1、丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高高三理科三理科数学数学 命题:宋润生 郭林 葛冰 杨晓东 审核:宋润生 本试卷共 22 题,共 150 分,共 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁
2、,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1设集合 Ax|x22x30,B x|x20,则 AB A(1,2) B(2,3) C(3,1) D(,2) 2复数 z3i 1i的模|z| A1 B 2 C2 D 5 3某商家统计了去年 P,Q 两种产品的月销售额(单位:万元) ,绘制了月销售额的雷达 图,图中 A 点表示 P 产品 2 月份销售额约为 20 万元,B 点表示 Q 产品 9 月份销售额 约为 25 万元 根据图中信息,下面统计结论错误 的是 AP
3、 产品的销售额极差较大 BP 产品销售额的中位数较大 CQ 产品的销售额平均值较大 DQ 产品的销售额波动较小 4(12x2 )(1x)4的展开式中 x3的系数为 A12 B16 C20 D24 25 30 20 15 10 5 0 1月 月 2月 月 3月 月 4月 月 5月 月 6月 月 7月 月 8月 月 9月 月 10月 月 11月 月 12月 月 P 产品的销售额/万元 Q 产品的销售额/万元 A B 5设 a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是 Aabc Bbca Cbac Dcba 6若 sin2cos,则 cos2sin2 A12 5 B9
4、 5 C1 D4 5 7已知非零向量 a,b 满足|a|2|b|,且(ab)b,则 a 与 b 的夹角为来源:学_科_网 A 6 B 3 C2 3 D5 6 8设 , 是两个平面,m,n 是两条直线,下列命题错误 的是 A如果 m,n,那么 mn B如果 ,m,那么 m C如果 mn,m,n,那么 D如果 内有两条相交直线与 平行,那么 9甲乙两队进行排球决赛,赛制为 5局 3 胜制,若甲乙两队水平相当,则最后甲队以 3:1 获胜的概率为 A 3 16 B1 4 C3 8 D1 2 10下列函数中,其图象与函数 ylg x 的图象关于点(1,0)对称的是 Aylg(1x) Bylg(2x)来源
5、:163文库 Cylog0.1(1x) Dylog0.1(2x) 11关于函数 f (x)|sinx|sin|x|有下述四个结论: f (x)是偶函数 f (x)在区间( 2,0)单调递减 f (x)在,有 4 个零点 f (x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,过 F 且斜率为 1 的直线与 C 交于 A,B 两点, 若|AB|8,则 p A1 2 B1 C2 D4 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13已知函数 f (x)在 R 单调递减,且为奇函数,则满足 f (x1)f (x3)0 的
6、x 的取值 范围为 14ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 的面积为a 2b2c2 4 , 则 A 15设 F 为双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点,O 为坐标原点,以 OF 为直径的 圆与圆 x2y2a2交于 P,Q 两点,若|PQ|OF|,则 C 的渐近线方程为 16已知正三棱柱 ABCA1B1C1的六个顶点都在球 O 的表面上,AB3,异面直线 AC1 与 BC 所成角的余弦值为 3 10,则 AA1 ,球 O 的表面积为 (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 1
7、721 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17 (12 分) 设Sn是数列an的前 n 项和,且 a11, an1Sn Sn1来源:学|科|网 Z|X|X|K (1)证明:数列 1 Sn是等差数列; (2)求an的通项公式 18 (12 分)来源:学&科&网 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图,如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产 品,以 X(单位:t,
8、100X150)表示下一个销售 季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销 售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落 入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率,例如:若 X100,110),则取 X 105,且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的概率求利润 T 的数学期望 19 (12 分) 如图,在三棱锥 PABC 中,ABBC2 2, PAPBPCAC4,O 为 AC 的中点来源:163文库 (1)证明:PO平
