1、广义广义多项式多项式6 函数逼近函数逼近/*Approximation of Function*/一、一、函数逼近问题的提法函数逼近问题的提法000()()()()nnnjjjxcxcxcx 假设假设 是定义在某区间是定义在某区间 上的函数，现寻求另一个上的函数，现寻求另一个构构造简单造简单、计算量小计算量小的函数的函数 来近似地代替：来近似地代替：()f x()x ,a b01(),(),()nxxx为区间为区间 上的一个上的一个线性无关线性无关函数系函数系,a b01,nc cc为一组实常数。为一组实常数。就是我们前面讨论的就是我们前面讨论的多项式逼近多项式逼近若若线性无关线性无关函数系取
2、函数系取211,nnx xxx 常用的常用的函数系函数系：幂幂 函数系：函数系：三角三角函数系：函数系：指数指数函数系：函数系：21,nx xx1,cos,sin,cos,sinxxnxnx01,nxxxeee 函数逼近构造函数逼近构造思想思想：要求构造函数在要求构造函数在整个区间整个区间上上与已知函数的误差尽可能与已知函数的误差尽可能小小 误差误差度量度量标准：标准：()()()bpaf xxW x dx 其中其中 为为权权函数函数0()W x （2）max()()a x bf xx （1）对于给定的函数系对于给定的函数系 ，寻求一组系数，寻求一组系数 0()njjx 01,nc cc0()
3、()njjjxcx 使得函数使得函数 满足满足0limmax()()na x bf xx （1）（2）0lim()()()bpanf xxW x dx 一致一致逼近逼近逼近逼近pL二、二、最佳最佳平方平方逼近逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/假设假设 ，是是a,ba,b上的一个线性无上的一个线性无关函数系关函数系,且且 ,为为a,ba,b上的一个权函数上的一个权函数(),f xC a b 0()njjx (),jxC a b ()W x如果存在一组系数如果存在一组系数01,na aa使得使得广义广义多项式多项式满足满足00()()()nnxax
4、ax 2()()()minbaf xxW x dx 称函数称函数 为为 在在a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的的最佳最佳平方平方逼近或逼近或最小二乘最小二乘逼近；逼近；特别，特别，若若 ，则称，则称 是是 在在a,ba,b上的上的最佳平方最佳平方逼近逼近.()x()f x()W x()x()f x1()W x 由定义可以看出，最佳由定义可以看出，最佳平方平方逼近问题实际上是个多元逼近问题实际上是个多元极值极值问题问题记记 201(,)()()()bnaF a aaf xxW x dx 由极值的由极值的必要必要条件条件 200 1()()(),bakkFf xxW x dxknaa 00
5、1()()()(),bkaf xxx W x dxkn 即：即：0 1 2()()()()()(),bbkkaaxx W x dxf xx W x dxkn 记记0 1 2(,)()()(),bijijaxx W x dxi jn 0 1 2(,)()()(),biiafx f x W x dxin 00()()()nnxaxax 将将 代入前式：代入前式：()x 00001100100111110011(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnnnaaafaaafaaaf 0 1 2()()()()()(),bbkkaaxx W x dxf xx
6、 W x dxkn 令令110 1()()(,),nijnnGi jn 称矩阵称矩阵 是关于函数系是关于函数系 的的Gram(格拉姆格拉姆)矩阵矩阵nG 0()njjx 易证易证Gram矩阵为实对称矩阵为实对称正定正定矩阵：矩阵：010(,)Tnxxxx0Tnx G x 11()()(,)TTnijnnx G xxx 00(),()nnkkkkkkxxxx 0 上述方程组存在上述方程组存在唯一唯一解解设由上述方程组的设由上述方程组的解解确定的确定的广义广义多项式为：多项式为：0011()()()()nnxaxaxax 对于对于任意任意广义多项式广义多项式0011()()()()nnxbxbxb
7、x 下面证明下面证明 22()()()()()()bbaaf xxW x dxf xxW x dx 即即 2()()()minbaf xxW x dx 22()()()()()()babaDf xxW x dxf xxW x dx 记记 22()()()()()()()()babaDxxW x dxxxxf x W x dx ()()()()()baxxxf x W x dx 0()()()()()nbkkkakbaxf xx W x dx 00 1()()()(),bkaf xxx W x dxkn 0 36.Th 设给定函数设给定函数 ，则其最佳平方逼近，则其最佳平方逼近唯一存在唯一存在，
