1、习题六习题六1.什么是第一类错误什么是第一类错误?什么是第二类错误什么是第二类错误?答答:本来原假设本来原假设H0为真为真,但由于样本的随机性但由于样本的随机性,结果拒绝了结果拒绝了H0,判为不判为不符合符合H0,这就是这就是“弃真弃真”错误错误.也就是第一类错误也就是第一类错误.本来原假设本来原假设H0为伪为伪,也因为样本的随机性也因为样本的随机性,结果接受了结果接受了H0,使我们使我们犯了犯了“存伪存伪”错误错误.称为第二类错误称为第二类错误.2.何谓显著性水平何谓显著性水平?答答:根据实际问题的要求根据实际问题的要求,规定一个界限规定一个界限(0 0,或或 H0:0,H1:0.这类假设检
2、验的这类假设检验的否定域分布在接受域的一侧否定域分布在接受域的一侧.称为单侧称为单侧(或单边或单边)检验检验.因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧,而后者在接受域的一侧而后者在接受域的一侧.4.在产品质量检验时在产品质量检验时,原假设原假设 H0:产品合格产品合格,为了使次品混入正品为了使次品混入正品的可能性很小的可能性很小,在在n固定的条件下固定的条件下,显著性水平显著性水平 应取大些还是小些应取大些还是小些?答答:当然显著性水平当然显著性水平 越小越好越小越好.例如例如 =5%,表示有表示有5%的可能使的可能使
3、次品当作正品次品当作正品.当当=0.1%时时,表示有千分之一的可能使次品认为是正表示有千分之一的可能使次品认为是正品品.5.由经验知某味精厂袋装味精的重量由经验知某味精厂袋装味精的重量XN2(,),其中其中15,20.05,技术革新后技术革新后,改用机器包装改用机器包装,抽查抽查8个样品个样品,测得重量为测得重量为(单位单位:克克):14.7,15.1,14.8,15,15.3,14.9,15.2,14.6,.已知方差不变已知方差不变,问机器包问机器包装的平均重量是否仍为装的平均重量是否仍为15(显著水平显著水平=0.05)?解解:本题已知本题已知,需检验需检验.设设X为抽取的一袋味精的重量为
4、抽取的一袋味精的重量.由题设由题设XN2(,)=N(15,0.05)假设假设H00:15用用U检验检验(双侧检验双侧检验)使用统计量使用统计量XUn02 X2150.058 N(0,1)H11:15 P U0.0510.9752 查正态分布表查正态分布表,得得u21.96 X1(14.715.114.6)14.958X2150.058 u2()12 假设假设 H0 的否定域为的否定域为VU1.96214.95150.630.058 1.96 故这是故这是小概率小概率事件事件.不能否定不能否定H0.这说明这说明,可以认为机器包装的平均重量仍为可以认为机器包装的平均重量仍为15克克.6.已知某炼铁
5、厂铁水含碳量服从正态分布已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 ,观测了观测了九炉铁水九炉铁水,其平均含碳量为其平均含碳量为4484,如果估计方差没有变化如果估计方差没有变化,可否认为现可否认为现在生产的铁水平均含量仍为在生产的铁水平均含量仍为4.550(=0.05)?N2(4.550,0.108)解解:由题意由题意,设设X为铁水含碳量为铁水含碳量,则则XN2(4.550,0.108)由题设由题设,方差没有变化方差没有变化,即已知方差即已知方差220.108 假设假设H00:4.550用用U检验检验(双侧检验双侧检验)H11:4.550 选择统计量选择统计量XUn02 N(0,1)u2()12 u
6、20.05()10.9752 查正态分布表查正态分布表,得得u21.96 假设假设 H0 的否定域为的否定域为VU1.96XUn02 Xn224.484,9,0.108 24.4844.5501.8330.1089 2.58 这这不是小概率不是小概率事件事件.应该否定应该否定假设假设H0.这说明这说明,不能认为不能认为抗断抗断强度是强度是32.50公斤公斤/,即即cm232.50 8.某厂生产的钢筋断裂强度某厂生产的钢筋断裂强度 =35(公斤公斤/)今从现在生产的一批钢筋中抽测今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本个样本,得到的样本均值得到的样本均值 较以较以往的均值往的均值 大大17(公斤公斤
