1、等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和1.1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和公式项和公式,2.2.掌握前掌握前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法.3.3.对前对前n n项和公式能进行简单应用项和公式能进行简单应用.重点重点:等比数列前等比数列前n n项和公式的推导与应用项和公式的推导与应用.难点难点:前前n n项和公式的推导思路的寻找项和公式的推导思路的寻找.问题问题1:1:传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了恼中，发现了64格棋格棋,也就是现今的国际象棋如此的有趣也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥
2、妙之后，决定要重赏发明人和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨他的宰相西萨 班班 达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子第三格四粒麦子依此类推，每一格上的麦子数都是依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求小袋，他就答应了宰相的要求.实际国王能满足宰相的要实际国王能满足宰相的要求吗？求吗？甲、乙二人约定在一个月（按甲、
3、乙二人约定在一个月（按3030天）内甲每天给天）内甲每天给乙乙100100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢问谁赢谁亏？谁亏？问题问题2 2：分析：数学建模分析：数学建模 aan n：100100，100100，100100，100 q=1100 q=1 b bn n：1 1，2 2，q=2q=222292S S3030=100+100+100=100+100+100 T T3030=1+2+2=1+2+22 2+2+22929 这是一个比较大小的问题，实质
4、上是求等比数列这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前前n n项和的问题项和的问题.在等比数列在等比数列aan n 中中,当当q=1q=1时时 ，S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n1 1+a+an n=nana1 1当当q1q1时，时，S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n1 1+a+an n=？S S1 1=a a1 1 S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=a=a1 1+a+a1 1q q =a a1 1(1+q)(1+q)S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1
5、 1q q2 2 =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)S S4 4=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=a=a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2+a+a1 1q q3 3 =a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2+q+q3 3)12313(1)(1)(1)11aqqqaqSqq1212(1)(1)(1)11aqqaqSqq1(1).(1)1nnaqSqq观察：观察：猜想得：猜想得：Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn -得：得：S Sn n(
6、1q)=a(1q)=a1 1aa1 1q qn n当当q q11时，时，1(1).1nnaqSq11 1(1)11nnnaqSaqqq等比数列等比数列aan n 前前n n项和项和 有了上述公式，就可以解决开头提出的问题，有了上述公式，就可以解决开头提出的问题，问题问题1 1：a a1 1=1,q=2,n=64.=1,q=2,n=64.可得可得:S S6464=估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g40g，那么麦粒的总质量超过，那么麦粒的总质量超过了了70007000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.问题问题2 2答案：答案：2 230301(1(分
7、分)10737418.23(10737418.23(元元)远大于远大于30003000元元64641(1-2)=2-1()=18446744073709551615()1-2粒粒1 1、注意、注意q=1q=1与与q1q1两种情形两种情形2 2、q1q1时，时，nnnaa qa(q)Sqq 1111111 1(1)11nnnaqSaqqq3 3、五个量、五个量n n、a a1 1、q q、a an n、S Sn n中，解决中，解决“知三求二知三求二”问题问题.19181 1 112 4 812270243,aaq 例例求求下下列列等等比比数数列列前前 项项的的和和:（）（），1888811221
8、11111222212551112256122a,q,S.1 1 因因为为n8n8，所所以以解解:819881122727243243013127 131640818113a,a,q,q,q,nS.由由可可得得又又由由可可得得于于是是当当时时，1.1.在正项等比数列在正项等比数列aan n 中，若中，若S S2 2=7,S=7,S6 6=91,=91,则则S S4 4的值的值为（为（）.（A A）28 28 （B B）32 32 （C C）35 35 （D D）4949A A2 2一个等比数列共有一个等比数列共有3n3n项，其前项，其前n n项之积为项之积为A A，次，次n n项之积项之积为为
9、B B，末，末n n项之积为项之积为C C，则一定有（，则一定有（）.（A A）A+B=C A+B=C （B B）A+C=2B A+C=2B （C C）AB=C AB=C （D D）AC=BAC=B2 2D D3 3在等比数列在等比数列aan n 中，中，S Sn n=k=k()()n n，则实数，则实数k k的值为（的值为（）（A A）（B B）1 1 （C C）（D D）2 21234B B124 4在由正数组成的等比数列在由正数组成的等比数列aan n 中，若中，若a a4 4a a5 5a a6 6=3,=3,则则loglog3 3a a1 1+loglog3 3a a2 2+log+
10、log3 3a a8 8+log+log3 3a a9 9的值为（的值为（）（A A）（B B）（C C）2 2 （D D）4334433A A5.5.数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足logloga a(S(Sn n+a)=n+1(a0,a+a)=n+1(a0,a1 10),0),则此数列的通项公式为则此数列的通项公式为_._.a an n=(a=(a1)a1)an n 6.2+(2+26.2+(2+22 2)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3)+(2+2)+(2+22 2+2+23 3+2+21010）=_=_ 2 2121224 24 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式111(1)1111nnnnaa qaqSqqqSnaq-=-=12nnSaaa=+鬃 错错 位位 相相 减减 法法通项通项公式公式nnSanqa,1求和求和公式公式知三求知三求二二
