1、第三章第三章 多维随机向量及其概率分布多维随机向量及其概率分布123.1 二维随机向量及其联合分布函数二维随机向量及其联合分布函数 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X和Y各自的性质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.34XYO),(yxO),(yxF可视为随机点),(YX落在以),(yx为顶点的左下方的无穷矩形的概率.分布函数的几何意义分布函数的几何意义5),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP设2121,yyxx,则有),(11yx),(22
2、yx),(21yx),(12yx图2XYO60,limyxFx0,limyxFy1,limyxFyx22211211,0F xyF xyF x yF x y 二元函数能否成为某二维随机变量分布二元函数能否成为某二维随机变量分布函数的充分必要条件函数的充分必要条件.7边缘分布函数边缘分布函数 由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的分布函数,并且(),(,)XF xP XxP Xx YF x(),(,)YF yP YyP XYyFy81e,0()(,)0,0 xXxFxF xx 1e,0()(,)0,0yYyFyFyy 9 注意注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维随机变量,仅仅研究边
3、缘分布是不够,而必须将他们作为一个整体来研究.整体大于部分之和整体大于部分之和!103.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义定义3.2.13.2.1 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.,2,1,jipyYxXPijji则称上式为(X,Y)的联合联合分布律分布律.11联合分布律的基本性质联合分布律的基本性质12联合分布律也常写成如下表格的形式:XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp13 1,2,3,4,1.(,)().XYXX YP XY设随机变量在四个整数中
4、等可能地取值 另一个随机变量在中等可能地取一整数值试求的分布列及例例3.2.1 解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX ,4,3,2,1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1 i.ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX14XY1234123441811211610811211610012116100016111223344()P XYpppp254815由于1)(,jjiiyYxXPxXP故关于X的边缘分布律为:1iiijjpP Xxp11,),(jjijjiyYxXPyYxXP同理关于Y的边缘
5、分布律为1jjijipP Yyp16XYijijpppp11111xix1yjyip1pipjp1pjp联合分布律与边缘分布律的表格形式联合分布律与边缘分布律的表格形式17 例例3.2.23.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两次,每次取一件,记2,1,0,1iiiXi次取到次品第次取到正品第分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的联合分布律和边缘分布律.解解 (1)有放回的情形.此时00120,0pP XX254525218类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:ijp),(21XX1X2X0101254256259256ip5352
6、5352jp19(2)无放回的情形.此时10141520|000,01212100XXPXPXXPp1X2X0101101103103103ip53525352jp 注注:两种情形的边缘分布律是相同的两种情形的边缘分布律是相同的!类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:ijp),(21XX20例例3.2.33.2.3 设二维随机变量 的分布律为),(YXXY1y2y1x2x0.1ab0.4已知.32)|(22yYxXP试求常数a,b的值。.解解 由0.10.41ab以及324.04.0,|22222ayYPyYxXPyYxXP解得3.0,2.0ba213.3 3.3
7、二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义3.3.1 设 是二维随机变量 的联合分布函数,如果存在一个非负函数 ,使得),(yxF),(YX(,)f x y(,)(,)d dyxF x yf u vu v 则称 是二维连续型随机变量,称 为 的概概率密度率密度,或者称为 与 的联合概率密度联合概率密度.),(YX(,)f x y),(YXXY3.3.1 3.3.1 联合概率密度联合概率密度22联合概率密度的基本性质联合概率密度的基本性质:1)(,)0;f x y 2)(,)d d1f x yx y 23概率密度还有如下性质概率密度还有如下性质:1)设D为任意平面区域,有(,)(,)d dD
