1、第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-1 单自由度系统单自由度系统一一 列方程法列方程法单自由度无阻尼自由振动系统运动0mxkx只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程，就可以得到振动系统的固有频率方程，就可以得到振动系统的固有频率nkm第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-1 单自由度系统单自由度系统一一 列方程法列方程法例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转动振动系统的运动微分方程。解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理 0()oJMF
2、22oJkacl 第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-1 单自由度系统单自由度系统一一 列方程法列方程法即解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受力图如图(b)。根据动量矩定理 0()oJMF22oJkacl 220oJkacl振动系统固有频率：22233313nokakakaJmlml第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-1 单自由度系统单自由度系统二能量法二能量法原理：原理：对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振动，系统 或 。在静平衡位置，势能为0，动能达到最大，即：。在最大位移处，动能为0，势能达到最大，即：。所以有：例：例：对
3、图4-1-1所示的振动系统，系统的动能TUconst()0dTUdtmax0,UTTmax,0UUTmaxmaxUT2012TJ系统的势能系统的势能21()2Uk a第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-1 单自由度系统单自由度系统二能量法二能量法令例：例：对图4-1-1所示的振动系统，系统的动能2012TJ系统的势能系统的势能21()2Uk a0=sinnt 则有：0222220000111=JJ(-cos)=Jcos222nnnnTtt 0222220111=()(sin)=sin222nnUk ak atkat最大动能022max01=J2nT 022max1=2U
4、ka最大势能：由maxmax=UT022220011J=22nka 得：系统的固有频率20=nkaJ第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-2 多自由度系统多自由度系统4-2-1求特征值法求特征值法令对于多自由度振动系统，其无阻尼自由振动运动微分方带入方程4-2-1并消去 项得欲使方程有非0解，令方程的系数行列式等于0可得到特征方程的n个特征根 ，即振动系统的固有频率0MXKX 4-2-1 sin()Xutsin()t2()0KMu特征方程，又称振幅方程2=0KM(1,2,.,)niin第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-2 多自由度系统多自由度系统
5、4-2-1求特征值法求特征值法例4-2-1：2个自由度振动系统，其运动微分方程为：令其特征方程的系数行列式等于0得即：1122020020 xxmkkxxmkk 222=02kmkkkm222(2)(2)=0km kmk可得固有频率2122=0.2192=2.2808kmkm第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-2 多自由度系统多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法计算固有频率的近似法一、瑞利法（一、瑞利法（Rayleigh法）法）瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，响应为同步振动。系统的动能可表示为：系统的
6、势能设maxmaxTU12TTX MX12TUX KX sininiXut带入得最大动能2max 2TniiiTuM umax1 2TiiUuK u最大势能第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-2 多自由度系统多自由度系统4-2-2计算固有频率的近似法计算固有频率的近似法一、瑞利法（一、瑞利法（Rayleigh法）法）带入公式 得：利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。例如例4-2-1所给出的振动问题，若取maxmaxTU代
7、入式4-2-7进行试算：2 TiiniTiiuK uuM u4-2-7111u 第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法一、瑞利法（一、瑞利法（Rayleigh法）法）若取若取与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差211111211 11 =0.33301 31 1021TnTkkkkuK ukkmuM ummm 112u 代入式4-2-7进行试算21111121122 2=0.22201 912022TnTkkkkuK ukkmuM ummm 211u22222221111 5=1.66701 311021TnTkkkkuK ukkmuM ummm1.35%-26.92%二
