1、等差数列的通项公式等差数列的有关概念观察数列 (1)4，5，6，7，8，9，10.(2)1，4，7，10，13，16，(3)7x，3x，-x，-5x，-9x，(4)2，0，-2，-4，-6，(5)5，5，5，5，5，5，(6)0，0，0，0，0，如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一项起，每一项与它的前一项的差等于同一个个常数常数（指与指与n无关的数无关的数），这个数列就叫做），这个数列就叫做等差数列等差数列，这个，这个常常数数叫做等差数列的叫做等差数列的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。1(nnaad符号表示：常数）以上以上6个数列的公差分别
2、为个数列的公差分别为公差公差 d=1 递增数列递增数列公差公差 d=3 递增数列递增数列公差公差 d=-4x公差公差 d=-2 递减数列递减数列公差公差 d=0 非零非零常数列常数列公差公差 d=0 零零常数列常数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性尚不能确定。定义：定义：等差数列的通项公式如果一个数列如果一个数列是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，那么，那么,1a,2a,3a,na，daa12daddadaa2)(1123daddadaa3)2(1134daddadaa4)3(1145dnaan)1(1由此可知，等差数列由此可知，等差数列 的通项公式为的通项公式为 na等差
3、数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，1234567891012345678910024nan当d0时，这是关于n的一个一次函数。等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100310nan 等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，123456789101234567891004na 等差数列的的例题1-2例例1 求等差数列求等差数列8，5，2，的第，的第20项。项。解：解：例例2 等差数列等差数列-5，-9，-13，的第几项是，的第几项是 401？解：解：因此，设因此，设解得解得100n答：这个数列的第答：这个数列
4、的第100项是项是-401.dnaan)1(1dnaan)1(118,583,ad 则通项公式为8(1)(3)311,nann 2049a 15,(9)(5)4,ad 则通项公式为54(1)41nann 41401n 1.求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；2.求等差数列求等差数列10，8，6，的第的第20项；项；3.求等差数列求等差数列2，9，16，的第的第n+1项；项；,154a,277a,3910adnaan)1(1,28)2()120(1020a75,nandnaan)1(1dnaan)1(1dnaan)1(141nan172nan4.等差数列等差数列an中中
5、,若若a10=32，a15=47，求，求an.dnaan)1(15.等差数列等差数列an中，若中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求求a3+a6+a9.119,2,ad 369131527aaaad119321447adad153ad32nan练练 习习407332 a477403 a547474a 例例3 梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽，最低一级宽110cm，中间还，中间还有有10级级.计算中间各级的宽计算中间各级的宽.解：解：用用 表示题中的等差数列，由已知条件，有表示题中的等差数列，由已知条件，有 na,12,110,33121naa,)112(1
6、12daa即即 110=33+11d,dnaan)1(1解得解得 d=7因此因此，答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.10379611 a300 5001 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则则 a 等于（等于（)A.1 1 B.-1 -1 C.-D.31115A2.在在数列数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=.(-3a-5)-(a-6-6)=(-10a-1)-
7、(-3a-5)提示：提示：提示：提示：d=an+1-an=43.在在等差数列等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？-35d=5,提示：提示：an=78+5n52845244 nn=45，46，8440推广后的通项公式推广后的通项公式 daamn(n-m)dmnaamn 【说明】求公差的公式相当于【说明】求公差的公式相当于 .两点连线的斜率公式两点连线的斜率公式例例4 在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求求a3+a6+a9.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0
8、d=4,n=72等差中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等差数列：为一个等差数列：（1）2，4 （2）-1，5（3）-12，0 （4）0，032-60 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。2baA等等差差中中项项 设设这这三三个个数数为为：三三个个数数成成等等差差数数列列，可可成成等等差差数数列列、此此公公式式相相当当于于的的等等差差中中项项是是与与_)_(_cbaba2ba 即即a、b的算术平均数的算术平均数.
9、中点坐标公式中点坐标公式2b=a+ca,a+d,a+2d 或或 a-d,a,a+d例例5(1)已知已知a，b，c成等差数列，求证：成等差数列，求证：ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；也成等差数列；(2)三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为，首尾二数的积为12 ，求此三数，求此三数.等差数列的基本性质等差数列的基本性质：(1)在在等差数列等差数列an中，若中，若m+n=p+q，则，则 .am+an=ap+aq【说明】【说明】上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 的；的；上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 的项，的项，如如a1+a2=
10、a3？是不一定成立是不一定成立相同数目相同数目例例6 在在等差数列等差数列an中中(1)a6+a9+a12+a15=20，则，则a1+a20=；(2)a3+a11=10，则，则a6+a7+a8=；(3)已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.,)3(成等差数列成等差数列即有对应项也成等差数列若序号成等差数列则其中当在等差数列lhknaaalhka上面的性质概括为:在有穷等差数列中,到首末两端等距离的两项和相等.即有23121nnnaaaaaa 0,)2(nmnmnamanaa则有中若在等差数列练习:(1)首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,则公差d的取 值范围是 nnnaaaxaxxaada的通项公式则的两根的方程为关于且的公差若等差数列,0,0)2(43221(3)已知a,b,c的倒数依次成等差数列,且a,b,c互不相等,则cbba等于cbDcaCbaBacA)()()()(3,38nan2)(C
