1、第第第第第第4 4 4章章章章章章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分数值积分和数值微分4.1 数值积分概论数值积分概论4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式4.3 复合求积公式复合求积公式4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.5 自适应积分方法自适应积分方法4.6 高斯求积公式高斯求积公式4.7 多重积分多重积分4.8 数值微分数值微分4.1 4.1 数值积分概论数值积分概论 我们知道我们知道,若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原上连续且其原函数为函数为F(x),则可用则可用Newton-Leibnitz公式公式baaF
2、bFdxxf)()()(求得定积分求得定积分求定积分的值求定积分的值,Newton-Leibnitz公式公式 无论在理论上无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：经常遇到以下三种情况：(1)被积函数被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数有限形式表示的原函数F(x)，例如：，例如：Newt
3、on-Leibnitz公式就无能为力了。公式就无能为力了。dxedxxxx10102sin和无法用初等函数表示无法用初等函数表示(2)还有被积函数还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数但表达式太复杂，例如函数 32)(22xxxf并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数后其原函数F(x)为：为：)322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF表达式太复杂表达式太复杂(3)被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式,其函数关系其函数关系由表格或
4、图形表示。由表格或图形表示。无解析表达式无解析表达式 对于这些情况对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公公式所不能或很难解决的积分问题式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。法来建立积分的近似计算方法。数值积分数值积分 将积分区间细分将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是
5、数值积分的思想，用代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。数值积分的主要内容。数值微分数值微分同样对于函数同样对于函数f(x)的求导问题，因为在微分学中，函的求导问题，因为在微分学中，函数数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容数数值微分。值微分。数值积分的
6、基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面这四条边所围成的曲边梯形面积。如图积。如图1所示，而这个面积之所以难于计算是因为所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边它有一条曲边y=f(x)。badxxfI)(建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的其中最常用的有两种：有两种：y=f(x)a b 图图1 数值积分数值积分的几何意义的几何意义 （1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在，在积分区间积分区间a,b内存
7、在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为 的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点 的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的,因而因而 的值也是未知的的值也是未知的,称称 为为f(x)在区间在区间a,b上上的平均高度。那么只要对平均高度的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法。相应地就获得一种数值求积方法。bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f基于积分中值定理基于积分中值定理中矩形公式中矩形公式 按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似按照这种思想
8、，可构造出一些求积分值的近似公式。公式。取取 ,得到中矩形公式得到中矩形公式中矩形公式中矩形公式)2()(baff)2()()(bafabdxxfbay=f(x)ab中矩形公式把中矩形公式把a,b 的中点处函的中点处函数值数值 作为作为平均高度平均高度 f()的近似值而获得的一种数值积的近似值而获得的一种数值积分方法。分方法。)2(baf图图2 中矩形公式中矩形公式梯形公式梯形公式取取 ,则则得到得到梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式2)()()(bfaff)()()(21)(bfafabdxxfbaxaby=f(x)ab梯形公式是把梯形公式是把f(a),f(b)的加权平的加权平均值均值 作为平
9、均高度作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。)()(21bfaf图图3 梯形公式梯形公式y Simpson公式公式)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaby=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式公式Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a,b,(a+b)/2这三点的函数值这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值的加权平均值 作为平均高度作为平均高度f()的近似值而获的近似值而获得的一种数值积分方法。得的一种数值积分方法。1()4()()62abf aff b)2(baf图图4 Simps
