1、 1 / 9 素养提升素养提升微微突破突破 07 功能关系及能量守恒功能关系及能量守恒 树立环保意识，建立节约观念 功能关系及能量守恒 功是能量转化的量度。即物体做了多少功就有多少能量发生变化，而且能的转化必须通过 做功来实现。能量既不能凭空产生，也不能凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式， 或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持不变。本节知识促进学生 在理解科学 技术 社会 环境（STSE）的关系基础上逐渐形成的对科学和技术应有的正确态度 以及责任感。 【2018 新课标全国 I 卷】如图，abc 是竖直面内的光滑固定轨道，ab 水平，长度为 2R；bc 是半径为
2、 R 的四 分之一的圆弧， 与 ab 相切于 b 点。 一质量为 m 的小球。 始终受到与重力大小相等的水平外力的作用， 自 a 点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为 g。小球从 a 点开始运动到其他轨迹最高点，机械 能的增量为 A2mgR B4mgR C5mgR D6mgR 【答案】C 【解析】 设小球运动到 c 点的速度大小为 vC， 则对小球由 a 到 c 的过程， 由动能定理得： F 3RmgR= 1 2 mvc2， 又 F=mg，解得：vc2=4gR，小球离开 c 点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在 重力作用力下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开
3、 c 点后水平方向和竖直方向的加速 度大小均为 g， 则由竖直方向的运动可知， 小球从离开 c 点到其轨迹最高点所需的时间为： t=vC/g=2 g R ， 2 / 9 小球在水平方向的加速度 a=g，在水平方向的位移为 x= 1 2 at2=2R。由以上分析可知，小球从 a 点开始 运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为 5R，则小球机械能的增加量 E=F 5R=5mgR， 选项 C 正确 ABD 错误。 【素养解读】本题考查运动的合成与分解、动能定理、能量转化等知识，体现了物理学科运动观念、能量 观念及综合分析能力素养。 一、功能关系的理解和应用 功能关系是历年高考的考查热点。考
4、查的题型既有选择题又有计算题。学生在解答这类问题时，常因 为没有正确分析出哪些力做功或者哪些能量发生变化而出错。 【典例 1】 【2019 佛山模拟】(多选)如图所示，质量为 m 的物体(可视为质点)以某一速度从 A 点冲上倾角为 30 的固定斜面，其减速运动的加速度为3 4g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为 h，则在这个过程 中物体 A重力势能增加了 mgh B机械能损失了1 2mgh C动能损失了 mgh D克服摩擦力做功1 4mgh 【答案】AB 【解析】加速度 a3 4g mgsin 30 Ff m ，解得摩擦力 Ff1 4mg；物体在斜面上能够上升的最大高度为 h，所 以重力势能
5、增加了 mgh，故 A 正确；损失的机械能为克服摩擦力做的功 Ffx1 4mg 2h 1 2mgh，故 B 正 确，D 错误；动能损失量为克服合外力做功的大小 EkF合外力x3 4mg 2h 3 2mgh，故 C 错误。 【素养解读】本题考查了摩擦力做功，能的转化与守恒。正确理解功能关系，认知能量的观念，明确功是 能量转化的量度。 3 / 9 【规律方法】 (1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，动能的变化用动能定理分析。 (2)重力势能的变化用重力做功分析。 (3)机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功分析。 (4)电势能的变化用电场力做功分析。 二、多运动过程中的功能问题 【典例 2】
6、【2019 杭州模拟】在学校组织的趣味运动会上，某科技小组为大家提供了一个游戏。如图所示， 将一质量为 0.1 kg 的钢球放在 O 点，用弹射装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道 OA 和 AB 运 动。BC 段为一段长为 L2.0 m 的粗糙平面，DEFG 为接球槽。半圆形轨道 OA 和 AB 的半径分别为 r 0.2 m、R0.4 m，小球与 BC 段的动摩擦因数为 0.7，C 点离接球槽的高度为 h1.25 m，水平 距离为 x0.5 m，接球槽足够大，g 取 10 m/s2。求： (1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在 A 点的速度大小； (2)钢球恰好不脱离轨道时，在 B 位