8、阶固有频率的相对计算误差瑞利法的计算精度决定瑞利法的计算精度决定于对振型的假设。计算于对振型的假设。计算一阶固有频率精度较高一阶固有频率精度较高但数值偏大但数值偏大第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）对于二个自由度系统：展开整理对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分方程可表示为：XMX 4-2-8同样地令同样地令 sinnXut 2()0IM u20IM特征方程特征方程22111122222112221-0-1-mmmm1112221211 2212 21421()0mmmm (a)第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用
9、计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）一般有 ，即 因此有设 为方程的两个根，则有比较（a）（b）两式，可得422222121211111()0（b）11122221211mm222122211111122222112111mm第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法二、邓克利法（Dunkenley法）用Dunkenley法求解上例一般地，对于具有n个自由度的振动系统即Dunkenley法计算自由度的振动系统一阶固有频率的计算公式。111222222211121111+=nnnniiiinmmmm1121 111 2kkKkkk11122211125=2mmmmmkkk
10、210.2kmDunkenley法计算结果偏小法计算结果偏小第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-3 传递矩阵法（传递矩阵法（Transfer Matrix Method）传递矩阵法传递矩阵法属于一种半解析数值解法，其基属于一种半解析数值解法，其基本思路：将系统离散成若干单元，每一个单本思路：将系统离散成若干单元，每一个单元与邻近单元界面上用位移协调条件和力的元与邻近单元界面上用位移协调条件和力的平衡条件予以联系；每一单元可以用牛顿第平衡条件予以联系；每一单元可以用牛顿第二定律建立运动方程，从而建立单元两端之二定律建立运动方程，从而建立单元两端之间的传递矩阵。求解从系统的
11、边界开始，在间的传递矩阵。求解从系统的边界开始，在边界上有的外力及位移关系是已知的，求出边界上有的外力及位移关系是已知的，求出另一侧的力和位移；依次进行下去最后可得另一侧的力和位移；依次进行下去最后可得到问题的解。传递矩阵法既可求振动系统的到问题的解。传递矩阵法既可求振动系统的固有频率，也可以求振动系统的强迫振动响固有频率，也可以求振动系统的强迫振动响应问题。应问题。第第4章章 固有频率的实用计算方法固有频率的实用计算方法4-3 传递矩阵法（传递矩阵法（Transfer Matrix Method）4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动图4-3-1 轴的纵向振动离散化模
12、型第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法的求解步骤传递矩阵法的求解步骤1.系统的离散化系统的离散化利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有利用集中质量法将具有分布质量的连续系统离散为具有n个自由个自由度的链式系统，如图度的链式系统，如图4-3-1(b),并进行编号并进行编号2.建立点场矩阵建立点场矩阵取第取第i个质量弹簧元件研究个质量弹簧元件研究两端状态向量关系两端状态向量关系111()LRiiLRLRiiiiiFFFFk xx写成矩阵形式写成矩阵形式1111=01iiLRiiiLRxxkFF第第4
13、章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动场传递矩阵场传递矩阵研究质量元件研究质量元件在没有外激励力作用时，根据牛顿第二定律，可得下列关系在没有外激励力作用时，根据牛顿第二定律，可得下列关系式式若振动系统作简谐振动，则有(1)11=11ii ikFRLiiRRLiiiixxm xFF2RRiixx 2=-RLiiRLLiiiixxFFmx第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动即质量质量 两侧状态向量之间的关系方程两侧状态向量之间的关系方程210=1i
14、iRLiiRLixxmFFim点传递矩阵点传递矩阵(1)210=1i iiPm3.求系统的传递矩阵求系统的传递矩阵第第i个质量弹簧单元的状态向量传递关系个质量弹簧单元的状态向量传递关系1111222211111010=11101iiiiRLRRiiiiiiRLRRiiiiixxxxkkmmFFFFmmk第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动令令 ,称振动系统的状态向量称振动系统的状态向量写写成成简洁的形式简洁的形式对于图对于图4-3-1(b)所示的振动系统，最右端状态所示的振动系统，最右端状态 与最左端状态与最左端状