8、且可以由前述，且可以由前述Gram组成的组成的方程组求解构造。方程组求解构造。(),f xC a b 注：注：前述前述Gram组成的组成的方程组通常称为方程组通常称为法方程组法方程组最佳平方逼近可以通过求解最佳平方逼近可以通过求解法方程组法方程组而得到而得到 Gram矩阵是实对称矩阵是实对称正定正定矩阵矩阵例例1：求函数求函数 在在 上的最佳平方逼近：上的最佳平方逼近：()sinf xx 0 1,2012()xaa xa x 解：解：22()xx 1()W x 1()xx 01()x 本题的函数系和权函数为：本题的函数系和权函数为：首先计算首先计算Gram矩阵：矩阵：10(,)ijijx x
9、dx 10 1 21(,)jij100 1 2(,)sin(,)iifxxdxi 02(,)f 11(,)f 2234(,)f 求解下列求解下列法方程组法方程组：012012201231122311112341114345aaaaaaaaa 20312120a 21360720a 21aa 所求最佳所求最佳平方平方逼近为：逼近为：20 0504654 122514 12251().xxx 注：例注：例1中的中的法方程组法方程组推广到一般情况推广到一般情况1()W x 0 1 2(),iixxin 即函数系和权函数取为：即函数系和权函数取为：法方程组法方程组的系数矩阵为：的系数矩阵为：1011(
10、,)ijijx x dxij 111211112321111221nnnnn n+1阶的阶的Hilbert矩阵矩阵病态病态矩阵矩阵 函数系的函数系的选择选择方法方法如果如果00(,)()ijiijrij 3 6.Def（正交函数系）（正交函数系）/*Orthogonal System of Function*/则称则称()W x0 1()(,)jxjn 为区间为区间 上关于权函数上关于权函数,a b的正交（的正交（直交直交）函数系。）函数系。特别，若特别，若1ir 称之为标准（称之为标准（规范规范）正交函数系）正交函数系/*Orthonormal System of Function*/01
11、2(,)()()(),bijijaxxW x dxi jn 如果取正交函数系：如果取正交函数系：则则法方程组法方程组的系数矩阵变为的系数矩阵变为对角对角矩阵。矩阵。00(,)()ijiijrij 所以方程组的解为：所以方程组的解为：0 1 2(,),(,)jjjjfajn 2()()()()()bjabjax f x W x dxxW x dx 常用的几种常用的几种正交正交函数系函数系1、三角（三角（Trigonometric）函数）函数系系：122,cos,sin,cos,sin,cos,sinxxxxnxnx01 2sincos,mxkxdxm k 0sinsinmkmxkxdxmk 0c
12、oscosmkmxkxdxmk 012sin,kxdxk coskx（或或 ）正交正交性质性质2、勒让德（勒让德（Legendre）多项式系多项式系：01()P x 2111 22()(),!nnnnndP xxnn dxDef性质性质1 1（递推递推公式）公式）1()P xx 221312()()P xx331532()()P xxx01(),P x 1()P xx 11211 211()()(),nnnnnPxxP xPxnnn 110221()()ijijP x Px dxijj 性质性质2 2（正交正交性质）性质）性质性质3 3（最佳逼近最佳逼近性质）性质）2222()()nP xf
13、x 211211()()nP xdxf xdx 或者或者说明说明:在区间在区间-1,1-1,1上，上，n次首次首1的的Legendre多项式多项式是是零函数零函数的最佳平方逼近多项式的最佳平方逼近多项式10nniiixc x 3、切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）多项式系多项式系：0 1 2()cos(arccos),nTxnxnDef性质性质1 1（递推递推公式）公式）011(),()T xT xx1121 2()()(),nnnTxxTxTxn2221()T xx3343()T xxx424881()T xxx53516205()T xxxx例如：例如：性质性质3 3（正交正交性质）
14、性质）121010210()()ijijTx Txdxijxij 性质性质2 2（零点零点与与最值点最值点）()nT x在在（-1,1-1,1）内的内的n个个零点和零点和n+1个个最值点为：最值点为：211 22()cos()(,)kknn 0 1cos(,)kxknn 性质性质4 4（最佳逼近最佳逼近性质）性质）1111112max()max()nnxxf xTx 在区间在区间-1,1-1,1上，上，n次首次首1的的Chebyshev多项式多项式是是零函数零函数的最佳的最佳一致一致逼近逼近证明：证明：反证法反证法如果存在如果存在 满足：满足：()g x 1111112max()max()nn
