1、第八章 静电场Electrostatic Field,电与磁：物理学的第二次大综合,法拉第的电磁感应定律： 电磁一体,麦克斯韦电磁场统一理论（19世纪中叶）；,赫兹在实验中证实电磁波的存在，光是电磁波.,技术上的重要意义：发电机、电动机、电磁控制、 无线电技术等。,库仑发现：静止的电荷与电荷间的相互作用；,奥斯特的发现： 电流的磁效应； 安培发现：电流与电流间的相互作用规律；,本章主要内容,1、静电场的基本性质和规律。 2、两个基本概念： 电场强度 电势 场强、电势的叠加原理 3、静电场的两个基本规律： 高斯定理 环路定理 4、静电场中导体的静电平衡。 5、电容，电介质。 6、静电场能量。,第
2、一节 库仑定律 电场强度,一、电荷(electric charge),2 同性相斥，异性相吸；,电荷有正负之分；,3 电荷量子化；,强子的夸克模型具有分数电荷（1/3或2/3电子电荷）但实验上尚未直接证明.,闪电,极光,电荷守恒定律,在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变.,例如：,（强相互作用）,（电磁相互作用）,（弱相互作用）,电荷守恒定律是普适的，宏观和微观都成立。,电荷的运动不变性,二、库仑定律(Coulombs Law),为真空中的电容率(permittivity)或介电常数(dielectric constant)：,1785，真空中两静
3、止点电荷之间的作用力,解,例 在氢原子内,电子和质子的间距为 . 求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.,（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）,电荷,电场,电荷,静电场： 静止电荷所产生的电场,三、电场强度,试探电荷q0 ：所带电量足够小的点电荷.,对于电场中的一个固定点，比值 是一个大小与方向都与q0无关的量，反映了该点处电场本身的性质，称为电场强度：,单位：N/C或V/m,电场强度是矢量. 匀强电场-空间各点的场强都相等的电场. 已知电场强度分布时，点电荷q在场中某点处所受 的力为：,电场强度,电场强度定义：电场中某点的电场强度在量值上等于放在该点的单位正电荷所
4、受的电场力，其方向与正电荷受力方向一致.,点电荷的场强,从上式可看出点电荷场强具有球对称性，并且： 当q0 时， 的方向与 的方向相同； 当 q0时， 的方向与 的方向相反.,点电荷系在空间某点产生的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和.,场强叠加原理,点电荷系的场强,电荷连续分布的带电体的场强,因此，整个带电体在 P 点的场强：,电荷元 在 P 点的场强,P .,r,电偶极矩:,例 求在电偶极子(electric dipole)延长线上任一点 P 的 场强.,解,方向与电偶极矩方向相同，写成矢量式:,例 计算电偶极子中垂线上任一点 P 的场强.,解,例 真空中一均匀带电直线，电
5、荷线密度为 . 线外有一点 P ，离开直线的垂直距离为 a ，P 点和直线两端连线的夹角分别为 1 和 2 , 求 P 点的场强.,电荷元：dq = dx,解,对无限长带电直线： 1 = 0 ，2 = ,例 电荷 q 均匀地分布在一半径为 R 的圆环上, 计算在圆环的轴线上任一给定点 P 的场强.,解,例 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 , 求轴线上任一点 P 的电场强度.,利用带电圆环场强公式.,R,P,x,解,当xR 时，对应无限大平板的情况，电场为：,方向为垂直盘面沿轴线向外！,一、电场线,为了形象直观的描写电场的性质，引进一系列曲线，叫做电场线(electric field
6、lines)或电力线： 电场线上一点的切线方向表示该点场强的方向，电场线的疏密表示该点处场强的大小.,第二节 高斯定理,注意：电场线并不代表试探电荷的轨迹,点电荷的电场线,一对等量异号电荷的电力线,一对等量正点电荷的电力线,一对异号不等量点电荷的电力线,平板电容器中的电力线,静电场中电场线的特点,3、电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱.,1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不会中断;,2、电场线不闭合，不相交;,电通量：通过电场中某一曲面的电场线条数.,均匀电场中通过平面的电通量,二、电通量(electric flux),非均匀电场或曲面的情况,由此可得，在电场中对曲面 S 的电通量为：