8、PX YDf x yx y2)在 的连续点 处,有(,)f x y),(yx2(,)(,)F x yf x yx y 3)若平面区域D的面积为0,则0),(DYXP24(2)(,)2e,0,0,(,)0,.(1)(,);(2).x yX Yxyf x yF x yP YX设二维随机变量具有概率密度其它求分布函数求概率例例3.3.1解解(1)(,)(,)ddxyF x yf u vvu(2)002edd,0,0,0,.xyu vvu xy 其他2(1 e)(1 e),0,0.(,)0,.xyxyF x y得其他25,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的
9、坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyO(,)d dGf x yxy(2)02eddx yyxy.31 26由于()(,)(,)d)d()dxxXXFxF xf u vvufuu 所以,关于X的边缘概率密度为:yyxfxfXd),()(同理,关于Y 的边缘概率密度为:xyxfyfYd),()(27例例3.3.23.3.2 设(X,Y)的概率密度为)1)(1(),(22yxAyxf求:1)常数 ;2)联合分布函数 ;A),(yxF)0,1(YXP4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率;5)边缘密度函数).(),(yfxfYX3)28解
10、解 1)yxyxAyxyxfdd)1)(1(dd),(122 222arctanarctand)d)1(1(11AyxAxyyxA21A292arctan2arctan1arctanarctan2yxvuAyx xyvuvufyxFdd),(),(2)xyvuvuAdd)1)(1(22303)10dd),(0,1yxyxfYXP 81241arctanarctan1dd)1)(1(11201210222 yxyxyx314)设D为如图所示的单位正方形区域,则所求的概率为Oyx11(1,1)D1010222dd)1)(1(11),(yxyxDYXP161arctanarctan110102yx3
11、25)yyxyyxfxfXd)1)(1(11d),()(222)1(1arctan)1(1222xyx同理)1(1)(2yyfY注意注意:在本例中,有)()(),(yfxfyxfYX33例例3.3.33.3.3 设随机变量(X,Y)的分布函数为3arctan2arctan),(yCxBAyxF1)求常数A,B,C的值;2)求 的概率密度 ;),(YX),(yxf3)求边缘概率密度).(xfX 解解 1)由于22),(1CBAF22),(0CBAF22),(0CBAF解得:21A2 CB342)由性质,得)9)(4(6222yx3)22216()(,)dd(4)(9)Xfxf x yyyxy)4
12、(23/arctan)4(23/13/)4(2222222xyxyydx22223/13/12/12/11),(),(yxyxyxFyxf35解解 (1)因为,d d1f x yx y 01ed dyxAx x y 即0dedyxAx xy0e dxAxxAyx36(2)22(,)d dx yP XYf x yx y 120eedxxxxx1212ee yx2xy21120ded dxyxxxx y,dXfxfx yyedyxxyexx即 e0()00 xXxxfxx212e0()00yYyyfyy同理373.3.2 二维均匀分布二维均匀分布 设D为平面有界区域,其面积为SD,若二维随机变量(
13、X,Y)的概率密度为其它,0),(,1),(DyxSyxfD则称 服从区域区域D上的均匀分布上的均匀分布.),(YX38 若(X,Y)服从平面区域 D上的均匀分布,则对于D中任一子区域G,有1(,)(,)d dd dGDDGGSPX YGf x yx yx ySSGD 于是(X,Y)落在D中任一子区域G的概率与与G的面积成正比的面积成正比,而与而与G的形状和位置无关的形状和位置无关。在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能等可能”的。二维均匀分布二维均匀分布39 例例3.3.53.3.5 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布，求X与Y的边缘概率密度。1:),(
14、22yxyxD其它,01,1),(22yxyxf 解解 由题意知,(X,Y)的概率密度为于是，有()(,)dXfxf x yy其它,01|,12211xdyxx其它,01|,122xx-11-11x21 xy21 xy40由对称性可知其它,01|,12)(2yyyfY注意此时注意此时)()(),(yfxfyxfYX41 例例3.3.6 已知随机变量(X,Y)在 D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域.解解2,(,),(,)0,.x yDf x y得其他10,xy 当或时(,)0f x y(,)(,)d d0;xyF x