10、on公式公式（2）先用某个简单函数）先用某个简单函数 近似逼近近似逼近 f(x),用用 代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即，即)(x)(xbabadxxdxxf)()(基于逼近思想基于逼近思想以此构造数值算法。以此构造数值算法。多项式逼近多项式逼近从数值计算的角度考虑从数值计算的角度考虑,函数应对函数应对f(x)有充分的逼近有充分的逼近程度程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数近连续函数,且又容易计算积分且又容易计算积分,因此将因此将 选取为选取为插值多项式插值多项式,这样这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分就可以用其插值
11、多项式的积分来近似代替的积分来近似代替。)(x设已知设已知f(x)在节点在节点 有函数值有函数值 ,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 ),1,0(nkxk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx这里这里 插值求积公式插值求积公式knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 称为称为求积系数求积系数。插值求积公式插值求积公式多项式多项式P
12、(x)易于求积易于求积,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(定义定义1 1 求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系数其系数 时，则称求积公式为插值求时，则称求积公式为插值求积公式。积公式。bakkdxxlA)(插值求积公式插值求积公式设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理由插值余项定理得得)(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()()1(ba,其中其中 当当f(x)是次数不高于是次数不高于n的多项式时，有的多项式时，有 ,求积公式才能成为准确的等式。求积公式才能成为准确的等
13、式。0)()1(xfn0)(fR插值求积公式插值求积公式4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数)()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。即有是插值基函数。即有)(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,步长步长求积节点为求积节点为 为了计为了计算系数算系数Ak,由于由于 ,所
14、以所以nabh),1,0(nkkhaxkhikxxik)(nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!(!)1()()()(110区间区间n等分等分dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)()1)(1()1()!(!)1(求积系数求积系数 作变量代换作变量代换 当当 时时,有有 ,于是于是可得可得 thaxbax,nt,0 nnkiikndtitknknab00)()!(!)1(nnkiiknkdtitknnkC00)()!(!)1(k=0,1,n)代入插值求积公式代入插值求积公式,有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d
15、)(称为牛顿称为牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式,Ck 称为柯特斯系数。称为柯特斯系数。引进记号引进记号kkCabA)(k=0,1,n)则则柯特斯系数柯特斯系数容易验证容易验证 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab柯特斯系数性质柯特斯系数性质显然显然,Ck k 是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间 a,b 以及被积函数以及被积函数f(x)的常数的常数,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数。就可以算出柯特斯系数。当当n=1n=1时时 1011002121)1(!1!011tdtCd
16、ttC低阶柯特斯系数低阶柯特斯系数当当n=2=2时时 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(!1!12)1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC表表1 1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。当当n=8n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。柯特斯系数柯特斯系数 表表1 1()11122141266613313888871621674904515459019252525251952889614414496
17、28841993499416840352801052802584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC10496454010496928588898950283502835028350283502835028350)1(0C)1(1C)2(0C)2(1C)2(2C)3(2C)3(0C)3(1C)3(3C)4(2C)4(0C)4(1C)4(3C)4(4C柯特斯系数表柯特斯系数表梯形公式梯形公式 在牛顿在牛顿-柯特斯求积公式中柯特斯求积公