7、/).设总体方差不变设总体方差不变,问能否认为这批钢筋问能否认为这批钢筋的强度有明显提高的强度有明显提高(=0.05,=0.1)?XN2(,),cm2cm2u2()12 假设假设 H0 的否定域为的否定域为VU2.58 X解解:由题意由题意XN2(,35)已知方差已知方差,要检测要检测(均值均值)假设假设H00:(即强度没有明显提高即强度没有明显提高)用用U检验检验(单侧检验单侧检验)选择统计量选择统计量XUn02 (1)当当=0.05时时,u()1 0.050.95 u()1 查表查表,得得u1.64 N(0,1)否定域为否定域为VU11.64 nX2209,17,35 U2171.4635
8、9(2)当当=0.1时时,u()1 0.10.90 查表查表,得得u1.28 否定域为否定域为VU21.28U1.28(1.46)1.64 由此可见由此可见,在在=0.05下不能否定下不能否定H0(小概率事件小概率事件),而在而在=0下下,需要否定需要否定H0.故可以认为这批钢筋的强度在水平故可以认为这批钢筋的强度在水平=0.05下没下没有明显提高有明显提高,在在 =0.1 下有明显提高下有明显提高.9.某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是 1120 小时小时,现从一批新生产现从一批新生产的灯泡中抽取的灯泡中抽取 8 个样本个样本,测得其平均寿命为测得其平均寿命为 1070
9、 小时小时,样本样本方差方差 S22109 S222109()小时小时试检验灯泡的平均寿命试检验灯泡的平均寿命有无变化有无变化(=0.05,=0.01)?解解:本题未知方差本题未知方差 ,需要检测需要检测(均值均值)为样本为样本方差方差 假设假设H00:1120 H11:1120 选择统计量选择统计量XTSn02 用用t检验检验(双侧检验双侧检验)t n(1)(1)当当=0.05时时,tn(1)t0.05(7)n8,查查t分布表分布表,得得=2.365否定域为否定域为VT12.365 (1)当当=0.01时时,t0.01(7)3.499 否定域为否定域为VT23.499nSX2208,109,
10、1120,1070,T2107011201098 =1.297TVV12、故故没有理由拒绝没有理由拒绝H0.这说明这说明,可以可以认为灯泡的寿命没有显著变化认为灯泡的寿命没有显著变化.2 10.正常人的脉搏平均为正常人的脉搏平均为72次次/分分,今对某种病患者今对某种病患者10人人,测其脉博测其脉博为为54,68,65,77,70,64,69,72,62,71(次次/分分).设患者的脉搏次数设患者的脉搏次数X服服从正态分布从正态分布,试在显著水平试在显著水平=0.05下检验患者的脉搏与正常人的脉搏下检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异有无差异?解解:本题未知方差本题未知方差 ,需要检测需要检测
11、(均值均值)2 假设假设H00:72 H11:72 选择统计量选择统计量XTSn02 t n(1)用用t检验检验(双侧检验双侧检验)tn(1)t0.05(9)2.262否定域为否定域为VT2.262 X1(546871)67.210 niiSxXn2211()1 iiSx102211(67.2)40.1810 1 T67.2722.39440.1810 2.262TV(属于否定域属于否定域)因此因此拒绝拒绝H0.即认为患者的脉搏与正常人的脉搏即认为患者的脉搏与正常人的脉搏有显著差异有显著差异.=0.0511.过去某工厂向过去某工厂向A公司订购原材料公司订购原材料,自订货日开始至交货日止自订货日
12、开始至交货日止,平平均均49.1日日.现改为向现改为向B公司订购原料公司订购原料.随机抽取向随机抽取向B公司订的公司订的8次货次货,交货交货天数为天数为:46,38,40,39,52,35,48,44,问问B公司交货日期是否较公司交货日期是否较A公司为公司为短短(=0.05)?解解:本题未知方差本题未知方差 ,需要检测需要检测(均值均值)2 假设假设H00:49.1 (假设期限长假设期限长)H10:选择统计量选择统计量用用t检验检验(单侧检验单侧检验)XTSn02 t n(1)=0.05tn2(1)tt2 0.050.1(81)(7)1.895 否定域为否定域为VT1.958 X1(46384
13、4)42.758iiSx822211(42.75)5.7268 1 T242.7549.15.7268 3.137 1.895 TV 因此因此否定否定H0.说明说明B公司交货日期显著比公司交货日期显著比A公司要短公司要短.12.用一台自动包装机包装葡萄糖用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净重规定标准每袋净重500克克.假定假定在正常情况下在正常情况下,糖的净重服从正态分布糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明根据长期资料表明,标准差为标准差为15克克,现从某一班的产品中随机取出现从某一班的产品中随机取出9袋袋,测得重量为测得重量为:497,506,518,511,524,510,488,