7、,闭合曲面上的电通量,取外法线方向,例 求均匀电场中半球面 S1 的电通量.,解,半球面 S1的投影即为圆面S2 , 因此有：,例 三棱柱放在电场强度为 E 的均匀电场中，求通过此三棱柱面上的电通量.,解,两个侧面及底面的电通量为零：,对整个三棱柱的电通量即为这五个面的通量之和：,三、高斯定理 (Gauss Law),现讨论对封闭曲面的电通量问题.,+,1、点电荷在球面的圆心处,球面上场强,2、点电荷在任意形状的曲面内,通过任意曲面 S 的电场线也必然先通过球面 S ，即它们的电通量相等，并等于：,3、电荷在闭合曲面以外,穿入曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数：,4、一般的情形,点电荷q
8、1、 q2、 qn 被某任意闭合曲面 S 所包围， 点电荷q1、 q2、 qm 在该闭合曲面之外, 则通过 S 的电通量可由叠加原理求得：,在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和再除以o .,高斯定理,高斯定理的应用,高斯定理普遍适用于任何静电场中，但应用高斯定理只能计算具有某种对称性分布的源电荷产生的电场，求解的关键是选取适当的高斯面. 常见的具有对称性分布的源点荷有：,1、球对称分布： 包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等;,2、轴对称分布： 包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等;,3、无限大平面电荷： 包括无限大的均匀带电平面，平板等.,适合于解决
9、电荷分布（场强分布）具有对称性的情况下的场强计算,其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.,例. 求均匀带电球面的电场分布。 设半径为R，电量为+q。,dq,dE,dE,dq,R,解：取以r为半径的同心高斯球面S,o,r,r,E,o,R,26,例 求均匀带电球体的场强分布. （球体半径为 R ，带电量为 q ，电荷密度为 ）,（1）球外：过球外一点作同心球面为高斯面S，对此面应用高斯定理.,解,方向：沿半径方向向外.,（2）球体内：过球内一点作同心球面为高斯面S，对此面应用高斯定理.,方向：沿半径方向向外.,例 求无限长均匀带电直线的场强分布.（线电荷密度 ）,
10、一个无限长的带电圆柱面，电场分布又如何？,解,高斯面可取以直线为轴的圆柱，由侧面和左右两个圆面构成.,方向：垂直直线向外.,例 无限大均匀带电平面的场强分布.（电荷密度为 ）,解,高斯面可以取垂直平面的圆柱，此圆柱由侧面和左右两个圆面构成.,方向：垂直平面向两边外侧.,例 计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布.,平面之间合成得：,平面之外合成得：,解,本题是两个平面电荷产生的电场叠加，两个电场为：,方向：从 + 板指向 - 板.,第三节 环路定理 电势,一、静电场的环路定理,点电荷+q的电场中，q0 从 a移至 b过程中电场力作功.,1电场力作功,只涉及始末位置 a 和 b ，即作功只与始
11、末位置有关，而与路径无关！,点电荷产生的静电场中， 电场力是保守力!,根据叠加原理可知，任意的静电场都可以看成点电荷系的电场的叠加，因此对任意的静电场有：,2、静电场的环路定理（circuital theorem）,即：静电场力是保守力，静电场是保守场!,并且作功只与始末位置有关，而与路径无关！,对任意的静电场均有：,二、电势能 电势,1、电势能 (Electric Potential Energy),静电场力是保守力，保守力作功等于势能的减少，或势能增量的负值.,（任意路径）,在静电场中从a点移动电荷到b点，电场力做功：,点电荷 q0 在电场中a点的电势能等于将q0从 a 点移至电势能零点处
12、时电场力所作的功！,若场源电荷分布在有限区域内，通常选取无穷远处为电势能的零点，则a点电势能：,（任意路径）,选 b 点为电势能零点 ， ，则a点电势能为,2、电势（Electric potential）,单位：V,静电场中 a 点的电势，在数值上等于单位正电荷在 a 点处系统所具有的电势能. 它与 q0无关，是空间坐标的函数，描述该点静电场的性质，而且是一个标量！,（无穷远处为电势零点）,电位零点的选取：,电荷分布在有限空间， 取无穷远为 U= 0 点。,电荷分布在无限空间， 取有限远点为U= 0 点。,一般工程上， 选大地或设备外壳为U=0点。,电势差（Electric Potential