7、置对半圆形轨道的压力大小； (3)要使钢球最终能落入槽中，弹射速度 v0至少多大。 【答案】(1)2 m/s (2)6 N (3) 21 m/s 【解析】(1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在最高点 A 时，对钢球分析有 mgmvA 2 R ， 解得 vA2 m/s。 (2)钢球从 A 到 B 的过程由动能定理得 mg 2R1 2mvB 21 2mvA 2， 在 B 点有 FNmgmvB 2 R ， 解得 FN6 N， 4 / 9 根据牛顿第三定律，钢球在 B 位置对半圆形轨道的压力大小为 6 N。 (3)从 C 到 D 钢球做平抛运动，要使钢球恰好能落入槽中， 则 xvCt，h1 2gt
8、 2，解得 v C1 m/s， 假设钢球在 A 点的速度恰为 vA2 m/s 时，钢球可运动到 C 点，且速度为 vC，从 A 到 C 由动能定理得 mg 2RmgL1 2mvC 21 2mvA 2， 解得 vC20， 故当钢球在 A 点的速度恰为 vA2 m/s 时，钢球不可能到达 C 点，更不可能入槽，要使钢球最终能落入 槽中， 需要更大的弹射速度， 才能使钢球既不脱离轨道， 又能落入槽中。 当钢球到达 C 点速度为 vC时， v0有最小值，从 O 到 C 由动能定理得 mgRmgL1 2mvC 21 2mv0 2， 解得 v0 21 m/s。 【素养解读】本题主要考查定能定理、摩擦力做功
9、、圆周运动、平抛运动等知识，过程较多，需要逐个分 析，一一解决。培养学生理解推理能力，综合分析能力。 三、涉及弹簧(或橡皮绳)类的能量守恒问题 【典例 3】如图所示，固定斜面的倾角 30 ，物体 A 与斜面之间的动摩擦因数为 3 4 ，轻弹簧下端固 定在斜面底端， 弹簧处于原长时上端位于 C 点， 用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物 体 A 和 B，滑轮右侧轻绳与斜面平行，A 的质量为 2m4 kg，B 的质量为 m2 kg，初始时 A 到 C 点 的距离为 L1 m，现给 A、B 一初速度 v03 m/s，使 A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，A 将弹簧 压缩到最短后又恰好能
10、回到 C 点。已知重力加速度取 g10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始 终处于伸直状态，求此过程中： (1)A 向下运动刚到 C 点时的速度大小； (2)弹簧的最大压缩量； (3)弹簧的最大弹性势能。 5 / 9 【答案】(1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J 【解析】(1)A 从开始向下运动至刚到 C 点的过程中，对 A、B 组成的系统应用能量守恒定律可得： 2mgcos L1 2 3mv0 21 2 3mv 22mgLsin mgL 解得：v2 m/s。 (2)对 A、B 组成的系统，在 A 将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到 C 点的过程中，系统动能的减少 量等于因摩擦
11、产生的热量，即： 1 2 3mv 20 2mgcos 2x 其中 x 为弹簧的最大压缩量 解得：x0.4 m。 (3)设弹簧的最大弹性势能为 Epm 由能量守恒定律可得： 1 2 3mv 22mgxsin mgx 2mgcos xE pm 解得：Epm6 J。 【素养解读】本题主要考查能量守恒，弹簧弹性势能等。对整个系统的分析要求较高，需要对弹簧的状 态进行全面分析，充分体现了综合分析能力的科学素养。 1(多选)如图所示，在绝缘的斜面上方，存在着匀强电场，电场方向平行于斜面向上，斜面上的带电金属 块在平行于斜面的力 F 作用下沿斜面移动。已知金属块在移动的过程中，力 F 做功 32 J，金属块
12、克服电 场力做功 8 J，金属块克服摩擦力做功 16 J，重力势能增加 18 J，则在此过程中金属块的 A动能减少 10 J B电势能增加 24 J C机械能减少 24 J D内能增加 16 J 2如图所示，质量为 1 kg 的滑块在倾角为 30 的光滑斜面上，从 a 点由静止开始下滑，到 b 点开始压缩轻 6 / 9 弹簧，到 c 点时达到最大速度，到 d 点(图中未画出)开始弹回，返回 b 点离开弹簧，恰能再回到 a 点。 若 bc0.1 m，弹簧弹性势能的最大值为 8 J，g 取 10 m/s2，则下列说法正确的是 A弹簧的劲度系数是 50 N/m B从 d 点到 b 点滑块克服重力做功