18、式中n=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)梯形公式梯形公式 当当n=1时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式)()()(21)(bfafabdxxfba定理定理（梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在a,b上具有连续上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 证证:由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 dxxnffRbann)(
19、)!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba badxbxaxffR)()(21)(1由于由于(x-a)(x-b)在在a,b中不变号中不变号,在在a,b上连续上连续,根根据高等数学中的积分中值定理据高等数学中的积分中值定理,在在a,b上存在一点上存在一点，使使)(f )(6)()()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 梯形公式梯形公式23（2）辛卜生公式辛卜生公式当当n=2时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式（或称柯特斯公式就是辛卜生公式（或称抛物线公式）抛物线公式）)()2(4)()(61)(b
20、fbafafabdxxfba定理（辛卜生公式的误差）设在定理（辛卜生公式的误差）设在 a,ba,b 上具有连续的上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 ),()(2880)()()4(52bafabfR定理证明从略。定理证明从略。辛卜生公式辛卜生公式（3 3）柯特斯公式）柯特斯公式 当当n=4=4时，牛顿时，牛顿-柯特斯公式为柯特斯公式为)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理（柯特斯公式的误差）设在定理（柯特斯公式的误差）设在 a,b 上具有连续上具有连续的的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差
21、为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74bafabfR定理的证明从略。定理的证明从略。柯特斯公式柯特斯公式例例1 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分计算定积分 的近似值的近似值 (计算结果取计算结果取5 5位有位有效数字效数字)15.0dxx(1)(1)用梯形公式计算用梯形公式计算 4267767.0 170711.025.0)1()5.0(25.01d15.0ffxx(2)(2)用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx43093403.0 103866.0411707.0121例题例题(3)(3)用柯特斯公
22、式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为,17875.03275.012625.0325.07 905.01d15.0 xx43096407.0793326.2939223.1029822.2594975.41801积分的准确值为积分的准确值为 43096441.032d15.02315.0 xxx可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。例题例题例例2 2 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3123d)572(xxxx的近似值的近似值,并估计其误差并估计其误差(计算结果取计算结果取5 5位小数位小数)解解:辛卜生公式辛卜生公式 322
23、036225941613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余项由辛卜生公式余项 572)(23xxxxf0)()4(xf例题例题bafabfR,),(2880)()()4(5柯特斯公式柯特斯公式 知其误差为知其误差为 0)(fR322097812532912835327451)3(7)5.2(32)2(12)5.1(32)1(79013fffffC例题例题知其误差为知其误差为 0)(fR 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉我这个例子告诉我们，对于同一个积分，当们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度
24、，柯特斯公这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。式当然是精确成立的。3220I例题例题4.3 复合求积公式复合求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于应提高。但由于n88时的牛顿时的牛顿-柯特斯求积公式开柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能
25、导致舍入研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。求积节点数的方法来提高计算精度。复合求积公式复合求积公式 在实际应用中，通常将积分区间分成若干在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的个区间上的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。常用的复合求积公式有复合梯形公基本思想。常用的复合