9、面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 MPAC 为 30 ,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 需求量 X(t) 频率 组距 0.010 0.015 0.020 0.030 100 110 120 130 140 150 0.025 P A B M C O 20 (12 分) 已知圆 O1:x2y22x70,动圆 O2过定点 F(1,0)且与圆 O1相切,圆心 O2 的轨迹为曲线 C (1)求 C 的方程; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M, N 两点,交 y 轴于 D 点,y 轴交 C 于 A,B 两 点,若|DM| |DN|DA| |DB|,求实数 的
10、值 21 (12 分) 已知函数 f (x)1x 1xlnx (1)讨论函数 f (x)的单调性; (2)证明:在(1,)上存在唯一的 x0,使得曲线 ylnx 在 xx0处的切线 l 也是 曲线 yex的切线 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做 的第一题计分。 22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 的直线 l 过点 M(2,4)以原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos , (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程;
11、 (2)若直线 l 与 C 交于 A,B 两点,且|MA| |MB|40,求倾斜角 的值 23选修 4-5:不等式选讲(10 分) 已知 a0,b0 (1)证明:a3b3a2bab2; (2)若 ab2,求 a3b3的最小值 丹东市 20192020 学年度上学期期末教学质量监测 高三理科数学答案与评分参考高三理科数学答案与评分参考 一、选择题 1A 2D 3B来源:Z。xx。k.Com 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10D 11A 12C 二、填空题 13(1,) 143 4 15yx 164,28 三、解答题: 17解: (1)因为 an1Sn1Sn,所以 Sn1SnSn Sn1 两
12、边同除以 SnSn1得 1 Sn1 1 Sn1 因为 a11,所以 1 S11 因此数列 1 Sn是首项为1,公差为1 的等差数列 【以上教育部考试中心试题分析解法】 (6 分) (2)由(1)得 1 Sn1(n1)(1) n,Sn 1 n 当 n2 时,anSn1Sn 1 n(n1) 于是 an 1, n1, 1 n(n1), n2,N * (12 分) 18解: 【教育部考试中心试题分析解法】来源:Z&xx&k.Com (1)当 X100,130)时,T500X300(130X)800X39000 当 X130,150时,T500 13065000 所以 T 800X39000, 100X
13、130, 65000, 130X150 (4 分) (2)由(1)知 T57000 元当且仅当 120X150 由直方图知 X120, 150的频率为 0.30.250.150.7, 所以下一个销售季度内利 润 T 不少于 57000 元的概率估计值为 0.7 (8 分) (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45000 53000 61000 65000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET4500 0.153000 0.261000 0.365000 0.459400 (12 分) 19解法 1: 【教育部考试中心试题分析解法 1】 (1)因为 PAPCAC4,O 为 AC 的中
14、点,所以 POAC,且 PO2 3 连结 OB因为 ABBC 2 2 AC,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB 1 2AC2 由 OP2OB2PB2知 POOB 由 POAC, POOB 知 PO平面 ABC (4 分) (2)过 C 作平面 PAM 的垂线,垂足为 E 在平面 PAM 内过 E 作 EDPA, 垂足为 D, 连接 CD, , 则 PA平面 CDE,于是 CDPA 所以CDE 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30 ,所以CDE30 在正三角形 PAC 中,CD2 3,所以 CECD 2 3 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3
15、PC 3 4 (12 分) 解法 2: 【教育部考试中心试题分析解法 2】 (1)同解法 1 P A B M C O D E (2)在平面 ABC 内作 MDAC,垂足为 D,连接 OB 由(1)知 PO平面 ABC,故 POOB 又 ACOB, 所以 OB平面 PAC, 从而 MD平面 PAC 在平面 PAC 内作 DEPA,垂足为 E,连接 ME 由 DEPA,MDPA,得 MEPA 从而DEM 是二面角 MPAC 的平面角 因为二面角 MPAC 为 30 ,所以DEM30 ,于是 DCDM 3 3 DE,DE 3 2 AD 3 2 (4DC) 来源:163文库 解得 DC4 3,AD 8
