1、13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.导入新课导入新课复习引入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB最短，因为两点之间，线段最短2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA 讲授新课讲授新课最短路径问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
2、”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.ABPlABCD牧马人饮马问题如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？AlBC根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.连接AB,与直线l相交于一点C.问题2 如果点A,B
3、分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.方法揭晓作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 ABlB C问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC
4、最短ABlB CC 造桥选址问题如图，A和B B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM 1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？BA2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维分析我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BA1.把A平移到岸边.BA()AM+MN+BN长度改
5、变了2.把B平移到岸边.BA（）AM+MN+BN长度改变了怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?BA问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N，连接，连接AM，BN，AN.由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.AM+MN+BN转化为，而转化为.在ANB中，由线段公理知A1N1+BN1A1B.因此 AM+MN+BN.ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+M
6、N+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.方法归纳解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答.当堂练习当堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一
7、个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.ACBD河10003.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？ADD CCEEB解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E,D.作DD,EE即为桥.理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD,同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小.AD CCEEBFGD 课堂小结课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马 问 题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法