15、xxg xTx 则函数则函数 在点集在点集 上的函数值上的函数值符号交错出现符号交错出现!()()()nH xTxg x0cos,kknn 多项式多项式 至少有至少有n个零点个零点()H x矛盾！矛盾！有限区间的有限区间的转化转化问题问题有限区间有限区间 经过下列经过下列变换变换可变为区间可变为区间,a b11,1122()(),babaxtt 从而可以利用勒让德（从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系多项式系或切比雪或切比雪夫（夫（Chebyshev）多项式系多项式系来构造最佳平方逼近。来构造最佳平方逼近。三、三、正交正交多项式应用举例多项式应用举例例例2：利用利用Legendre多
16、项式系，求函数多项式系，求函数 在在 上的上的三次三次最佳平方逼近多项式。最佳平方逼近多项式。()xf xe 11,解：解：(,)(,)jjjjPfaP P 11221(,)()()jjjjP PP x P x dxj 10123504(,).xP fe dx 11107358(,).xP fxe dx 1221131014312(,)().xP fxe dx 13311530020132(,)().xP fxx e dx 00001 1752(,).(,)PfaP P 11111 1036(,).(,)P faP P 22220 3857(,).(,)PfaP P 33330 07046(,
17、).(,)P faP P 01231 17521 10360 35780 07046().().().().()xP xP xP xP x 关于切比雪夫（关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：多项式系的应用：012()()njjjaxa T x 设设121210 11()(),jjaTx f xdx jnx cosx 02(cos)cosjafj d Chebyshev级数级数（）n 20(,)(,),(,)jjjjjTfTfajT T 00000(,)(,)(,)TfTfaT T 例例3：利用利用Chebyshev多项式系，求函数多项式系，求函数 在在 上的上的五次五次最佳平方逼
18、近多项式。最佳平方逼近多项式。()arccos()f xx 11,解：解：02(cos)cosjafj d 002ad 202211cos()jjaj dj 240aa 14a 349a 5425a 1354442925()()()()xT xT xT x 3543161621545()()xxxx 所求的所求的五次五次最佳平方逼近多项式为最佳平方逼近多项式为化为一般多项式的形式：化为一般多项式的形式：例4：122221111,(,)()a b cI a b caxbxcxdxx 确确定定参参数数，使使得得积积分分取取得得最最小小值值。22111()f xxx 分分析析 本本题题实实质质上上求
19、求在在区区间间-1,1-1,1关关于于权权函函数数的的二二次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式，这这样样可可以以选选择择多多项项式式系系，当当然然也也可可以以看看成成是是三三元元函函数数的的最最值值问问题题求求解解。解：201212100112212101021022(),(),().()()(,),(,),(,).ijT xT xxT xxijT x T xdxijxijT TT TT T 采采用用切切比比雪雪夫夫多多项项式式，前前三三项项为为120211121(,).f Txdxx 0000111122220432(,)/(,),(,)/(,),(,)/(,).af TT Taf TT
20、 Taf TT T 22001 12210833810033().,.pxa TaTa Txabc 212221212131(,).xf Txdxx 12121101(,).xf Txdxx 例5：1()()f xxp x 求求在在0,10,1上上的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式10 1,spanx 分分析析：本本题题定定义义区区间间，其其解解法法一一般般有有两两种种：直直接接在在中中求求解解;将将0,10,1转转化化为为-1,1,-1,1,用用勒勒让让德德多多项项式式来来求求解解。解：101011100011000121101111213(),.,1,.p xaa xxdxx
21、dxx dx 方方：令令法法00111211412324 1512 151121515235/,/.().aaap xxa 1101002235(,),(,).fxdxfxxdx 010100111001122352235(,)(,),.(,)(,)().pfpfaappppp ta pa pt010011110111213141423215(),().(),()2,(),().(,).(,).p tp ttp tp tp tp tttpfdtpftdt（11210 1112(),0 1 1 1,.xttfx xft 则则，变变换换为为，则则函函数数变变为为选选择择勒勒让让德德多多项项式式函函数数系系。方法2：作变量代换12241221351515()().p xxx
