1、ijiijxiji其中，其中，为第为第i个处理观测值总体平均数；个处理观测值总体平均数；为试验误差、相互独立、且为试验误差、相互独立、且服从正态分布服从正态分布N（0，2）。）。若令若令kiik11ii则（则（5-1）式可以改写为）式可以改写为ijiijx（5-4）其中，其中，为全试验观测值总体平均数；为全试验观测值总体平均数；i 是第是第i个个处理的效应处理的效应，表示处理，表示处理i对试验结果产生的影响。对试验结果产生的影响。显然有显然有 01kii （5-4）式叫做）式叫做单因素完全随机设计试验资单因素完全随机设计试验资料的数学模型料的数学模型。表示为总平均数表示为总平均数、处理效应、处
2、理效应i、试验、试验误差误差ij 之和。之和。由由ij相互独立且服从正态分布相互独立且服从正态分布N（0，2），可知各处理），可知各处理Ai (i=1，2，k)所属所属总体总体 亦亦 应应 具具 正正 态态 性性 ，即即 服服 从从 正正 态态 分分 布布N(i,2)。尽管。尽管各总体的均数可以不等或各总体的均数可以不等或相等，相等，2 2则必须是相等的则必须是相等的。ijx 所以，单因素完全随机设计试验资料的所以，单因素完全随机设计试验资料的数学模型可归纳为：数学模型可归纳为：效应的可加性效应的可加性（additivity）分布的正态性分布的正态性（normality）方差的一致性方差的一致
3、性（homogeneity）二、平方和与自由度的分解二、平方和与自由度的分解 在方差分析中用样本方差即在方差分析中用样本方差即均方均方来度量来度量资料的变异程度。资料的变异程度。在表在表5-1中，中，度量全部观测值总变异的度量全部观测值总变异的总总均方均方分解为度量处理间变异的分解为度量处理间变异的处理间均方处理间均方和和度量处理内变异的度量处理内变异的处理内均方处理内均方两部分。两部分。统计学上，这种分解是通过将总均方统计学上，这种分解是通过将总均方的分子的分子称为称为总离均差平方和总离均差平方和，简称为，简称为总总平方和平方和，分解为，分解为处理间平方和处理间平方和与与处理内平处理内平方和
4、方和两部分；将总均方的分母两部分；将总均方的分母称为称为总自总自由度由度，分解为，分解为处理间自由度处理间自由度与与处理内自由处理内自由度度两部分来实现的。两部分来实现的。（一）总平方和的分解（一）总平方和的分解 在表在表5-1中，反映全部观测值总变异的总中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值平方和是各观测值x xijij与总平均数与总平均数 的离均的离均差平方和，记为差平方和，记为SST。即。即.x211()knTijijSSxx因为因为221111()()()knknijiijiijijxxxxxx其中其中 1()0nijijxx2211()2()()()kniiijiijiijxx
5、xxxxxx2211111()2()()()kknkniiijiijiiijijnxxxxxxxx所以所以 22211111()()()knkknijiijiijiijxxnxxxx21()kiinxxixx 式中，式中，为各处理平均数为各处理平均数与总平均数与总平均数 的离均差平方和与重复数的离均差平方和与重复数n的的乘积，反映了重复乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为次的处理间变异，称为处处理间平方和理间平方和，记为，记为SSt，即，即21()ktiiSSnxx211()knijiijxx 为各处理内离均差平方和之为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为和，反映了各处
6、理内的变异即误差，称为处理处理内平方和内平方和或或误差平方和误差平方和，记为，记为SSe，即，即 211()kneijiijSSxx于是有于是有SST =SSt +SSe 3种平方和的简便计算公式种平方和的简便计算公式 211ktiiSSxCntTeSSSSSS2/Cxkn矫正数矫正数 211knTijijSSxC（二）总自由度的分解（二）总自由度的分解 ()ijxx11()0knijijxx 在计算总平方和时，资料中在计算总平方和时，资料中kn个个观测值观测值的离均差的离均差要受要受这一条件的约束，故这一条件的约束，故总自由度等于资料中观总自由度等于资料中观测值的总个数减一测值的总个数减一，
7、即即kn-1。总自由度记为。总自由度记为dfT，dfT=kn-1。()ixx1()0kiixx 在计算处理间平方和时，在计算处理间平方和时，k k个处理均数的个处理均数的离均差离均差要受要受这一条件的约束，故这一条件的约束，故处理间自由度为处理数处理间自由度为处理数减一减一，即，即k-1。处理间自由度记为。处理间自由度记为dft，dft=k-1()ijixx1()0nijijxx在计算处理内平方和时，在计算处理内平方和时，kn个个离均差离均差要受要受k个条件的约束，即个条件的约束，即 故故处理内自由度为资料中观测值的总个数处理内自由度为资料中观测值的总个数减减 k，即，即 kn-k 。处理内自
8、由度记为处理内自由度记为 dfe dfe=kn-k=k(n-1)（i=1,2,k）1(1)()(1)(1)nkknkkkk n etTdfdfdf因为因为所以所以tTetTdfdfdfkdfkndf11eeetttTTTdfSSMSdfSSMSdfSSMS,2TS2tS2eS 各项平方和除以各自的自由度便得到各项平方和除以各自的自由度便得到总总均方均方、处理间均方处理间均方和和处理内均方处理内均方，分别记为，分别记为MST（或（或）、）、MSt（或（或）和）和 MSe （或（或），即），即有一水稻施肥的有一水稻施肥的盆栽试验盆栽试验，设，设置了置了5 5个处理个处理：A1和和A2分别施用两种不
9、同工艺分别施用两种不同工艺流程的氨水，流程的氨水，A3施碳酸氢铵，施碳酸氢铵，A4施尿素，施尿素，A5不施氮肥。不施氮肥。每个处理各每个处理各4 4盆盆（施氮处理的施肥（施氮处理的施肥量每盆皆为折合纯氮量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有克），共有5420盆，盆，随机随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/盆）列于盆）列于表表5-2。2252613833.84 5xCnk22222210898114126805301.2itxSSCCn402.2301.2101.0eTtSSSSSS2222243021402.2TijSSxCC301.275.304101.06.7315
10、ttteeeSSMSdfSSMSdf120 119Tdfnk 15 14tdfk 19415eTtdfdfdf 方差分析就是通过方差分析就是通过MSt 与与MSe的比较来的比较来推断推断 是否为零即是否为零即 是否相等。是否相等。i222211()011kkiiiikk相当于相当于1=2=k 统计学已证明，在统计学已证明，在 的条件下，的条件下，服从自由度服从自由度df1=k-1与与df2=k（n-1）的的F分布。即分布。即 12(,)12 1,(1)tdf dfeMSFMSdfkdfk n20etMSMS),(05.021dfdfF20 若实际计算的若实际计算的F值大于值大于 ，则，则F 值
11、在值在=0.05的水平上显著，我们以的水平上显著，我们以95%的可的可靠性靠性(即冒即冒5%的风险的风险)推断推断 MSt 代表的总体方代表的总体方差大于差大于MSe代表的总体方差，即代表的总体方差，即 这种用这种用 F 值出现概率的大小推断一个总值出现概率的大小推断一个总体方差是否大于另一个总体方差的方法称为体方差是否大于另一个总体方差的方法称为F F检验检验(F-test)。2210:01kiiHk 对于单因素完全随机设计试验资料的方差对于单因素完全随机设计试验资料的方差分析分析:无效假设无效假设H0：1=2=k 备择假设备择假设HA：各：各i不全相等不全相等或或 F=MSt/MSe，也就
12、是要判断处理间均方，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内是否显著大于处理内(误差误差)均方。均方。221:01kiiAHk),(05.021dfdfF),(01.021dfdfF 实际进行实际进行F检验时，是将由试验资料所算得检验时，是将由试验资料所算得的的 F 值与根据值与根据 df1=dft(大均方即分子均方的自大均方即分子均方的自由度由度)、df2=dfe (小均方即分母均方的自由度小均方即分母均方的自由度)查查附表附表4所得的临界所得的临界F值值，相比较作出统计推断。相比较作出统计推断。),(05.021dfdfF20若若F，即，即p0.05，不能否定，不能否定 统计学上，把这一检
13、验结果表述为：统计学上，把这一检验结果表述为：各处各处理间差异不显著或简述为理间差异不显著或简述为F F值不显著，在值不显著，在F F值的值的右上方标记右上方标记“ns”ns”，或不标记符号，或不标记符号；H0：),(05.021dfdfF),(01.021dfdfF2020若若F即即0.01p0.05，否定，否定H0：接受接受HA:统计学上，把这一检验结果表述为：统计学上，把这一检验结果表述为：各各处理间差异显著或简述为处理间差异显著或简述为F F值显著，在值显著，在F F值的值的右上方标记右上方标记“*”；),(01.021dfdfF2020若若F，即，即p0.01，否定，否定H0：，接受
14、，接受HA:统计学上，把这一检验结果表述为：统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著或简述为各处理间差异极显著或简述为F F值极显著，值极显著，在在F F值的右上方标记值的右上方标记“*”。对于对于【例【例51】，因为，因为75.3011.19*6.73teMSFMS 根据根据 df1=dft=4，df2=dfe=15 查附表查附表 4，得，得F0.01(4，15)=4.89，因为，因为FF0.01(4，15),即即p0.01，表明表明五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著，施肥处理不同，产量亦不同。施肥处理不同，产量亦不同。表表5-3 5-3 表表
15、5-25-2资料方差分析表资料方差分析表变异来源变异来源SSSSdfdfMSMSF值值处理间处理间301.2475.3011.19*处理内处理内101.0156.73总变异总变异402.219下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 LSDjixx 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 jixx ixjxjiexxdfaaStLSD)()(edftjixxSnMSSexxji/2下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 eMS)(05.0edft)(01.0edftjiejiexxdfxxdfStLSDStLSD)(01.001.0)(05.005.005.0
16、LSD01.0LSD05.0LSD01.0LSD下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 6.73,15,4eeMSdfn226.731.83444ijexxMSSn0.050.05(15)2.131 1.84333.9091ijxxLSDtS0.010.01(15)2.947 1.84335.4060ijxxLSDtS0.05(15)0.01(15)2.131,2.947tt 检验结果：检验结果：差数差数 2.5、1.5、3.0 不显不显著；差数著；差数 4.5、4.0、4.5显著；差数显著；差数 7.0、8.5、7.0和和11.5极显著。极显著。表明：表明：施尿素的稻谷平均产量极
17、显著施尿素的稻谷平均产量极显著高于对照和施氨水高于对照和施氨水2、显著高于施氨水、显著高于施氨水1；施碳酸氢铵的稻谷平均产量极显著高施碳酸氢铵的稻谷平均产量极显著高于对照、显著高于施氨水于对照、显著高于施氨水2；施氨水施氨水1的稻谷平均产量极显著高于的稻谷平均产量极显著高于对照对照；施氨水施氨水2的稻谷平均产量显著高于对的稻谷平均产量显著高于对照照；施尿素与施碳酸氢铵、施碳酸氢铵施尿素与施碳酸氢铵、施碳酸氢铵与施氨水与施氨水1、施氨水、施氨水1与施氨水与施氨水2的稻谷平的稻谷平均产量差异不显著均产量差异不显著；以施尿素的稻谷产量最高。以施尿素的稻谷产量最高。/xqw SnMSSex/),(kd
18、faeqxkdfaSqe),(xkdfaSqe),(下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张,(,)eka dfkxLSRqS下一张 主 页 退 出 上一张 对于对于【例【例5-1】，各处理平均数多重比较表各处理平均数多重比较表见见表表5-5（同表（同表5-4）。前已述及，在表）。前已述及，在表5-5（即表（即表5-4）中，）中，极差极差4.5、3.0、1.5和和3.0的秩次距为的秩次距为2；极差极差7.0、4.0和和4.5的秩次距为的秩次距为3；极差极差8.5和和7.0的的秩次距为秩次距为4；极差极差11.5的秩次距为的秩次距为5。6.731.29714exMSSn6.73,15,4eeMSdfnxkdfakaSSSRLSRe),(,下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 exSxS 将表将表5-4 中的极差与中的极差与 表表5-7 中的最小显著中的最小显著极差比较，除极差极差比较，除极差4.0不显著外，其余检验结不显著外，其余检验结果与果与LSD法相同。法相同。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张