16、 3从而PAM 面积为 SPAD cos30 1 2 8 32 3 2 3 16 3 设点 C 到平面 PAM 距离为 d,用两种方法计算三棱锥 CPAM 的体积得 1 3 1 24 4 32 3 1 3 16 3 d,解得 d 3 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 PC 3 4 (12 分) 解法 3: 【教育部考试中心试题分析解法 3】 (1)同解法 1 (2)如图,以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正 方向,建立空间直角坐标系 Oxyz 由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0), C(0,2,0),P(0,0,2 3),AP (0,2,2 3
17、) 取平面 PAC 的法向量为OB (2,0,0) 设 M(a,2a,0)( 0a2),则AM (a,4a, 0) P A B M C O E D P A B M C O x y z 设平面 PAM 的法向量为 n(x, y,z) 由AP n0,AM n0 得 2y2 3z0, ax(4a)y0,可取 n( 3(a4), 3a,a), 所以 cosOB ,n 2 3(a4) 2 3(a4) 23 a 2a 2 由已知得|cosOB ,n | 3 2 ,所以 2 3(a4) 2 3(a4) 23 a 2a 2 3 2 ,解得 a4 (舍去) ,a4 3 ,所以 n( 8 3 3 ,4 3 3 ,
18、4 3) 又PC (0,2,2 3),所以 cosPC ,n 3 4 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 (12 分) 20解: (1)圆 O1的圆心为(1,0),半径为 2 2,点 F 在圆 O1内,故圆 O2与圆 O1相内切 设圆 O2的半径为 r,则|O2F|r,| O2O1|2 2r,从而| O2O1|O2F|2 2 因为|FF |22 2,所以曲线 C 是以点 F (1,0),F (1,0)为焦点的椭圆 由 a 2,c1,得 b1,故 C 的方程为x 2 2y 21 (6 分) (2)设 l:yxt,M(x1,y1), N(x2,y2),则 D(0,t), |DM|
19、(x10)2(y1t)2 2| x1|, |DN| (x20)2(y2t)2 2| x2| yxt 与x 2 2y 21 联立得 3x24tx2t220 当8(3t2)0 时,即 3t 3时, x1x22t 22 3 (8 分) 所以|DM| |DN|2|x1x2|4|t 21| 3 由(1)得 A(0,1),A(0,1),所以|DA| |DB| t1| | t1| t21| 等式|DM| |DN|DA| |DB|可化为4|t 21| 3 | t21| 当 3t 3且 t1 时,4 3 当 t1 时, 可以取任意实数 综上,实数 的值为4 3 (12 分) 21解: (1)f (x)定义域为(
20、0,1) (1,),f (x) x21 x(1x)20 因此 f (x)在(0,1)单调递增,在(1,)单调递增 (4 分) 来源:Z&xx&k.Com (2)曲线在 ylnx 在 xx0处切线 l 的方程为 y 1 x0xlnx01 (6 分) 设 l 与曲线 yex相切于点(x1,e 1 x ),则 e 1 x 1 x0, e 1 x 1 x0x1lnx01 消去 x1得1x0 1x0lnx00,即 f (x0)0 于是当且仅当 x0是 f (x)的零点时,l 是曲线 yex的切线 因为 f (e) 2 2e 0,f (e 2)3e 2 1e2 0,f (x)在(1,)单调递增,所以 f
21、(x)在(1, )上存在唯一零点 所以在(1,)上存在唯一的 x0,使得曲线 ylnx 在 xx0处的切线 l 也是曲线 y ex的切线 (12 分) 22解: (1)因为 l 的倾斜角为 ,l 过点 M(2,4),所以直线 l 的参数方程是 x2tcos , y4tsin (t 是参数) 因为 sin2 2cos ,所以 2sin2 2cos ,由 cos x,sin y 得曲线 C 的直 角坐标方程是 y22x (5 分) (2)把 l 的参数方程代入 y22x,得 t2sin2 (2cos 8sin )t200 当(2cos 8sin )280sin2 时,设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则|MA| |MB|t1t2| 20 sin2 由 20 sin2 40,0,0,得 4 (10 分) 23解: (1)a3b3a2bab2a2 (ab)b2 (ba) (ab)(a2b2) (ab)2(ab) 因为 a0,b0,所以(ab)0,而(ab)20,所以(ab)2(ab)0 于是 a3b3a2bab2来源:163文库 (5 分) (2)因为 ab2,所以 a3b3(ab)(a2abb2) 2(a2abb2) 2(ab)23ab 86ab 因为 ab(ab 2 )21,当且仅当 ab1 等号成立,所以 86ab2 故当 ab1 时,a3b3取最小值 2 (10 分)