13、 difference）,静电场中 a 、b 两点的电势差，等于将单位正电荷从 a 点沿任意路径移至 b 点时电场力所作的功：,静电场中 a 、b 两点的电势差：,电场力做功就转化为求电势差的问题了！,例：真空中点电荷的电势分布.,解,设真空中点电荷q位于坐标原点处，a为电场中任意点. 可由已知的点电荷电场分布求电势：,电势叠加原理:,点电荷系产生的静电场中任一点 P的电势：,3、电势叠加原理,点电荷系,电荷连续分布,电势的计算,电荷分布已知，求电势分布，有两种方法：,1、运用电势叠加原理，由点电荷电势公式 求和或积分;,2、对电荷分布具有对称性的情况，先用高 斯定理求出场强分布，再用场强积分
14、法 求电势分布（必须选定零势点，沿任意 路径积分皆可）.,例 计算电偶极子电场中任一点的电势.,代入，并化简可得：,解,例 计算均匀带电球面电场中的电势分布.,本题是从已知电场求电势的问题。,解,rR，,rR，,例 半径为 R 的均匀带电球体，带电量为 q ， 求电势分布.,解,rR，,rR，,rR：,rR：,例 求无限长均匀带电直线外任一点 P 的电势. ( 设线电荷密度为 ),如果势能零点选在r0=1m处：,解,选取直线附近到直线距离r0处，为电势零点.,例 均匀带电圆环，带电量为 q ，半径为 R， 求轴线上任意一点 P 的电势.,解,先求电荷微元 dq 产生的电势，再用电势叠加法.,也
15、可以由场强积分法求电势课后练习.,场强积分法,例、 图中 q1 = 3.010 8 C ， q2 = -3.010 8 C ， a = 8.0 cm , r = 6.0 cm ，求下列过程中电场力所作的功和电势能的增量。（1）将电量为 2.010-9 C 的点电荷从无限远处移到 A 点；（2）将此电荷从 A 点移到 B 点；（3）将此点电荷从 C 点移到 D 点。,（2）,（3）,4、等势面 (equipotential surface),电势相等的点所组成的曲面.,用一组等势面描述静电场时规定：相邻两个等势面之间的电势差相等.,等势面与电场线处处正交,电场线指向电势降低的方向,等势面和电场线
16、密集处场强量值大， 稀疏处场强量值小,电偶极子的等势面,三、电场强度与电势的关系,场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的变化率的负值!,等势面U和U+dU电势相近. 最短路径-沿等势面法线方向 dn.,沿等势面法线方向的分量为： ，在该方向上电势的变化率最大！,dn,电势梯度的大小等于电势在该点最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的方向，电势梯度是矢量.,电势梯度（electric potential gradient）,电场中某点的电场强度为该点处电势梯度矢量的负值.,场强与电势的空间变化率有关， 场强为零的地方，电势不一定为零;电势为零的地方，场强不一定为零.,例 : 均
17、匀带电圆环，带电量为 q ，半径为 a , 求轴线上任一点 P 的场强.,解,根据对称性可知，场强方向沿x轴方向.,第四节 静电场中的导体,一、导体的静电平衡条件,静电感应 (induction),在外电场的作用下，导体表面出现感应电荷.,静电平衡（electrostatic equilibrium）,导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动. 内部的场强处处为零；表面的场强垂直于导体的表面.,二、静电平衡时导体的性质,1、导体是个等势体，导体表面是个等势面,导体内部任意两点a、b 之间的电势差：,3、导体内部处处没有净电荷，电荷只能 分布在导体的表面.,2、导体表面的场强与表面垂直,电荷在导体
18、表面上的分布规律：静电平衡时，孤立导体表面某处的电荷面密度与该处表面曲率有关，曲率越大（曲率半径越小）的地方电荷密度也越大.,尖端放电现象：,三、空腔导体和静电屏蔽,1、空腔内无电荷的情况,内表面没有净电荷，电荷只分布在导体外表面.,空腔内场强为零，导体及空腔为等势区域.,电场线在外表面处中断，导体及空腔内无电场线，在外表面处场强不连续.,2、空腔内有电荷 q 的情况,内表面所带电荷为 q 外表面所带电荷为 Q+q,起始于 +q 的电场线在内表面处中断，导体内无电场线，在内、外表面处场强不连续.,3、静电屏蔽（electrostatic shielding）,空腔导体起到屏蔽外部空间的电场变化
19、对腔内的影响.,接地的空腔导体可以屏蔽腔内电场的变化对外部空间的影响.,静电屏蔽的应用： （1）高压带电作业，金属丝网制成的均压服； （2）电气设备金属罩壳接地； （3）人体电信号的提取，信号数量级在mV、V，装置、导线用金属丝网屏蔽.,例 外半径 R1 、内半径为 R2 的金属球壳中放一半径为 R3 的金属球，球壳和球均带有电量 q 的正电荷. 求：（1）球心的电势，（2）球壳电势.,电荷+q 分布在内球外表面,球壳内表面带电 q,球壳外表面带电 2q,电荷分布具有球对称，故场强分布也具有球对称，可以利用高斯定理求出电场的分布情况.,解,小球内部的电场：,小球外空腔内的电场：,球壳内部的电场
