1、第四章第四章 不不 定定 积积 分分求原来那个函数的问题求原来那个函数的问题.已知某曲线的切线斜率为已知某曲线的切线斜率为2x,0vatv 研究微分运算的逆运算研究微分运算的逆运算已会求已知函数的导数和微分的运算已会求已知函数的导数和微分的运算.解决相反的问题解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分就是已知函数的导数或微分,例如例如某质点作直线运动某质点作直线运动,已知运动速度函数已知运动速度函数 求路程函数求路程函数.常要常要求此曲线的方程求此曲线的方程.1.2.不定积分不定积分.indefinite integral积分变量积分变量积分常数积分常数被积函数被积函数定义定义被积表达式被积表达
2、式不定积分不定积分不定积分不定积分.定义定义)(xF设设CxF)(的的则则)(xf全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式,)(的任一原函数的任一原函数是是xf称为函数称为函数f(x)的的 总和总和(summa)xxfd)(记为记为积分号积分号CxFxxf )(d)(dCxF )(1.被积函数是原函数的导数被积函数是原函数的导数,被积表达式是被积表达式是原函数的微分原函数的微分.xxf)(d2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所或说其微分等于被积表达式的所有有函数函数.有函数有函数.因此因此绝不能漏写积分常数绝不能漏写积分常
3、数C.3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算为积分运算,它是微分运算的逆运算它是微分运算的逆运算.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质基基本本积积分分公公式式 Ckxxkd)1(k是常数是常数)1(1d)2(1 Cxxx Cxxx|lnd)3(说明：说明：,0 x Cxxxlnd )ln(,0 xxxxx1)(1 Cxxx)ln(d Cxxx|lnd xxd11)4(2Cx arctan xxd11)5(2Cx arcsin xxdcos)6(Cx sin xxdsin)7(Cx cos xx2cosd)8(xxdsec2Cx tan xx
4、2sind)9(xxdcsc2Cx cot xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax ln xxdsh)14(Cx ch xxdch)15(Cx sh熟熟熟熟熟熟 记记记记记记xxxdcossin122 解解 xxxdcossin122 xxdcos12xtan 例例 xxxdcossin22 xxdsin12xcot C xx22cossin xxxd2cos1cos1 xxxdsin2cos12 xxxxd)csccotsin1(212 Cxx )csccot(21xxxd1122 xxdtan2
5、xxd2sin2 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质xxxd11222 xxd)1(sec2 xxd2cos1 xxd2cosCx 2sin解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21Cx 2sin21 x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2x因为因为 xd)d(221x,d21dtx tdt21xt2 第一换元积分法第一换元积分法定理定理 xxxfd)()(uufd)(第一类换元公式第一类换元公式)(d)(xxf )(xu （）证证 xxxfd)()(x)()(xxf uufd)(x uufd)(uxu
6、 )()(xxf )(xu 可导可导,则有换元公式则有换元公式设设)(uf具有原函数具有原函数,注注 “凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是:将所给出的积分将所给出的积分凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键.)(xu )()(xuf )(x )(xu 例例 求求 xxd2sin法一法一 xxd2sind2sin xCx 2cos21 法二法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx Cx 2sinxu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2(x解解Cxxx cosdsinCxx
7、x 1d1 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx Cx 2cosxucos uud2Cu 2 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可能可能得到表面上不一致的结果得到表面上不一致的结果,但是实际上都但是实际上都表示同一族函数表示同一族函数.注注换元积分法换元积分法Cxxx 1d1 xxd31 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后,可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量.Cx 23313231注注31)1(1d1 Cxxx换元积分法换元积分法)31(dx x31例例 xxxdln 解解xxxdln )(lndlnxxCx 2)(l
8、n2xxxd)ln21(1 解解xxxd)ln21(1 )(lndln211xx )ln(dln211xx Cx )ln21ln(21 1 221小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)(xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln)lnd()(lnxxf xeefxxd)()d()(xxeef xxxfd)()d()(2xxf xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 xxxfd11)(arct
9、an2小结小结 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf)(ln xxfarcsind)(arcsin xxfxfd)()()()(dxfxf例例 )0(d122 axxa解解 221xa原式原式=xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21Cxaxaa ln21 xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax例例 求求xxxd25812 解解xxxd25812 xxd9)4(12 Cx 34arctan31
10、xxad122 Caxa arctan1 22)4(3)4(dxxxxd)4(3122 换元积分法换元积分法例例 求求xexd11 解解xexd11 xexd11 xeexxd11 xeexxxd1d xdCexx )1ln(xe xe)1(d11xxee 法一法一换元积分法换元积分法例例 求求解解 xxdcos11 xxdcos11 xxxxdcos1cos1cos1 xxxdcos1cos12 xxxdsincos12 xxdsin12Cxx sin1cot)(sindsin12xx换元积分法换元积分法例例 xxdtan解解 原式原式=xxxdcossin xxcoscosdCx cosl
11、nCxxx sinlndcot 某些三角函数某些三角函数换元积分法换元积分法第二换元积分法xxd11 有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d2tttd1112 tttd11d2Ctt )1ln(22Cxx )1ln(22)0(2 ttx困难困难即即则则ttd2tttd2 回代回代axa22 ax例例 求求)0(d22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 辅助三角形辅助三角形axarcsinttadco
12、s axaarcsin22Cttta )cossin(22Cxax 222 回代回代例例 求求解解)0(d122 axax令令taxtan ttaxdsecd2 xaxd122 tasec1 ttdsec1|tansec|lnCtt tax22ax 2,2 taCaxxln|ln122 Caxx|ln22ttadsec2 回代回代ln 1C aax22 ax 辅助三角形辅助三角形 ttdsecCtt|tansec|ln 94d2xx 223)2(dxx解解Cxx 942ln212Caxxdxax )ln(12222 94d2xx 223)2()2(d21xx换元积分法换元积分法有理函数的定义有
13、理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.)()(xQxP;都是非负整数都是非负整数、其中其中nm,1010都是实数都是实数及及mnbbbaaa.0,000 ba且且一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 真分式真分式;,)2(mn 假分式假分式.nnnaxaxa 110mmmbxbxb 110例例1123 xxx112 xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算.真分式的积分真分式的积分.只讨论只讨论:多项式多项式真分式
14、真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 +真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和例例 求求xxxxd1123 解解 由多项式除法由多项式除法,有有 1123xxx 1dd2xxxx原式原式Cxx arctan22 说明说明:当被积函数是当被积函数是假分式假分式时时,应把它分为应把它分为一个多项式和一个真分式一个多项式和一个真分式,分别积分分别积分.112 xx假分式假分式有理函数的积分有理函数的积分xxxd)1(12 xA)1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 x并将并将 值代入值代入BA,
15、1 C11)1(112 xxx2)1(1 xx例例 求求2)1(1 xx解解(1)(1)2)1(xB1 xC 赋值赋值于是于是xxxd)1(12 xxxxxxd11d)1(1d12Cxxx 1ln11|lnxxxxd11)1(112 xxxd)1(12 11)1(112 xxx2)1(1 xx 221dxxx解解 法一法一 txtan 三角代换三角代换 法二法二 倒代换倒代换 ,1tx 221dxxx.d1d2ttx 222111d1tttt 21dtttCt 21Cx 211例例 求求.d1)1(xxxxx解解先将无理函数的分子或分母有理化先将无理函数的分子或分母有理化.分析分析 xxxxxxxxxd)1)(1()1()1(原式原式 xxxd)1(xxxd1 xx d23 xx d21 xxxd1)(11 2552x 2332x 25)1(52xCx 23)1(32