26、求积公式有复合梯形公式和复合辛卜生公式。式和复合辛卜生公式。1 复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差 将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,步长步长 求积求积节点为节点为 在每个小区间在每个小区间 上应用梯形公式上应用梯形公式 nabh),1,0(nkkhaxk)1,1,0(,1nkxxkk)()(2)(11kkxxxfxfhdxxfkk求出积分值求出积分值Ik,然后将它们累加求和然后将它们累加求和,用用 作为所作为所求积分求积分I的近似值。的近似值。10nkkI复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差)()(2)(211bfxfafhTnkkn记记 上式称为复合梯形公式。
27、上式称为复合梯形公式。复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差)()(2)(211bfxfafhnkk)()(.)()(2)(21210nnxfxfxfxfxfh)()(2)()(110101kkbankxxnkxfxfhdxxfdxxfIkk 当当f(x)在在 a,b 上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 1,kkxx复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差在在 a,b 上的余项上的余项 13,)(12 kkkkTxxfhRk 10310)(12nkknkTTfhRRk设设 在在 a,b 上连续，根据连续函数的中值定理知，上连续
28、，根据连续函数的中值定理知，存在存在 ，使，使)(xf ba,)()(110ffnnkk ba,因此因此,余项余项)(12)()(1223fhabfnhRT ba,复合梯形公式及其误差复合梯形公式及其误差2 复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差 将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分,记子区间记子区间 的中点为的中点为 在每个小区间上应用辛卜生公在每个小区间上应用辛卜生公式，则有式，则有 1,kkxxhxxkk2121复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差)()(4)(6)()(11010211kkknknkxxbaxfxfxfhdxxfdxxfIkk)()(2)(
29、4)(61101121bfxfxfafnknkkk)()(2)(4)(61101121bfxfxfafSnknkkkn记记 称为复合辛卜生公式称为复合辛卜生公式 复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差 类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛卜生类似于复合梯形公式余项的讨论，复合辛卜生公式公式 的求积余项为的求积余项为)(2880)4(4fhabRsba,如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分,内分点依次记内分点依次记 1,kkxx432141,kkkxxx同理可得复合柯特斯公式同理可得复合柯特斯公式 1010)(12)(32)(7902141nknkkknxfxfafhC)(7)(
30、14)(32111043bfxfxfnkknkk)(4945)(2)6(6fhabRc求积余项为求积余项为 ba,复合柯特斯公式及其误差复合柯特斯公式及其误差复合求积公式的余项表明，只要被积函数发复合求积公式的余项表明，只要被积函数发f(x)所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复合梯形公上连续，那么复合梯形公式、复合辛卜生公式与复合柯特斯公式所得近似值式、复合辛卜生公式与复合柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为 。因此当。因此当h0(即即n)时时,都收敛都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。于积分真值，且收敛速度一个比一个快。nnnCST
31、,)(2h)(4h)(6hnnnCST,复合辛卜生公式及其误差复合辛卜生公式及其误差例例3 3 依次用依次用n=8n=8的复合梯形公式、的复合梯形公式、n=4n=4的复合的复合 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI解解:首先计算出所需各节点的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8,n=8时，时，125.081h由复合梯形公式可得如下计算公式：由复合梯形公式可得如下计算公式：9456909.0)1()875.0(2)75.0(2)625.0(2)5.0(2)375.0(2)25.0(2)125.0(2)0(1618fffffffffT例题例题由复合辛卜生公式可得如下
32、计算公式由复合辛卜生公式可得如下计算公式9460832.0)875.0()625.0()375.0()125.0(4)75.0()5.0()25.0(2)1()0(2414fffffffffS（积分积分准确值准确值I=0.9460831）这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有两位有效数字较，复合梯形法只有两位有效数字(T(T8 8=0.9456909),=0.94
33、56909),而复合辛卜生法却有六位有效数字。而复合辛卜生法却有六位有效数字。例题例题例例4 用复合梯形公式计算定积分用复合梯形公式计算定积分 ,问区问区间间 才能使误差不超过才能使误差不超过 10dxeIx51021解解:取取 ,则则 ,又区间长度又区间长度b-a=1=1，对，对复合梯形公式有余项复合梯形公式有余项 xexf)(xexf)(52210211121)(12)(enfhabxRT即即 ,n212.85,n212.85，取，取n=213n=213，即将区间，即将区间0,10,1分为分为213213等份时，用复等份时，用复合合梯形公式计算误差梯形公式计算误差不超过不超过 。52106
