1、11/29/20221第二章 插值法11/29/20222iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx 第二章 插值法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 2.5 分段低次插值分段低次插值11/29/20223本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值。11/29/20224
2、2.1 引言引言且不利于在计算机上其函数形式可能很复杂对函数,),(xf个不同的点上的一组在区间可以获得量假如可以通过实验或测运算1,)(,nbaxfbxxxxan210nixfyii,2,1,0),(上的函数值能否存在一个性能优良、便于计算的函数满足比如多项式函数),(xP一、插值问题11/29/20225niyxPii,2,1,0)()()(xfxP近似代替并且用这就是插值问题，上式为插值条件的插值函数为函数称函数)()(xfxP则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP称为插值节点点,2,1,0,nixi称为插值区间区间,ba个等分点上若给定如函数5,0,sinxy 其插值函数的图象如
3、下图11/29/2022600.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy)()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(xfxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似
4、代替因此)()(xfxP11/29/20227二、插值法的类型上的代数插值多项式为在区间设函数,)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且满足niyxPiin,2,1,0)(其中 为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。ia本章只讨论多项式插值与分段插值11/29/20228 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 此插值问题可表述为如下：问题问题 求作次数 多项式 ，使满足条件 这就是所谓的拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值。n),1,0(,niyxLin)(xLn11
5、/29/20229问题问题 求作一次一次式 ，使满足条件 从几何图形上看，表示过两点 的直线，因此可表示为如下点斜式：2.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值)(1xL)()(Lkk1kk1kk1xxxxyyyx1111)(,)(kkkkyxLyxL)(1xLy)y,(与),(1k1kxyxkk一、线性插值一、线性插值点斜式点斜式11/29/202210)()()11kk1xlyxly(xLkk)(1xLy)y,(与),(1k1kxyxkk从几何图形上看，表示过两点的直线，因此也可表示为如下对称形式：其中，k1k1)(xxxxxlkk11kkkkxxxx(x)l显然，;)(x,l)(x
6、l;)(xl,)(xlkkkkkkkk01011111为线性插值基函数及函数称我们1(x)l(x)lkk二、线性插值二、线性插值对称式对称式11/29/202211线性插值举例线性插值举例例1:已知 ，求代入点斜式插值多项式得 y=10.71428精确值为 10.723805，故这个结果有3位有效数字。10100 11121 115y)()(0010101xxxxyyyxL11/29/202212 线性插值的局限性线性插值的局限性11/29/202213 问题问题 求作二次二次式 ，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，
7、要求满足下式：)(2xL三、抛物插值三、抛物插值)1,1()(2kkkjyxLjj)()()()11kk112xlyxlyxly(xLkkkk11/29/20221411/29/202215(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(115)=x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(100121)(100144)(115121)(115144)*10+(121100)(121144)(115100)(11514
8、4)*11+(144100)(144121)(115100)(115121)*12=10.7228抛物插值举例抛物插值举例例例2 2：L L2 2(x)=(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位11/29/202216为了构造 ，我们先定义n次插值基函数。)(xLn2.2.2 拉格朗日n次插值多项式定义：若n次多项式),1,0()(njxlj在n+1个节点nxxx10上满足条件。基函数次插值上的为节点)(,),(),(式次多项个1就称这1010n,x,xxxlxlxlnnnn11/29/202217)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxx
9、xxxxxxxxlnkiiikixxxx0)()(),2,1,0(nk)()(10nxxxxxx(x)n 1令)(xkn 1则)()()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxxxn+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：11/29/202218)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl),2,1,0(nk且)(xLnnkknknkxxxxy011)()()()()()(11knknxxxx从而11/29/202219为记为项式为插值基函数的插值多以上在节点于是)(),1
10、,0()(,),1,0()(,xLnixlnixxfynji)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn)(xljnjiiijixxxx0)()(其中)()(11jjnnxxxx总总结结称)(xLn为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称),1,0)(njxlj为n次拉格朗日插值基函数11/29/202220例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的 拉格朗日插值多项式。11/29/20222111/29/20222211/29/20222311/29/202224拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）高次插值的精度不一定高11/29/20222
11、5 2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计一、插值余项插值的从上节可知Lagrangexfy)(,njjjnxlyxL0)()(满足nixfxLiin,1,0)()(,bax但)()(xfxLn不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？11/29/202226)(xLn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依赖于11/29/202227)()()(xLxfxRnn令上显然在插值节点为),1,0(nixi)()()(iniinxLxfxRni,1,0,0个零点上至少有在因此1,)(nbaxRn)(
12、)()(1xxKxRnn设)()()(101nnxxxxxxx为待定函数)(xK其中)()()()()(1xxKxLxfxRnnn证明：证明：假设在区间a,b上f(x)的插值多项式为)(xLn11/29/202228)()()()(1xxKxLxfnn0)(x则有0的区分与注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即个零点上至少有在区间若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni,1,0nixi,2,1,0,0)()()()()(1xxKxLxfnn)()()()(1ininixxKxLxf)()()()()(1txKtLtftnn若引入辅助函数11/29/202229根据罗尔定
13、理,个零点上有至少在区间1),()(nbat再由罗尔定理,个零点上有至少在区间nbat),()(依此类推阶导数为零的使得内至少有一个点在区间1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn)()()()()1(1)1()1(txKtLtfnnnnn由于11/29/202230)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截断误差的余项为插值多项式称xLxRnn)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKLf因此)!1()()()1(nxKfn011/29/202231|)(|xRn则)()!1()(1)1(xn
14、fnn)()!1(11xnMnn注意（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时 才能应用。（2）在ba,内的具体位置通常不可能给出，所以，设)()1(1maxxfMnbxan11/29/202232例1:225,169,144,)(,.1三个节点为若中在上节例xxf线性插值的余项为设LagrangexR)(1插值的余项为二次LagrangexR)(2解:.)175(截断误差近似值的线性和二次插值做试估计用fLagrangexxf21)(2341)(xxf2583)(xxf|)(|max2251692xfMx|)169(|f 41014.1|)(|max2251443xfMx|)144(|f
15、 61051.111/29/202233|)175(|2|)225175)(169175(|300|)175(|3|)225175)(169175)(144175(|9300|)175(|1R)175(!2122M3001014.121421071.1|)175(|2R)175(!3133M93001051.161631035.211/29/202234例2.5,5,11)(2xxxf设函数ninhihxnni,1,0,10,515,5个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10,8,6,4,2并作图比较.解:211)(iiixxfy插值多项式次作Lagrangennjn
16、jiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10,8,6,4,2n11/29/202235-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图Runge现象11/29/202236结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.P48 2、3、4本章作业
