1、7.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 知识归纳知识归纳1.1.正弦定理正弦定理:,其中其中R R是三角形是三角形 外接圆的半径外接圆的半径.由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为:（1 1）a ab bc c=sin=sin A Asinsin B Bsinsin C C;（2 2）a a=,b b=,c c=;（3 3）等形式等形式,以以 解决不同的三角形问题解决不同的三角形问题.RCcBbAa2sinsinsin2 2R Rsin sin C CRcCRbBRaA2sin,2sin,2sin2 2R Rsin sin A A2 2R Rsin sin B B2.2.余弦定理余弦定理:
2、a a2 2=,b b2 2=,c c2 2=.余弦定理可以变形为余弦定理可以变形为:cos:cos A A ,cos,cos B B=,cos,cos C C=.b b2 2+c c2 2-2-2bcbccos cos A Aa a2 2+c c2 2-2-2acaccos cos B Ba a2 2+b b2 2-2-2ababcos cos C Cbcacb2222acbca2222abcba22223三角形中的常见结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(AB)sinC；c
3、os(AB)cosC；tan(AB)tanC;sin cos ；cos sin ；4.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1 1）已知两角及任一边，求其它边或角；）已知两角及任一边，求其它边或角；（2 2）已知两边及一边的对角，求其它边或角）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（情况（2 2）中结果可能有一解、二解、无解，）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分应注意区分.余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：（1 1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2 2）已知三边问题）已知三边问题
4、.5.5.解三角形的类型解三角形的类型 在在ABCABC中，已知中，已知a a、b b和和A A时，解的情况如下：时，解的情况如下：A A为锐角为锐角A A为钝角为钝角或直角或直角 图形图形关系式关系式 解的解的个数个数 一解一解 两解两解 一解一解 一解一解AbasinbaAbsinba ba 题型一题型一 正弦定理的应用正弦定理的应用 (1)(1)在在ABCABC中中,a a=,=,b b=,=,B B=45=45.求角求角A A、C C和边和边c c；（2 2）在）在ABCABC中，中，a a=8=8，B B=60=60，C C=75=75.求边求边b b 和和c c；（3 3）在）在A
5、BCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A,B B,C C 的对边长，已知的对边长，已知a a，b b，c c成等比数列，且成等比数列，且a a2 2-c c2 2=acac-bcbc，求，求A A及及 的值的值.32cBbsin练习练习1 1 在在ABCABC中，若中，若b b=,=,c c=1,=1,B B=45=45,求求a a及及C C的值的值.解解 由正弦定理得由正弦定理得 因为因为c c b b,所以所以C C B B,故故C C一定是锐角，一定是锐角，所以所以C C=30=30,所以所以A A=105=105，.21sin,sin145sin2CC所以.22610
6、5sin2,105sin30sin1aa所以所以2题型二题型二 余弦定理的应用余弦定理的应用 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别是角分别是角A A，B B，C C 的对边，且的对边，且 （1 1）求角）求角B B的大小；的大小；（2 2）若）若b b=，a a+c c=4=4，求，求ABCABC的面积的面积.由由 利用余弦定理利用余弦定理 转化为边的关系求解转化为边的关系求解.解解 （1 1）由余弦定理知：）由余弦定理知：.2coscoscabCB13,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos
7、222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内角整理得得将上式代入.433sin21.3),211(216cos22)(,cos232,4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入将练习练习2 2 已知已知ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的的 对边分别为对边分别为a a,b b,c c,若若ABCABC的面积为的面积为S S，且，且 2 2S S=（a a+b b）2 2-c c2 2，求，求tan tan C C的值的值.解解 依题意得依题意得ababsins
8、in C C=a a2 2+b b2 2-c c2 2+2+2abab,由余弦定理知由余弦定理知,a a2 2+b b2 2-c c2 2=2=2ababcos cos C C.所以所以,ababsinsin C C=2=2abab(1+cos(1+cos C C),),即即sin sin C C=2+2cos=2+2cos C C,.342tan12tan2tan.22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三题型三 三角形形状的判定三角形形状的判定 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别表示三个内角分别表示三个内角 A A、B B、C C的对边
9、，如果（的对边，如果（a a2 2+b b2 2）sinsin（A A-B B）=（a a2 2-b b2 2）sinsin（A A+B B），判断三角形的形状），判断三角形的形状.练习练习3 3 在在ABCABC中，已知中，已知2sin 2sin A Acoscos B B=sin sin C C，那么，那么ABCABC一定是（一定是（）A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.正三角形正三角形 解析解析 方法一方法一 因为在因为在ABCABC中，中，A A+B B+C C=，即即C C=-=-（A A+B B），所以），所以s
10、in sin C C=sin(=sin(A A+B B).).由由2sin 2sin A Acos cos B B=sin=sin C C,得得2sin 2sin A Acos cos B B=sin=sin A Acos cos B B+cos+cos A Asin sin B B,即即sin sin A Acos cos B B-cos-cos A Asin sin B B=0,=0,即即sin(sin(A A-B B)=0.)=0.又因为又因为-A A-B B,所以所以A A-B B=0,=0,即即A A=B B.所以所以ABCABC是等腰三角形，故选是等腰三角形，故选B B.方法二方法
11、二 利用正弦定理和余弦定理利用正弦定理和余弦定理2sin 2sin A Acos cos B B=sin=sin C C可化为可化为即即a a2 2+c c2 2-b b2 2=c c2 2,即即a a2 2-b b2 2=0,=0,即即a a2 2=b b2 2,故故a a=b b.所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.答案答案 B B,22222cacbcaa题型四题型四 三角形的综合应用三角形的综合应用 在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A，B B，C C的对边，且满足（的对边，且满足（2 2a a-c c）coscos B B=b bcoscos C
12、 C.(1)(1)求角求角B B的大小；的大小；(2)(2)若若b b=,=,a a+c c=4,=4,求求ABCABC的面积的面积.7备用备用1.1.在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C 所对边长分别为所对边长分别为a a、b b、c c,设设a a、b b、c c满足条件满足条件b b2 2+c c2 2-bcbc=a a2 2和和 求角求角A A 和和tan tan B B的值的值.,321bc作业作业:BbaCAsin)()sin(sin222222.在三角形在三角形ABC中，中，a,b,c分别为三内角分别为三内角A，B，C的对边，的对边，已知已知且三角形且三角形ABC的外接圆半径为的外接圆半径为（1）求角）求角C；（；（2）求三角形）求三角形ABC面积面积S的最大值；的最大值；3.在三角形在三角形ABC中，中，a,b,c分别为三内角分别为三内角A，B，C的对边，的对边，若若a,b,c成等比数列，（成等比数列，（1）求）求B的取值范围；（的取值范围；（2）求）求)cos(sin2sin1CABBy得取值范围；得取值范围；