34、en510210,10,1应分多少等份应分多少等份例题例题4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 复合求积方法对于提高计算精度是行之有复合求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复合公式的一个主要缺点在于要效的方法，但复合公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。度为止。变步长的梯形公式
35、变步长的梯形公式1 1 变步长的梯形公式变步长的梯形公式 变步长复合求积法的基本思想是在求积过变步长复合求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。变步长的梯形公式变步长的梯形公式设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，即分成等分，即分成n个子区间，一个子区间，一共有共有n+1个节点，即个节点，即x=a+kh,k=0,1,，n，步，步长长 。对于某个子区间。对于某个子区间
36、,利用梯形公利用梯形公式计算积分近似值有式计算积分近似值有 nabh1,kkxx)()(21kkxfxfh101)()(2nkkknxfxfhT对整个区间对整个区间 a,b 有有变步长的梯形公式变步长的梯形公式将子区间将子区间 再二等份再二等份,取其中点取其中点作新节点作新节点,此时区间数增加了一倍为此时区间数增加了一倍为2n,2n,对某个子区对某个子区间间 ,利用复合梯形公式计算其积分近似值利用复合梯形公式计算其积分近似值。1,kkxx)(21121kkkxxx1,kkxx)()(2)(4121kkkxfxfxfh10101)(2)()(421nkknkkkxfhxfxfh1012)()(2
37、)(421nkkkknxfxfxfhT对整个区间对整个区间 a,b 有有 比较比较 和和 有有nTnT2102)(2221nkknnxfhTT变步长的梯形公式变步长的梯形公式当把积分区间分成当把积分区间分成n等份，用复合梯形公式计算积等份，用复合梯形公式计算积分分I的近似值的近似值 时，截断误差为时，截断误差为 nT)(122nnnfnababTIR 若把区间再分半为若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值等份，计算出定积分的近似值 ，则截断误差为，则截断误差为 nT2)(2122222nnnfnababTIR 当当 在区间在区间 a,b 上变化不大时上变化不大时,有有 )(xf )()
38、(2nnff 412nnTITI所以所以 变步长的梯形公式变步长的梯形公式 可见可见,当步长二分后误差将减至当步长二分后误差将减至 ,将上式移项将上式移项整理，可得事后误差估计式整理，可得事后误差估计式 41)(3122nnnTTTI上式说明，只要二等份前后两个积分值上式说明，只要二等份前后两个积分值 和和 相当相当接近，就可以保证计算结果接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使的误差很小，使 接接近于积分值近于积分值I。nTnT2nT2nT2例例5 5 用变步长梯形求积法计算定积分用变步长梯形求积法计算定积分解解:先对整个区间先对整个区间 0,10,1 用梯形公式用梯形公式,对于对于 10d
39、sinxxxI8410709.0)1(,1)0(,sin)(ffxxxf所以有所以有 9207355.0)1()0(211ffT然后将区间二等份然后将区间二等份,由于由于 ,故有故有 9588510.0)(21f9397933.0)(21212112fTT进一步二分求积区间进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值并计算新分点上的函数值 9088516.0)(,9896158.0)(4341ff例题例题有有 9445135.0)()(4121434124ffTT这样不断二分下去。积分的这样不断二分下去。积分的准确值为准确值为0.9460831。xif(xi)011/80.99739782/80
40、.98961583/80.97672674/80.95885105/80.93615566/80.90885167/80.877192510.8414709例题例题2 2 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格公成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格公式又称逐次分半加速法。式又称逐次分半加速法。根据积分区间分成根据积分区间分成n等份和等份和2n等份时的误差估计等份时的误差估计式，可得式，
41、可得)(3122nnnTTTI龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格求积公式由于积分值由于积分值 的误差大致等于的误差大致等于 ,如果用如果用 对对 进行修正时，进行修正时，与与 之之和比和比 更接近积分真值更接近积分真值,所以可以将所以可以将 看看成是对成是对 误差的一种补偿误差的一种补偿,因此可得到具有更好效因此可得到具有更好效果的式子。果的式子。nT2)(312nnTT)(312nnTTnT2)(312nnTTnT2nT2)(312nnTTnT2nnnnnTTTTTT3134)(31222考察考察 与与n等份辛卜生公式等份辛卜生公式 之间的关系。将复合梯之间的关系。将复合梯形公
42、式形公式 TnS)()(2)(211bfxfafhTnkkn梯形变步长公式梯形变步长公式 102)(2221nkknnxfhTT龙贝格求积公式龙贝格求积公式代入代入nnTTT31342nnknkkkSbfxfxfafhT1010)()(2)(4)(621nnnTTS31342故故 龙贝格求积公式龙贝格求积公式这就是说，用梯形法二分前后两个积分值这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和和 作线性组合，结果却得到复作线性组合，结果却得到复合合辛卜生公式计算得到辛卜生公式计算得到的积分值的积分值 。nTnT2nS再考察辛卜生法。其截断误差与再考察辛卜生法。其截断误差与 成正比，因此，成正比，因此，如
