1、,习题课,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和付式级数 展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十一章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,P257 题2. 判别下列级数的敛散性:,提示: (1),据比较判别法, 原级数发散 .,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数,因 n 充分大时,原级数发散 .,用比值判别法可知:,时收敛
3、 ;,时, 与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛 .,时发散.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题3. 设正项级数,和,也收敛 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当n N 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题4. 设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示: 对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题5.讨论下列级数的绝对收敛
4、性与条件收敛性:,提示: (1),P 1 时, 绝对收敛 ;,0 p 1 时, 条件收敛 ;,p0 时, 发散 .,(2) 因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛 .,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,单调递减, 且,但,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz判别法知级数收敛 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,P257 题7. 求下列级数的敛散区间:,练
5、习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）
6、, 数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解: (1),显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,P258 题8. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x = 0 时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解: 原式=,的和 .,P25
7、8 题9(2). 求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法, 直接展开法, 间接展开法,练习:,1. 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数的幂级数展开法,2. 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,P258 题11. 设 f (x)是周期为2的函数,它在,解答提示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有,提示:,P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12,作业,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
