1、 在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表示事表示事件，并视之为样本空间件，并视之为样本空间的子集；针对等可能概型，的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量及其分布随机变量及其分布Random Variable and Distribution随机变量随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果即用数值
2、来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如例如:在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表来表示的示的可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”Random Variablen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化但可数量化 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个个白球；从中任意
3、抽取白球；从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系X X表示取得的红球数表示取得的红球数可记为可记为 X=2 X=2 记为记为记为记为 试验结果的数量化试验结果的数量化一维随机变量一维随机变量(one-dimension random variable)定义定义设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间 的每一个样本点的每一个样本点 均有唯一的实数均有唯一的实数 X与之对应，称与之对应，称 为为 上的上的一维随机变量一维随机变量。X如：掷骰子一颗，观察其点数。如：掷骰子一颗，观察其点数
4、。样本点样本点i表示表示“点数为点数为 ”iiXi令令 与之对应，则与之对应，则1,2,3,4,5,6iXi是一维随机变量。是一维随机变量。又如：观察一电子元件的寿命。又如：观察一电子元件的寿命。t样本点样本点 表示表示“寿命为寿命为 小时小时”ttXt令令 与之对应，则与之对应，则,0tXt tR t也是一维随机变量。也是一维随机变量。研究随机变量主要掌握的两个问题研究随机变量主要掌握的两个问题1）找出随机变量的所有可能取值；）找出随机变量的所有可能取值；2）求出随机变量的概率规律）求出随机变量的概率规律.如：掷骰子一颗，取其向上面点数为随机变量如：掷骰子一颗，取其向上面点数为随机变量X的所
5、的所有可能取的值为有可能取的值为 X=1,2,3,4,5,6。其概率规律为？其概率规律为？设是随机变量，则它的取值规律称为设是随机变量，则它的取值规律称为的概率的概率分布（简称分布分布（简称分布distribution）随机变量的分布随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。反映了随机事件出现的可能性的大小。一维随机变量的分布函数一维随机变量的分布函数定义说明：定义说明：设设 为随机变量，为随机变量，是任意实数，则称函数是任意实数，则称函数为为随机变量随机变量 的分布函数。的分布函数。x)()(xXPxFXX分布函数的定义分布函数的定义1、分布函数实际上是一个概率，即随机变量、分布函数实
6、际上是一个概率，即随机变量 小于等于小于等于 的概率，也就是，的概率，也就是，表示表示 落在落在 内的概率。内的概率。Xx)(xFX,(x2、分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。、分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。xX随机变量的分布函数随机变量的分布函数有以下重要性质：有以下重要性质：1、单调不减性：、单调不减性：)()(,2121xFxFxx则如果2、右连续性：、右连续性：)()0(),()(lim00 xFxFxFxFxx或记为3、1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx1)(0 xF4、)()()()()(121221xFxFxXPxXPxXxP)()()()()
7、()()(11221221xXPxFxXPxFxXPxXPxXxP)()()()()()(1221221xFxXPxFxXPxXPxXxP)()()()()()(1121221xXPxFxFxXPxXPxXxP设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：试求试求：（：（1）系数）系数A与与B；（；（2）X落在落在(-1,1内的概率。内的概率。)(arctan)(xxBAxF解解：（：（1）由）由可得,1)(,0)(FF1)2(0)2(BABA,1,21BA得)(arctan121)(xxxF则F(-1)-F(1)1P(-1)2(x)1arctan(1211arctan1212141214
8、121 一维一维离散型随机变量离散型随机变量的分布的分布 若离散型随机变量若离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为ai，而，而X取值取值ai的概率为的概率为pi，即即如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之为为离散型随机变量离散型随机变量。1212.iiXaaaPppp称为随机变量称为随机变量 的的分布密度分布密度或或分布律分布律或或概率分布概率分布或或概率函数。概率函数。X一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：101,1,2,3,.ipi 121iip,1,2,.iiP Xapi或：或
9、：xxiipxx)P(X)F()3(例例 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率分布律确定概率求分布律举例求分布律举例 例例1 1 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意抽取件次品，从中任意抽取2 2件，件，如果用如果用X X表示抽得的次品数，求随机变量表示抽得的次品数，求随机变量X X的分布律及事件的分布律及事件“至至少抽得一件次品少抽得一件次品”的概率。的概率。解解X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)190136220217
10、CCP(X=1)P(X=2)1131722051190C CC 232203190CC =P(只有一件为次品只有一件为次品)=P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)P(X=0)故故 X X的分布律为的分布律为kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=(X1)”=(X1)=(X=1)=(X=1)(X=2(X=2P(X1)=P(X=1)+P(X=2P(X1)=P(X=1)+P(X=2)注意：注意：(X=1)(X=1)与与(X=2)X=2)是互不相容的是互不相容的！952719054190319051 实际上，这仍是等可能概型的计算题，只是表达实际上，这仍是等可
11、能概型的计算题，只是表达事件的方式变了事件的方式变了故故,1,3,5P Xkakk351aaa解：由解：由19a 故故 X 的分布律是：的分布律是：135135999XP119P X41,39P X例例2 设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，求的分布律如下，求 及及 X 的分布函数。的分布函数。a0)()(PxXPxF当当 时，时，1x当当 时，时，31 xxXPxF)(xXPxF)(当当 时，时，53 x当当 时，时，5x1)()(PxXPxF.综上所述，综上所述，xXPxF)(1,0 x31,91 x53,94 x5,1x 几种常见的一维离散型随机变量的分布律几种常见的一维离散型随机变
12、量的分布律 若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为:1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布背景背景样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况,都可以都可以用两点分布来计算。用两点分布来计算。如：抛硬币一次。如：抛硬币一次。重复独立试验（重复独立试验（n重贝努里试验）重贝努里试验）则恰好有一次出现点则恰好有一次出现点“6”的概率的概率123123123P A A AP A A AP A A A215366 2131566C贝努里试验：贝努里试验：每次试验只有两个结果的试验出现和不出现。每次试验只有两个结果的试验出现
13、和不出现。n次独立试验：次独立试验：n次次试验条件不变，各次相互独立。试验条件不变，各次相互独立。例例5 掷骰子三次，求恰好有一次出现点掷骰子三次，求恰好有一次出现点“6”的概率。的概率。解：设解：设 表示第表示第 次出现点次出现点“”，1,2,3iA i i 设在一次试验中事件出现的概率为设在一次试验中事件出现的概率为01,ppX 表示在表示在 次贝努里试验中出现的次数，次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：的分布律为：n 1n kkknnP XkP kC pp此分布称为此分布称为二项分布。二项分布。0,1,2,.,kn,XB n p记作记作一级品数一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中
14、有一级品，求恰有的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例例2 一大批零件的一级品率是一大批零件的一级品率是 。从中任取。从中任取 4 个，求取出的个，求取出的0010解：由于零件数目很多，故可将取解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作个零件视作 4 次贝努里试验。次贝努里试验。即即4,0.1XB一个一级品的概率。一个一级品的概率。故故 4440.1 0.9,0,1,2,3,4kkkP XkP kCk所求概率为所求概率为11P XX110P XP X13440.1 0.91 0.9C 0.848若随机变量若随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：,0,1,2,.,0!kP Xkek
15、k则称则称 X 服从服从泊松分布，泊松分布，记作记作 XP泊松分布描述的是泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。其中参数其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的平均数）。所以它的一个重要应用是平均数）。所以它的一个重要应用是则近似地，有则近似地，有XP np,XB n p若若且且 较大较大,（），），较小较小,（）n10n p0.1p 即：即：1!kn knpkknnpC ppek，其中：，其中：np 服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在
16、某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目n 实际问题中若干实际问题中若干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从 Poisson Poisson分布的分布的 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率
17、；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例3 3解解例例4 4 某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量服从参数为服从参数为，的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件，的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以此种商品，才能以99%99%的概率充分满足顾客的需要。的概率充分满足顾客的需要。X3 3!3eiiXPi,2,1,0i99.0!303kiieikXP查本书后面的泊松分布表得：查
18、本书后面的泊松分布表得：8k即月初进货时，要库存即月初进货时，要库存8 8件这种商品，才能以件这种商品，才能以99%99%的概率充分满的概率充分满足顾客的需要足顾客的需要。(400,0.02)XB 4004000.020.98kkkP xkC88!kek泊松定理泊松定理n 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！会发生的！例：某人骑摩托车上街例：某人骑摩托车上街,出事故率为出事故率为0.02，独立重，独立重复上街复上街400次，求出事故至少两次的概率。次，求出事故至少两次的概率。若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，
19、他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 设在一次试验中，事件发生的概率为设在一次试验中，事件发生的概率为p(0p1)，则在则在n重贝努里试验中，事件在第重贝努里试验中，事件在第k次试验中首次试验中首次发生的概率为次发生的概率为nkppkXPk,1 )1()(1 一批产品共有件，其中件次品从中任意取一批产品共有件，其中件次品从中任意取出出n(n)件产品，则这件产品，则这n件产品中次品数的分件产品中次品数的分布律为布律为nkCCCkXPnNknMNkM,1,0 )(应用于产品检验，药物试验等实际问题应用于产品检验，药物试验等实际问题中可建立超几何分布的模型中可建立超几何分布的模型作作 业业 习题习题22，4，5，7，9