43、果将步长折半，则误差减至如果将步长折半，则误差减至 ，即有，即有 4h1611612nnSISI由此可得由此可得 nnSSI15115162可以验证可以验证,上式右端的值其实等于上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛，就是说，用辛卜生公式二等份前后的两个积分值卜生公式二等份前后的两个积分值Sn和和S2n 作线性组作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有，即有 nnnSSC15115162龙贝格求积公式龙贝格求积公式用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式可进一步导出龙贝格公式 nnnCC
44、R63163642龙贝格求积公式龙贝格求积公式在变步长的过程中运用在变步长的过程中运用龙贝格求积公式龙贝格求积公式nnnTTS31342nnnSSC15115162nnnCCR63163642就能将粗糙的梯形值就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高逐步加工成精度较高的辛卜生值的辛卜生值Sn、柯特斯值、柯特斯值Cn和龙贝格值和龙贝格值Rn。龙贝格求积公式龙贝格求积公式或者说，将收敛缓慢的梯形值序列或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成加工成收敛迅速的龙贝格值序列收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式）。称为龙贝格算法（龙贝格公式）。例例6 用龙贝格算
45、法计算定积分用龙贝格算法计算定积分 要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过102d14xxI510例题例题解解:由题意由题意 214)(,1,0 xxfba3)24(21)1()0(211ffT1.351621321)(21212112fTT例题例题13118.3)56.2764.3(411.321)()(4121434124ffTT13899.3)()()()(81218785838148ffffTT14094.3)()()()()()()()(16121161516131611169167165163161816ffffffffTT1333.33134121TTS
46、14157.33134242TTS14159.33134484TTS14159.331348168TTS例题例题例题例题14212.31511516121SSC14159.31511516484SSC14159.31511516242SSC14158.36316364121CCR14159.36316364242CCR由于由于 ，于是有，于是有 00001.012RR14159.3d14102xxI例题例题（1）龙贝格求积法计算步骤龙贝格求积法计算步骤 用梯形公式计算积分近似值用梯形公式计算积分近似值 按变步长梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值将区间逐次分半将区间逐次分半,令
47、区间长度令区间长度 计算计算)()(21bfafabT),2,1,0(2kabhk102)(2221nkknnxfhTT)2(kn龙贝格求积算法实现龙贝格求积算法实现3 3 龙贝格求积算法实现龙贝格求积算法实现 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 322nnnnTTTS梯形加速公式：梯形加速公式：龙贝格求积算法实现龙贝格求积算法实现龙贝格求积公式：龙贝格求积公式：6322nnnnCCCR辛卜生加速公式：辛卜生加速公式：1522nnnnSSSC龙贝格求积算法实现龙贝格求积算法实现 精度控制；直到相邻两次积分值精度控制；直到相邻两次积分值 nnRR2（其中（其中为允许的误差限）则终止计算并取为允
48、许的误差限）则终止计算并取Rn作为积分作为积分 的近似值，否则将区间再对的近似值，否则将区间再对分，重复分，重复 ，的计算，直到满足精度的计算，直到满足精度要求为止。要求为止。badxxf)(4.5 自适应积分方法自适应积分方法 略略4.6 高斯求积公式高斯求积公式1 1 求积公式代数精度求积公式代数精度 定义定义 （代数精度）（代数精度）设求积公式设求积公式对于一切次数小于等于对于一切次数小于等于m的多项式的多项式或或mxxxxf,1)(2mmxaxaxaaxf2210)(nkkkbaxfAdxxf0)()(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的，的多项式
49、是不准确的，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m m次代数精度。次代数精度。代数精度代数精度由定义可知，若求积公式由定义可知，若求积公式的代数精度为的代数精度为n n，则求积系数，则求积系数 应满足线性方程应满足线性方程组：组：nkkkbaxfAdxxf0)()(kA1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn这是关于这是关于 的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵kAnnnnnnxxxxxxxxx102212010111是梵得蒙矩阵是梵得蒙矩阵,当当互异时非奇异互异时非奇异,故故 有唯一解。有唯一解。),1,0(nkxkkA代数
50、精度代数精度定理定理 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式至少具为插值型求积公式的充要条件是公式至少具 有有n次代数精度。次代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(插值型求积公式插值型求积公式证证:充分性充分性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式为插值型求积公式,求积系数为求积系数为 又又 当当f(x)为不高于为不高于n n次的多项式时次的多项式时,f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少。因而这时求积公式至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAb
