1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u 数学期望数学期望u 方差方差u 协方差与相关系数协方差与相关系数1ppt课件 前面讨论了随机变量及其分布。前面讨论了随机变量及其分布。如果我们知道如果我们知道了随机变量了随机变量 X 的概率分布，那么关于的概率分布，那么关于 X 的全部概率的全部概率特征也就知道了。特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。因此，在
2、对随机变量的研究中，确定随机变量因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：最常用的数字特征是：数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数2ppt课件数学期望的引例数学期望的引例例如：例如：某某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80，73，60，则他们的平均成绩为则他们的平均成绩为9085 280 273607 1221190858073607777779以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 3ppt课件数学期望的引例数学期望的引例变形：变形：现将这现将这7个成绩个成绩(9
3、0,85,85,80,80,73,60)写在写在7张纸张纸条上，放入一袋中。条上，放入一袋中。现从袋中任取一张纸条，用现从袋中任取一张纸条，用X表示抽到的成绩，则表示抽到的成绩，则X分布律为：分布律为：XP60738085901122177777若用若用E(X)表示表示X的平均值，即抽到的平均成绩，应有的平均值，即抽到的平均成绩，应有79E X 随机变量的平均值随机变量的平均值(即期望即期望)是以概率为权重的加权平均是以概率为权重的加权平均 122119085807360777774ppt课件数学期望数学期望E(X)Mathematical Expectation1122()kkkkkE Xx
4、 px px px p ()1,2,kkP Xxpku 一维离散型随机变量一维离散型随机变量 定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为若级数若级数 绝对收敛，则称此级数为随机变量绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)或均值，记作或均值，记作E(X)，即，即 kkkx p 若级数若级数 不绝对收敛，则称不绝对收敛，则称X的期望的期望E(X)不存在。不存在。kkkx p 5ppt课件关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (2)当随机变量当随机变量取值有限取值有限时，数学期望一定存在；时，数学期望一定存在；当随机变量当随机变量取值无穷取
5、值无穷时，要求级数要绝对收敛，时，要求级数要绝对收敛，数学数学期望不一定存在。期望不一定存在。(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值。(3)级数的级数的绝对收敛性绝对收敛性保证了级数的和不随级数保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量期望是反映随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值,它不应随可它不应随可能值的排列次序
6、而改变能值的排列次序而改变.6ppt课件XP数学期望的计算数学期望的计算11223344()E Xx px px px p例：例：一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相应比例种，相应比例分别为分别为60%，20%，13%，7%，若各等级的产值分别，若各等级的产值分别为为10元，元，5.8元，元，4元及元及0元，求这批产品的平均产值。元，求这批产品的平均产值。解：解：设一个产品的产值为设一个产品的产值为X元，则元，则X的分布律为：的分布律为：045.8100.070.130.20.6=0+40.13+5.80.2+100.6=7.687ppt课件练习：一个盒中装有一
7、个盒中装有2个白球，个白球，3个黑球，每个黑球，每次从中任取一个，直到取得白球为止。求取次从中任取一个，直到取得白球为止。求取球次数球次数X的数学期望的数学期望.（1）每次取出的球不再放回；）每次取出的球不再放回；（2）每次取出的球再放回。）每次取出的球再放回。8ppt课件试问哪个射试问哪个射手技术较好手技术较好?应用：应用：谁的技术比较好谁的技术比较好?甲乙两个射手，他们射击的分布律分别为甲乙两个射手，他们射击的分布律分别为乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982.05.03.0甲射手甲射手击击中中环环数数概概率率10983.01.06.0甲射手的平均击中环数为甲射手的平均击中环数为9
8、.3环；环；乙射手的平均击中环数为乙射手的平均击中环数为9.1环；环；甲射手的技术比较好甲射手的技术比较好.9ppt课件u 0-1分布：分布：常见分布常见分布的数学期望的数学期望u二项分布：二项分布：若若X B(n,p)，则，则()E XnpE(X)=1 p+0(1-p)=pXP011ppu泊松分布：泊松分布：若若X ()，则，则()E X()(1),0,1,2,.,kkn knP XkppknC.2,1,0,!)(kekkXPk10ppt课件随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设随机变量设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是的期望，而是X
