1、6.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey(1)线性齐次方程线性齐次方程2.一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(2)线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易
2、法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次
3、方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解解于是于是,0)ln(ln dxxyxdyx.1 exy将方程标准化为将方程标准化为,1ln1xyxxy Cdxexeyxxdxxxdxlnln1 Cdxexexxlnlnlnln1.ln21ln12 CxxxxxPln1)(xxQ1)(例例2 求下列微分方程满足
4、所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:解解,0)ln(ln dxxyxdyx.1 exy于是于是将方程标准化为将方程标准化为,1ln1xyxxy y.ln21ln12 Cxx故所求特解为故所求特解为由初始条件由初始条件,1 exy得得,21 C.ln1ln21 xxy例例3 3 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解
5、此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 例例4已知函数已知函数.解解 原方程实际上是标准的线性方程原方程实际上是标准的线性方程,其中其中直接代入通解公式直接代入通解公式,得通解得通解求解方程求解方程,)(dxdxdxdydxdy ,)(dxdxP ,)()(dxdxxQ )()()(Cdexexx 是是)(x x的的 Cdxedxdxdxdxd )(dxdxdey.1)()(xCex 例例5解解方程变为方程变为这个方程不是一阶线性微分方程这个方
6、程不是一阶线性微分方程,不便求解不便求解.如果如果方程改写为方程改写为则为一阶线性微分方程则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为于是对应齐次方程为求方程求方程的通解的通解.0)12(23 dyxydxy当将当将看作看作的函数时的函数时,yx2321xyydxdy 将将看作看作的函数的函数,yx1223 xydydxy0223 xydydxy例例5解解求方程求方程的通解的通解.0)12(23 dyxydxy利用常数变易法利用常数变易法,设题设方程设题设方程211yCx 其中其中为任意常数为任意常数,1C分离变量分离变量,即即并积分得并积分得,2 ydyxdx代入原方程代入原方程,积分得积分得的
7、通解为的通解为,1)(2yyux 得得yyu1)(Cyyu|ln)(其中其中为任意常数为任意常数.C)|(ln12Cyyx 故原方程的通解为故原方程的通解为例例6 6 求方程求方程的通解的通解.解解:注意注意 x,y 同号同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2 yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式,得得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可故方程可变形为变形为0d2d3 yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为所求通解为)0(CCeyyxyCyln这是以这是以x为因变量为因变量,y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程伯努利伯
8、努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.6.2.5 伯努利方程伯努利方程时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 Cdxe
9、nxQezydxxPndxxPnn例例7解解得得解得解得求求的通解的通解.yxyxdxdy24 两端除以两端除以,y,412xyxdxdyy 令令,yz 得得,422xzxdxdz ,22 Cxxz故所求通解为故所求通解为.224 Cxxy例例8解解上式即变为一阶线性方程上式即变为一阶线性方程求方程求方程的通解的通解.1)()(23 xyxxyxdxdy令令,uxy 则则,1 dxdudxdy于是得到伯努利方程于是得到伯努利方程.23uxxudxdu 令令,121uuz .3xxzdxdz 其通解为其通解为.2222 xCex Cdxexx23222xez 例例8解解上式即变为一阶线性方程上式
10、即变为一阶线性方程求方程求方程的通解的通解.1)()(23 xyxxyxdxdy令令,121uuz .3xxzdxdz 其通解为其通解为.2222 xCex Cdxexx23222xez 回代原变量回代原变量,即得到题设方程的通解即得到题设方程的通解.211222 xCexzxyx例例1010 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;1.2yxdxdy
11、 解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为小结小结:1.一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy 方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 CxexQeyxxPxxP d)(d)(d)(,1 nyu 令令化为线性方程求解化为线性方程求解.2.伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd )1,0(n1.判别下列
12、方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程思考题思考题解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2
13、cos .cos2cosyCy 思考题思考题2.求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 3.求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0 提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0 则有则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf 思考题思考题4.设有微分方程设有微分方程,)(xfyy 其中其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解:1)先解定解问题先解定解问题
14、10,2 xyy00 xy利用通解公式利用通解公式,得得 xeyd 1dd2Cxex )2(1Ceexx xeC 12利用利用00 xy得得21 C故有故有)10(22 xeyx思考题思考题2)再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为此齐次线性方程的通解为)1(2 xeCyx利用衔接条件得利用衔接条件得)1(22 eC因此有因此有)1()1(2 xeeyx3)原问题的解为原问题的解为 y10),1(2 xex1,)1(2 xeex(雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利伯努利(165
15、4 1705)瑞士数学家瑞士数学家,位数学家位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式,1695年年 版了他的巨著猜度术版了他的巨著猜度术,上的一件大事上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐年他首次给出了直角坐 1713年出年出 这是组合数学与概率论史这是组合数学与概率论史此外此外,他对他对双纽线双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究悬链线和对数螺线都有深入的研究.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通
16、解:1 1、xexyysincos ；2 2、0)ln(ln dyyxydxy；3 3、02)6(2 ydxdyxy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy；2 2、.0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比
17、例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系.四、四、求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程,然后求出通解然后求出通解:1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12.六、六、已知微分方程已知微分方程)(xgyy ,其中其中 0,010,2)(xxxg,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy ,满满足条件足条件0)0(y,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程.练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)(；2 2、Cyyx 2lnln2；3 3、2321yCyx .二、二、1 1、15sincos xexy；2 2、113322 xexxy.三、三、)1(022121tmkekmktkkv .四、四、1 1、Cxxy ；2 2、)32(ln32322 xxCyx.五、五、1 1、Cxyx 2)(2；2 2、Cxxy 1sin1；3 3、Cxxyxy 4)2sin(2.六、六、1,)1(210,)1(2)(xeexexyyxx.