14、515,512.问包装机工作是否正常问包装机工作是否正常:1)标准差有无标准差有无变化变化?2)平均重量是否符合规定标准平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解解:从包装机包装的产品中随机取出一袋的重量为随机从包装机包装的产品中随机取出一袋的重量为随机变变量量X.则则XN2(,15)1)欲检验标准差有无变化欲检验标准差有无变化,属于未知均值属于未知均值,检验方差检验方差.这是总体这是总体X方差的双边检验方差的双边检验.假设假设H220:15 H221:15 选择统计量选择统计量nSW220(1)n2(1)n9,0.05 用用W检验检验(双侧检验双侧检验)查查 分布表分布表,得得2 n2112
15、(1)n222(1)210.0512(91)20.975(8)2.180 220.052(91)20.025(8)17.535 否定域为否定域为VWW2.18017.535 X1(497506512)509,9015 iinSxX9221(1)()iix921(509)950 W29504.22215V 接受接受H0 即标准差即标准差 无显著变化无显著变化.2)平均重量是否符合规定标准平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解解:此处是已知方差此处是已知方差 ,需要检测需要检测(均值均值)2 假设假设H0:500 H11:500 用用U检验检验(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量XUn02
16、 U25095001.8159 N(0,1)u20.05()10.9752 查表查表,得得u21.96 否定域为否定域为VU1.961.96UV 故故不能拒绝不能拒绝H0.可以认为平均重量符合规定可以认为平均重量符合规定.13.某种罐头在正常情况下某种罐头在正常情况下,按规格平均净重按规格平均净重379克克,标准差为标准差为11克克,现抽查十盒现抽查十盒,测得如下数据测得如下数据:370.74,372.80,386.43,398.14,369.21,381.67,367.90,371.93,386.22,393.08(克克).试根据抽样结果试根据抽样结果,说明平均说明平均净重和净重和标准差是标
17、准差是否符合规格要求否符合规格要求.(提示提示:检验检验 H0:=379,H0:11,=0.05)解解:设一只罐头的净重为设一只罐头的净重为X,则则由提示由提示:检验检验 H0:=379,H0:11,=0.05 XN2(,),(1)假假 设设 H0:=0=379;(2)假假 设设 H0:0=11.此处此处未知方差未知方差,用用t检验检验(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量XTSn02 t n(1)=0.05,n=10tnt0.05(1)(9)2.262 否定域为否定域为VT2.262 X1(370.74393.08)379.81210 iiSx1022211(379.812)10.7918
18、101 T2379.812 3790.23810.791810 2.262故故接受接受H0.认为平均净重量符合规定认为平均净重量符合规定.此处此处 未知未知,检验方差检验方差.选择统计量选择统计量nSW220(1)n2(1)20.05(101)16.919 否定域为否定域为VW16.919 W229 10.79188.66211 16.919故故接受接受H0.认为标准差符合规定认为标准差符合规定.用用W检验检验(单侧检验单侧检验)14.为校正试用的普通天平为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为把在该天平上称量为100克的克的10个试个试样在计量标准天平上进行称量样在计量标准天平上进行称量,得
19、如下结果得如下结果:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,99.2,假设在天平上称量的结果服从正态假设在天平上称量的结果服从正态分布分布,问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(=0.05)?解解:设试称物件在标准天平上的称量为设试称物件在标准天平上的称量为X,则则XN2(,),(本题需检测普通天平上称量时本题需检测普通天平上称量时 有有 =100 )X假假 设设 H0:=0=100 此处此处未知方差未知方差 ,2 用用t检验检验(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量XTSn02 t n(1