15、 yf u vu v 1,(,),(,)0,.DSx yDf x y由其他xyo1 xy1 142(,)(,)d dxyF x yf u vu v 111010d2dd2dyuxyyuvuv(22);xyy10,01,xyx 当时1 xy1 11 yxxyo4310,1,xyx 当时(,)(,)d dxyF x yf u vu v 1210d2d(1)xuuvxxyo1 xy1 1x440,01,xy当时(,)(,)d dxyF x yf u vu v 1101010d2dd2dyuyyuvuvxyo1 xy1 11 y(2)y y451,1,xy当时(,)(,)d dyxF x yf u v
16、u v 0110d2d1.uuv20,1,0,(22),10,01,(,)(1),10,1,(2),0,01,1,1,1.xyxyyxyxF x yxxyxy yxyxy 或所以(X,Y)的分布函数为46四、二维正态分布四、二维正态分布221212(,)(,)X YN 22112221122122 12121,e21xxyyf x y 47二维正态分布的边缘分布仍为正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布4849503.43.4随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量,如果对于任意的实数x 和y,随机事件 和 相互独立,即xX yY)()(),(yFx
17、FyxFYX则称随机变量 和和 相互独立相互独立.XY51若离散型随机变量(X,Y)的可能取值为),(jiyx,2,1,ji并且对任意的 和 ,事件ixjyixX 与jyY 相互独立,即ijijpp p则X与Y相互独立.二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性,2,1,ji52 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为),(yxf关于X 和Y的边缘概率密度分别为)(xfX和),(yfY如果对任意实数x和y,成立)()(),(yfxfyxfYX则X 和Y相互独立相互独立.二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性53例例3.4.13.4.1设二维随机变量(X,Y)的联
18、合分布律为:XY1 2 31 2911813191且X与Y相互独立,试求 和.解解 由于X与Y独立,所以有313,1YPXPYXP)91181)(18191(181611913118191又187619254 例例3.4.23.4.2.设随机变量 X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y3y ip1x812x81jp61 1分析2416181,1122yYPyYxXPxXP43411214181,1212xXPyYxXPyYP2131834155 例例3.4.33.4.3 若(X,Y)的联合概
19、率密度为8,01(,)0,xyxyf x y其它问X与Y 是否相互独立?解解()(,)dXfxf x yyelse,010,d81xyxyxelse,010),1(42xxx11xx5608d,01()(,)d0,elseyYxy xyfyf x y x(,)()(),XYf x yfx f y所以，X与Y不相互独立.else,010,43yy因为11yy24(1),01()0,elseXxxxfx57 解解 分别记这两个数为X与Y，则它们独立且均服从(0,1)上的均匀分布，(X,Y)的联合概率密度为1,01,01(,)()()0,XYxyf x yfx fy其他1.2xy11 1.2D1.2
20、(1.2)(,)d dx yP XYf x yx y DSd dDx y211(0.8)0.682 5814xy 1/41/4G111/4(1/4)(,)d dxyP XYf x yx y1GS 1111441ddxxy 3111ln41 ln4444 59独立随机变量的函数仍然是独立的独立随机变量的函数仍然是独立的 定理定理3.4.13.4.1 设X与Y是相互独立的随机变量,h(x)和g(y)均为连续或单调函数,则随机变量h(X)与g(Y)也是相互独立的.11(),()(),()P h Xx g YyP Xhx Ygy11()()()()P Xhx P YgyP h Xx P g Yy 证证
21、 只对h(x)和g(y)均严格单调增的情形证明此结论603.5 条件分布条件分布3.5.1离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布,ijijjP Xx YyP Xx YyP Yyijjpp(1,2,)i 61,ijijjiiiP Xx YypP Yy XxP Xxp,2,1j62022,020YPYXPYXP2122,121YPYXPYXP2122,222YPYXPYXP632111,111XPYXPXYP1,212|114P XYP YXP X4113,113XPYXPXYP64 例例3.5.23.5.2 一射手进行射击,单发击中目标的概率为p(0p0,则称|(,)(|),()X Y
22、Yf x yfx yxfy 为Y=y的条件下X的条件概率密度函数条件概率密度函数;称|(|)X YFxy(,)d()xYf u yufy为Y=y的条件下X的条件分布函数条件分布函数.69类似的,若X的边缘概率密度fX(x)0,则称|(,)(|)()Y XXf x yfy xfx为X=x的条件下Y 的条件概率密度条件概率密度;称|(,)(|)d()yY XXf x vFyxvfx为X=x的条件下Y 的条件分布函数条件分布函数.70 例例3.5.33.5.3 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布，求条件概率密度。1:),(22yxyxD解解 已知221,|1()0,Yyyfy其它221,1(,)0