20、：,球壳外部的电场：,球心处的电势：,球壳处的电势：,例1. 一金属平板，面积为S带电Q，在其旁放置第二块同 面积的不带电金属板。求 (1)静电平衡时，电荷分布 及电场分布。,解：,(1)设四个面上电荷面度为 1 2 3 4,则有：,如图取高斯柱面可得：,导体内任意一点P，其电场 E=0,联立 求解,可得：,按电场叠加原理可求得：,例 两块大导体平板，面积为 S ，分别带电 q1 和 q2 ，两板间距远小于板的线度, 求平板各表面的电荷密度.,电荷守恒：,由静电平衡条件，导体板内 E = 0,解,例、(P89) 两个半径分别为R 和r 的球形导体(Rr)，用一根很长的细导线连接起来，使这个导体
21、组带电，电势为V。求两球表面电荷密度与曲率的关系。,解：,这两个孤立导体的电势相等：,大球带电比小球多！,两球的电荷面密度：,电荷面密度成反比！,例2. 半径为R的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷q(0)，问球上的 感应电荷 q=?,解：,利用金属球是等位体,球体上处处电位:,球心处：,Uo= 0,U= 0,q = q,？,第五节 电 容 (Capacitance),一、孤立导体的电容,单位：F,例：真空中孤立导体球带电q时的电容：,附近没有其他带电体的孤立导体，其所带的电量q 与它的电势U成正比，比值q/U是与导体所带电量无关的一个物理量，用符号C表示，称为孤立导体的电容
22、：,二、电介质对电场的影响,电介质 (dielectric)：,电介质即绝缘体。 主要特征是电介质的分子中电子被原子核束缚得很紧，在外电场作用下，电子一般不能够脱离所属原子作宏观运动，在宏观上几乎没有自由电荷，导电性很差。 电场中存在电介质时，会影响原有的电场的分布。静电平衡时电介质内部的场强也可以不等于零.,从分子内正、负电荷中心的分布来看，电介质分为两类:,有极分子-分子内正、负电荷的中心不相重合，其间有一定距离，如氯化氢(HCl)、水(H2O)、氨(NH3)、甲醇(CH3OH).,电介质在外电场作用下，要发生极化(polarization). 无极分子发生位移极化，有极分子发生取向极化.
23、 它们的共同特点是，在电介质某些表面产生束缚电荷( bound charge )，并使得介质内部的场强小于外场强.,无极分子-分子内正、负电荷中心是重合的，分子电矩 为零, 如氦(He)、氢(H2)、甲烷(CH4).,电介质的极化,电介质中的静电场,电介质中的总场强为 ，大小为：,相对电容率-relative permittivity.,各向同性的均匀电介质中的场强减弱到真空中场强的 ！,三、电容器的电容,电容器电容定义：,平行板电容器：两个极板，分别带有电荷+q和-q，两板间电势差为U.,一般的步骤：,（1）设电容器充电 q ，求极板间的场强分布,（2）计算极板间的电势差,（3）由电容器电容
24、定义计算 C.,四、电容器电容的计算,1.平板电容器,电容C与电容器的形状、尺寸、介质的因数有关, 当其中充满电介质后，电容为：,2.圆柱形电容器,3.球形电容器,4.电容器的串联和并联（复习）,串联（in series） :,串联电容器组的电容的倒数等于每个电容的倒数之和.,并联（in parallel）:,并联电容器组的电容等于每个电容器电容之和.,第六节 静电场的能量,q2,两个点电荷间的相互作用能： (Interaction Energy),在形成任何一个带电系统的 过程中，外力必然要克服电 荷间的相互作用力而作功， 外力所作的功将转化为带电体系的能量.因此任何带电系统都具有一定的相互
25、作用能. 例如两个点电荷间：,n 个点电荷系统的相互作用能,Ui 为除qi 以外的其它点电荷所产生的电场在qi 所在点的电势.,连续分布的电荷系统的相互作用能,dq,一、电容器的能量,电容器的充电过程：不断地把 dq 从 B 板移到 A 板，最后板间电压达到U：,二、电场的能量和能量密度(Energy Density),电场具有能量,电场能量密度:,外力作功形成带电系统，同时建立起电场，因此能量是储存在电场中的：,电场中单位体积内的能量：,例 真空中一半径为 a 的球体，均匀带电 Q ，计算其 电场的能量.,场强分布,解,ra：,ra：,例 空气平行板电容器，面积为 S ，间距为 d ，板间插有一块厚度为 l 的铜板. 在电容器充电 Q 后断开电源，再抽出铜板，问需作多少功？,抽出前,抽出后,解,例 球形电容器带电 q ，内、外半径分别为 R1 和 R2 ，极板间充满介电常数为 的电介质, 计算电场的能量.,解,极板间电场：,体积元：,