20、)tnt0.05(1)(9)2.262 否定域为否定域为VT2.262 X1(99.399.2)99.910 iiSx102211(99.9)1.367101 T99.9 1000.2701.36710 2.262TV故故接受接受H0.即普通天平称量结果与标准天平即普通天平称量结果与标准天平无显著差异无显著差异.15.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.3,现随机抽取现随机抽取8支支,得样本标准差为得样本标准差为2.4,问能否同意生产者的自称问能否同意生产者的自称?假设香烟中尼古丁含假设香烟中尼古丁含量服从正态分布量服从正态分布,=0.05.解解:本题属
21、于未知均值本题属于未知均值,检验方差检验方差 .2 设香烟中尼古丁含量为设香烟中尼古丁含量为X,则则XN2(,),假设假设20:2.3H 21:2.3H 选择统计量选择统计量用用W检验检验(双侧检验双侧检验)nSW220(1)n2(1)nS8,2.4,0.05 210.0512(81)20.975(7)1.690 220.052(81)20.025(7)16.013 否定域为否定域为n2112(1)n222(1)VWW1.69016.013 W2(81)2.417.532.3 V 故故拒绝拒绝H0.不能同意生产者的自称不能同意生产者的自称.16.加工某一机器零件加工某一机器零件,根据其精度要求
22、根据其精度要求,标准差不得超过标准差不得超过0.9,现从现从该产品中抽测该产品中抽测19个样本个样本,得样本标准差得样本标准差S=1.2,当当=0.05时时,可否认为标可否认为标准差变大准差变大?解解:本题属于未知均值本题属于未知均值,检验方差检验方差 .2 假设假设H22200:0.9 H2210:用用W检验检验(单侧检验单侧检验)选择统计量选择统计量nSW220(1)n2(1)20.05(191)28.869 否定域为否定域为VW28.869W22(191)1.2320.9 V 故故不能接受不能接受H0.可以认为标准差变大可以认为标准差变大.17.测得测得A、B两批电子器件的样本的电阻为两
23、批电子器件的样本的电阻为(单位单位:欧姆欧姆):A.0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137 B.0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.140 设设A、B两批器件的电阻分别服从两批器件的电阻分别服从 试问能否认为试问能否认为A、B两总体服从相同的正态分布两总体服从相同的正态分布?N211(,),N222(,),解解:设设A、B两批电子器件的电阻分别为两批电子器件的电阻分别为X和和Y,且且XN211(,),YN222(,)本题需检测均值本题需检测均值与检验方差与检验方差 H012:H22012:首先检验方差首先检验方差 H22012:选择统
24、计量选择统计量XYSFS22 F nn12(1,1)(双侧检验双侧检验)nn126,0.05,(属于未知均值属于未知均值,检验方差检验方差)P F10.0252 PF1110.025 查查F分布表分布表(P321),得得117.15 110.147.15 P FF20.025(5,5)否定域为否定域为VFF0.147.15 XS267.87 10 YS267.1 10 XYSFS26267.87 101.117.1 10 V 故故接受接受H0.可以认为这两批可以认为这两批电子器件的电阻方差相等电子器件的电阻方差相等.再检验均值再检验均值 H012:此处是已知方差相等此处是已知方差相等,但具体值
25、但具体值未知未知,需要检测需要检测均值均值.选择统计量选择统计量WXYTSnn1211 t nn12(2)(双侧检验双侧检验)nn126,0.05,自由度自由度为为6+6-2=1027.15 X1(0.1400.137)0.1407,6Y1(0.1350.140)0.13856 t0.05(10)2.23,否定域为否定域为VT2.23 0.1407,X 0.1385Y XYWnSnSSnn2221212(1)(1)2 6657.871057.1 10662 67.485 10 WXYTSnn1211 60.14070.1385117.485 1066 30.00221.392.736 100.
