星球光谱几乎都发生红移。1/1/V cV c-例例解解求求一
42、遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去，其谱线一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去，其谱线发生红移发生红移.与固有频率与固有频率 0 相对应的波长为相对应的波长为 0=434 nm 的谱线，的谱线，地面上观测记录的该谱线的波长地面上观测记录的该谱线的波长 =600 nm.此河外星系的退行速率此河外星系的退行速率.以以v 表示本题所求的退行速率，以表示本题所求的退行速率，以 表示与波长表示与波长 对应的频率，对应的频率，则有则有 0=c/0 和和 =c/，代入光的多普勒效应式，有，代入光的多普勒效应式，有01/1/cc-vv80.310.93 10 m scv代入题给数据，解得代入题
43、给数据，解得机械波的多普勒效应：00suu-vv该结论对光波该结论对光波是不正确的是不正确的对于光波（真空）有c与空间有关与空间有关与时间有关与时间有关在相对论中，不同的惯性系中波长和频率将在相对论中，不同的惯性系中波长和频率将不同，但两者的乘积在真空情况下恒为不同，但两者的乘积在真空情况下恒为 c.c.201()1cosucuc-为观察者实测到的光频率为观察者实测到的光频率 0 为光源的固有频率为光源的固有频率用狭义相对论可以导出光波的多普勒效应公式为用狭义相对论可以导出光波的多普勒效应公式为8.3.1 光光波的多普勒效应（选讲）波的多普勒效应（选讲）u 为观察者或光源运动的速度为观察者或光源运动的速度 为观察者与光源连线与速度之间的夹角为观察者与光源连线与速度之间的夹角u光源光源观察者观察者2222(*)xyc tt-*推导推导yx(x,y,z,t)(0,0,0,t*)2dd(*)(d*d)x xxu tc tttt-22(*)c ttxy-22d*(1)dxuttcxyd*(1cos)duttc02dd1tt-20(1cos)d*d1utct-0*TT2011cosuc-