13、 8 J C滑块的动能最大值为 8 J D从 d 点到 c 点弹簧的弹力对滑块做功 8 J 3 (多选)一质量为 m 的小球以初动能 Ek0从地面竖直向上抛出，已知运动过程中受到恒定阻力 fkmg 作 用(k 为常数且满足 0k1)。如图所示图像中两条图线分别表示小球在上升过程中动能和势能与其上升 高度之间的关系(以地面为零势能面)，h0表示上升的最大高度。则由图可知，下列结论正确的是 A小球的最大势能 E1 Ek0 k2 B小球上升的最大高度 h0 Ek0 k1mg C小球落地时的动能 EkkEk0 k1 D在 h1处，小球的动能和势能相等，且 h1 Ek0 k2mg 4如图所示，光滑水平面
14、 AB 与竖直面内的半圆形轨道在 B 点相切，半圆形轨道的半径为 R。一个质量为 m 的物体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经 过 B 点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的 8 倍， 之后向上运动恰能到达最高点 C(不计空气阻力)。 求： (1)物体在 A 点时弹簧的弹性势能； (2)物体从 B 点运动至 C 点的过程中产生的内能。 5如图所示，一物体质量 m2 kg，在倾角 37 的斜面上的 A 点以初速度 v03 m/s 下滑，A 点距弹簧上 7 / 9 端 B 的距离 lAB4 m。当物体到达 B 后将弹簧压缩到 C 点，最大压缩量
15、lBC0.2 m，然后物体又被弹簧 弹上去，弹到的最高位置为 D 点，D 点与 A 点的距离 lAD3 m。挡板及弹簧质量不计，g 取 10 m/s2，sin 37 0.6，cos 37 0.8，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数 ； (2)弹簧的最大弹性势能 Epm。 1AD 根据动能定理，合力所做的功等于动能的变化量，则 W合WFW电W阻W重10 J，即动能 减少 10 J， A 正确； 电势能的变化量等于克服电场力所做的功， 即 Ep电W电8 J， 即电势能增加 8 J， B 错误；机械能的变化量等于除重力以外的其他力所做的功，即 EWFW电W阻8 J，即机械能增加 8 J，C 错误；
16、内能的增加量等于克服摩擦力做的功，即 16 J，D 正确。 8 / 9 2A 当滑块的合力为 0 时，滑块速度最大，即知在 c 点时滑块的速度最大，此瞬间滑块受力平衡，则有 mgsin 30 kbc，可得 kmgsin 30 bc 50 N/m，故选项 A 正确；滑块从 d 点到 a 点，运用动能定理得 WG W弹00，又 W弹Ep8 J，可得 WG8 J，即克服重力做功 8 J，所以从 d 点到 b 点滑块克服重 力做功小于 8 J，故选项 B 错误；滑块从 a 点到 c 点，由系统的机械能守恒知：滑块的动能增加量与弹簧 弹性势能增加量之和等于滑块重力势能的减少量，小于 8 J，所以滑块的动
17、能最大值小于 8 J，故选项 C 错误；弹簧弹性势能的最大值为 8 J，根据功能关系知从 d 点到 b 点弹簧的弹力对滑块做功 8 J，从 d 点 到 c 点弹簧的弹力对滑块做功小于 8 J，故选项 D 错误。 3 BD 因小球上升的最大高度为 h0， 由题图可知其最大势能为 E1 Ek0 k1， 又 E1mgh0， 得 h0 Ek0 k1mg， A 项错误，B 项正确；由题图可知，小球上升过程中克服阻力做功为 WEk0 Ek0 k1，因小球所受阻力 恒定，且上升和下落高度相等，则小球下落过程中克服阻力做功为 WEk0 Ek0 k1，则小球落地时的动 能为 EkE1W Ek0 k1 Ek0 E
18、k0 k1 1k k1Ek0，C 项错误；在 h1 处，小球的动能和势能相等，则有 Ek0 (mgf)h1mgh1，解得 h1 Ek0 k2mg，D 项正确。 4 (1)7 2mgR (2)mgR 解析：(1)设物体在 B 点的速度为 vB，所受弹力为 FNB，则有 FNBmgmvB 2 R 又 FNBFNB8mg 由能量守恒定律可知物体在 A 点时弹簧的弹性势能 Ep1 2mvB 27 2mgR。 (2)设物体在 C 点的速度为 vC，由题意可知 mgmvC 2 R 物体由 B 点运动到 C 点的过程中，由能量守恒定律得 Q1 2mvB 2 1 2mvC 22mgR 解得 QmgR。 5 (
19、1)0.52 (2)24.4 J 解析：(1)物体在 D 点与开始的位置 A 点相比： 动能减少 Ek1 2mv0 29 J 9 / 9 重力势能减少 EpmglADsin 36 J 机械能减少 EEkEp45 J 减少的机械能用于克服摩擦力做功，即 WfFfl45 J，而路程 llAB2lBClABlAD5.4 m， 则 FfWf l 8.33 N 而 Ffmgcos ，解得 0.52。 (2)物体由 A 点到 C 点的过程： 动能减少 Ek1 2mv0 29 J 重力势能减少 EpmglACsin 50.4 J 克服摩擦力做功 WfFflAC35 J 由功能关系得 EpmEkEpWf24.4 J。