26、58 否定域为否定域为VT2.23 V 故故接受接受H0.可以认为这两批电子器件的电阻均值相等可以认为这两批电子器件的电阻均值相等.18.从城市的某区中抽取从城市的某区中抽取16名学生测其智商名学生测其智商,平均值为平均值为107,样本标样本标准差为准差为10,而从该城市的另一区抽取的而从该城市的另一区抽取的16名学生的智尚平均值为名学生的智尚平均值为112,标准差为标准差为8,试问在显著水平试问在显著水平=0.05下下,这两组学生智商有无差异这两组学生智商有无差异?解解:分别设这两个区域学生的智商为分别设这两个区域学生的智商为X与与Y,则则XN211(,),YN222(,)由题意由题意,XS
27、n11107,10,16 YSn21112,8,16题中未涉及题中未涉及2212?本题需先检测方差后检测均值本题需先检测方差后检测均值.首先检验方差首先检验方差 H22012:(属于未知均值属于未知均值,检验方差检验方差)(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量XYSFS22 F nn12(1,1)=F(15,15)20.052(15,15)P FF 22.86 110.352.86 F22101.56258否定域为否定域为VFF0.352.86 V 故故接受接受H0.可以认为方差相等可以认为方差相等.再检验均值再检验均值 H012:此处是已知方差相等此处是已知方差相等,但具体值但具体值未知未
28、知,需要检测需要检测均值均值.(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量WXYTSnn1211 t nn12(2)XYWnSnSSnn2221212(1)(1)2 t0.05(16162)2.042,否定域为否定域为VT2.042 T22107 11215 1015 81116 16 216 16 1.56 V 故故接受接受H0.可以认为这两组学生智商无显著差异可以认为这两组学生智商无显著差异.19.用老工艺生产的机械零件方差较大用老工艺生产的机械零件方差较大,抽查了抽查了25个个,得得 现改用新工艺生产现改用新工艺生产,抽查抽查25个零件个零件,得得 ,设两种生产过程皆服设两种生产过程皆服从正
29、态分布从正态分布,问新工艺的精度是否比老工艺显著地好问新工艺的精度是否比老工艺显著地好(=0.05)?S216.47,S223.19,解解:设老、新工艺生产的零件尺寸分别为设老、新工艺生产的零件尺寸分别为X与与Y,则则XN211(,),YN222(,)假设假设H22012:()()老老新新(假设老工艺比新工艺的精度好假设老工艺比新工艺的精度好)(单侧检验单侧检验)选择统计量选择统计量SFS2122 F nn12(1,1)F(24,24)nn1225,P F0.05 F0.05(24,24)1.98 SFS2122 否定域为否定域为VF1.98 6.472.0283.19V 故故拒绝拒绝 H0.
30、可以认为新工艺的精度是比老工艺显著可以认为新工艺的精度是比老工艺显著地好地好.0.05,20.为比较甲乙两种安眠药的疗效为比较甲乙两种安眠药的疗效,将将20名患者分成两组名患者分成两组,每组每组10人人,如服药后延长睡眠时间分别近似服从正态分布如服药后延长睡眠时间分别近似服从正态分布,其数据如表所示其数据如表所示:a b c d e f g h i j 甲甲 1.9 0.8 1.1 0.1-0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 乙乙 0.7-1.6-0.2-1.2-0.1 3.4 3.7 0.8 0 2.0问在显著水平问在显著水平=0.05下下,两种安眠药的疗效有无显著差异两种安眠药
31、的疗效有无显著差异?解解:设服用甲、乙两种安眠药的患者延长睡眠时间分别为设服用甲、乙两种安眠药的患者延长睡眠时间分别为X与与Y,则则XN211(,),YN222(,)首先检验方差首先检验方差 H22012:(属于未知均值属于未知均值,检验方差检验方差)(双侧检验双侧检验)选择统计量选择统计量XYSFS22 F nn12(1,1)1210,0.05,nn 20.052(9,9)P FF 24.03 110.24814.03 否定域为否定域为0.24814.03VFF XY2.23,0.75niiSxXn2211()1 XYSS224.009,3.201F4.0091.2523.201 V 故故接受接受H0.可以认为方差相等可以认为方差相等.再检验均值再检验均值 H012:选择统计量选择统计量WXYTSnn1211 假设假设t nn12(2)tt0.050.05(10102)(18)2.01,否定域为否定域为VT2.101 XYWnSnSSnn2221212(1)(1)2 94.00993.2013.60410102T2.330.751.86113.6041010 V 故故接受接受H0.即即两种安眠药的疗效无显著差异两种安眠药的疗效无显著差异.