15、态 之之间的关系间的关系xZF22111iiiiikCmmk第i个质量弹簧单元的传递矩阵1RRiiiZC Z1121100=RRRRRnnnnnnnnZC ZC CZC CC ZCZ4-3-7第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动称系统的总的传递矩阵而状态向量 依赖于边界条件。4.求系统的固有频率11nnCC CC11122122()()()()ccCcc0RRnZZ，求系统的固有频率时，从最左边的状态 向量 出发，利用式4-3-7计算最右边的状态向量 得到一个关于 的方程式，其中满足所需解决问题边界条件的 就是系统
16、的固有频率。0RZRnZ，第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动对于图5-3-1所示的悬臂梁的纵向振动问题，其边界条件为 ，代入3-3-7式有从而得 ，。满足 的 即 为系统的固有频率。00Rx 0RnF1112212200()()()()0RnRccxccF120()RRnxcF220()0RcF22()0c0第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动例4-3-1用传递矩阵法求图4-3-2所示的单自由度系统的固有频率解：1：编号：如图所示 2
17、：计算点、场矩阵点矩阵21210=1Pm场矩阵1011=11kF 3、计算传递矩阵：、计算传递矩阵：221121100ZP ZP F Z第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动4、求系统的固有频率、求系统的固有频率(无阻尼自由振动无阻尼自由振动)根据边界条件根据边界条件 代入：代入：0022222001111011011xxxkkFmFFmmk 020,0 xF00200(1)nFxkmFk固有频率2nkm第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振
18、动例例4-3-2用传递矩阵法求图用传递矩阵法求图4-3-3所示的所示的2个自由度系统的固有频率个自由度系统的固有频率解：解：1：编号：如图所示：编号：如图所示 2：计算点、场矩阵及传递矩阵：计算点、场矩阵及传递矩阵图4-3-30022222001111011011xxxkkFmFFmmk4222224221111012120121xxxkkFmFFmmk 042222222420220222022111111=222121111(2)=25(3)12()xxxkkkFFFmmmmmmkkkmmxkkkFmmmmkkk 第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-1传递矩阵法分
19、析轴的纵向振动传递矩阵法分析轴的纵向振动3.求系统的固有频率求系统的固有频率(无阻尼自由振动无阻尼自由振动)由边界条件由边界条件 代入上式得代入上式得:由上式的第2式得：22422202211(2)0025(3)12()mmxkkkFmmmmkkk 2042220(2)5012()FmxkkmmFkk即：即：222512()=0mmkk可解出两个根，即系统的固有频率：21,20.219251742.2808kkmkmm第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法分析圆轴的扭转振动一一 传递矩阵的计算传递矩阵的计算图4-3-4b)为系统的
20、某一具有代表性的第n段单元。其点矩阵形式点矩阵形式的动力方程的动力方程为为第n段单元对转轴的转动惯量图4-3-4 扭转振动单元状态向量表示2101RLnLnJTT nJ11101LRnnnkTT 场矩阵形式的弹性方程场矩阵形式的弹性方程4=32PnGIGdkll第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法分析圆轴的扭转振动一一 传递矩阵法的传递矩阵法的计算计算第n段单元的传递矩阵系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为系统的传递矩阵的计算公式仍然可以表示为22-1111RRnnnLnnJkkTTJ 22111nnnnnJCkkJ11mmC
21、C CC第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法分析圆轴的扭转振动二二 算法流程图算法流程图图4-3-5(a)所示的一端固定一端自由的圆轴作扭转自由振动，其中杆长为l，轴径为d，材料的切变模量为G，密度为 ，用传递矩阵法计算一阶固有频率。第第4章固有频率的实用计算方法章固有频率的实用计算方法4-3-2传递矩阵法分析圆轴的扭转振动传递矩阵法分析圆轴的扭转振动二二 算法流程图算法流程图图4-3-7 传递矩阵法的计算结果在01000rad/s范围内，计算得到的前3阶固有频率为158.5，475和791.5rad/s。而由理论解分别为159.08，477.24和795.4rad/s,相对误差分别为0.365%，0.469%和0.490%。