23、,xyf x y其它221,|1()0,Xxxfx其它71-11-11x21 xy21 xy所以当 时,有1|x|(,)(|)()Y XXf x yfy xfx221,|1210,elseyxx221,|12 10,elseyxx即在X=x的条件下,Y 的条件分布为)1,1(22xx上的均匀分布.72同理,当 时,有22|1,|1(|)2 10,elseX Yxyfx yy1|y73 例例3.5.43.5.4 设 X服从0,1上的均匀分布,Y服从 0,X 上的均匀分布,求(X,Y)的联合概率密度和Y的边缘概率密度.解解 由题意知X的边缘概率密度为1,01()0,elseXxfx又由题意,在给定
24、 的条件下，Y 服从0,x上的均匀分布，所以当 时，有xX 10 x|1,0(|)0,elseY Xyxfy xx74从而得X与Y的联合概率密度为|1,01(,)(|)()0,elseY XXyxf x yfy x fxxY的边缘概率密度为11dln,01()(,)d0,elseYyxyyxfyf x y x75763.6 n维随机变量维随机变量 描述n维随机变量整体统计规律性的仍然是所谓的联合分布的概念 77111()(,),XFxF x222()(,),XFxFx()(,),nXnnFxFx边缘分布边缘分布78独立性独立性79803.7 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布 基本任
25、务基本任务:已知二维随机变量(X,Y)的分布,求随机变量 Z=g(X,Y)的分布.3.7.1 多维离散型随机变量函数的分布多维离散型随机变量函数的分布818232100.30.150.40.15XY01230.650.150.150.05XY83证明证明 显然X+Y的可能取值为0,1,2,并且kikiikYPiXPikYiXPkYXP00)()(),()(1212()121200eee!()!ikikkikiiikiikik 12()12()e0,1,2,!kkk即).(21PYX84,|P Xk XYnP Xk XYnP XYn P Xk P YnkP XYn,P Xk YnkP XYn85
26、knkknkn212211)!(!121212()12ee!()!()!kn knknken P Xk P YnkP XYn86kikiikYPiXPikYiXPkYXP00)()(),()(121201knnkkinnppiki12()12011knink iik iinnppppiki12121nnkknnppk87 设随机变量设随机变量 相互独立且均相互独立且均服从参数为服从参数为 的的0-1分布：分布：nXXX,21则则1(,)niiXb n pp一个推一个推论论88最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布1(,)nP XxXx891(,)nP XxXx1()()nP XxP Xx12
27、()()()nXXXFx FxFx(2)1()min(,)nP NxPXXx1(,)nP XxXx1()()nP XxP Xx11()1()nXXFxFx从而 1()()1()1 1()1()nNXXFxP NxP NxFxFx 90()()nMFxF x()11()nNFxF x1()()()nMfxn F xf x1()1()()nNfznF xf x9112n图1 串联系统 如图1所示，系统n个元件串联而成，若第i的元件的寿命为 ，则系统的寿命为iX),min(1nXXN),max(1nXXM12n图图2 2 并联系统并联系统 若系统是由n个元件并联而成（如图2所示），则系统的寿命为92
28、指数分布的情形指数分布的情形1 e,0()0,0 x nMxFxx 11 ee,0()0,0y nxMnxfxx931 e,0()0,0nxNxFxx e,0()0,0nxNnxfxx94连续场合的卷积公式连续场合的卷积公式()()()dZXYfzfx fzxx()()(,)d dz xZF zP XYzf x y x y 证明证明()()d d()()dzxXYXYfxfyyxfx Fzxx()()()()dZZXYfzFzfx fzxx95()()dXYXYfffx fzxx或()()dXYXYfffzy fyx96证证 由卷积公式()()()dZXYfzfx fzxx2212221212
29、1expd222xzxx 又由于 ABACxAxzxAB221222222222121式中 222111A222211zB22222121zC97从而221211()expexpd2222BZAACBAfzA xxAA ABACA2exp21221222122122212exp21z即222121,NYX.因此，两个独立正态随机变量之和仍为正态随机变量两个独立正态随机变量之和仍为正态随机变量 98将例将例3.7.63.7.6的结论推广到多个正态随机变量的情形的结论推广到多个正态随机变量的情形.（2）22111,nnniiiiiiiiik XNkk2111,nnniiiiiiXN（1）99解解 （1）100()()(,)d dZx y zFzP XYZf x yx y 1(,)d dDf x yx y00d(2)dzzyyxyx3231zz 11O1Dxyz1011111d(2)dzzyyxyx 3)2(311z 11O2Dxyz102