9、的某个函数的期望，比如说是的某个函数的期望，比如说是Y=g(X)的期望。那么，如何计算呢？的期望。那么，如何计算呢？一种方法是：先求出一种方法是：先求出Y=g(X)的分布，再按照期的分布，再按照期望的定义把望的定义把 Eg(X)计算出来。计算出来。-比较麻烦比较麻烦 那么那么,可否不求可否不求g(X)的分布，而只根据的分布，而只根据X的分布的分布来计算来计算 Eg(X)呢？呢？答案是肯定的，且有如下公式：答案是肯定的，且有如下公式：11ppt课件随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理：定理：g是随机变量是随机变量 X的函数，若的函数，若X为离散型为离散型随机变量，其分布律为随机变量，
10、其分布律为 ()()()kkkE YE g Xg xp ,1,2,kkP Xxpk则则Y的数学期望为的数学期望为 该公式的重要性在于：当我们求该公式的重要性在于：当我们求 Eg(X)时时,不必求不必求g(X)的分布，的分布，而只需知道而只需知道X的分布足矣。这对求的分布足矣。这对求 g(X)的期望带来了极大方便。的期望带来了极大方便。1 122()kkkkkE Xx px px px p12ppt课件数学期望的计算数学期望的计算例：例：设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：XP10120.10.20.30.421E X 12EXE X1 0.1 0 0.2 1 0.32 0.41 2
11、0.1 1 0.22 0.35 0.43 1111 0.10.20.30.40.4234 13ppt课件 ,1,2,ijijP Xx Yypi j定理：定理：设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为：是二维离散型随机变量，其分布律为：u 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 ,(),(,)ijiji jE ZE g X Yg xyp 则则 Z=g(X,Y)的数学期望为的数学期望为:数学期望数学期望14ppt课件例例1 1：设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为：的概率分布为：Y X 1 211/81/4 21/21/81EXE XY1111171 11 22 12
12、 284288利用一维利用一维X的边缘分布。的边缘分布。1611852183115ppt课件数学期望数学期望u 一维连续型随机变量一维连续型随机变量 设设X是连续型随机变量，密度函数是连续型随机变量，密度函数 f(x)在数轴上在数轴上取很密的点取很密的点 x0 x1 x2,则则X 落在小区间落在小区间 xi,xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(在小区间在小区间xi,xi+1)上上阴影面积阴影面积iixxf)()(1iiixxxf16ppt课件iiiixxfx)(这正是这正是的渐近和式。的渐近和式。()x f x dx在小区间在小区间xi,xi+1)上上阴影面积阴影面积
13、iixxf)(由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值可用中的值可用 xi 来近似地替代。来近似地替代。近似，近似，故数学期望故数学期望是是iixxf)(因此因此,X与以概率与以概率 取值取值 xi 的离散型的离散型r.v.17ppt课件数学期望数学期望()()E Xx f x dxu 一维连续型随机变量一维连续型随机变量定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x),若积若积分分 有限，则称有限，则称|()x f x dx为为X的数学期望。的数学期望。如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期望不存在。望不存在
14、。()x f x dx即：即：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.18ppt课件数学期望的计算数学期望的计算例例1：已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为211()101xf xxx()()E Xxf x dx求求X的数学期望。的数学期望。解：解：112111001xdxxdxxdxx0定积分的对称性定积分的对称性19ppt课件u 均匀分布：均匀分布：若若XUa,b，则则常见分布常见分布的数学期望的数学期望u指数分布：指数分布：若若X E()，则，则()2abE X1()E X1()0axbfxba其 它0()(000 xe
15、xf xx为常数）u 正态分布：正态分布：若若 ，则，则2,XN 22()21(),2xf xex ()E Xu 柯西分布：（柯西分布：（P89例例4）E(X)不存在不存在20ppt课件例例2：设某型号电子管的寿命设某型号电子管的寿命X服从指数分布服从指数分布,平均寿平均寿命为命为1000小时小时,计算计算 P(10000.2057时，时，E(X)10()0.91(1 0.9)11 10nnE X 1010()0.81(1 0.8)119.9262E X 2.概率概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 21.86n 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证EX10.
16、当当p=0.1时，为使时，为使 37ppt课件小小 结结 本讲介绍了随机变量数学期望的本讲介绍了随机变量数学期望的概念概念、性质性质及及计算计算，给出了几种常用，给出了几种常用随机变量的数学期望，介绍随机变量的数学期望，介绍了求随机变量函数数学期望的方法。了求随机变量函数数学期望的方法。38ppt课件u X:一维离散型一维离散型 ()()kkkkkkEE g Xg xXpx p u X:一维连续型一维连续型 ()()E Xx f x dxE g Xg xfx dx u(X,Y):二维离散型二维离散型u(X,Y):二维连续型二维连续型 (,),E g X Yg x y f x y dxdy ,(,)(,)ijiji jE g X Yg xyp 39ppt课件
