1、中小学精编教育课件中小学精编教育课件42.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题一般分三步：第一步：建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题第二步：通过代数运算，解决代数问题第三步：把代数运算结果转化为几何问题本节学习重点：圆的方程的应用本节学习难点：实际问题向数学模型的转化例1圆拱桥的弓形弧如图，跨度|OA|8，弓形的高为2 m，在如图所示平面直角坐标系中，求此弧所在圆的方程解析设圆心坐标为(4，b)，圆的半径为r那么圆的方程是(x4)2(yb)2r2由于原点O(0,0)和圆弧最高点(4,2)在圆上解得：b3，r225所以圆的方
2、程是(x4)2(y3)225.据气象台预报，在S岛正东300公里的A处形成一个台风中心，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，在距台风中心250公里以内的地区将受其影响问从现在起，经过_小时台风将影响S岛，持续时间_小时答案26.6解析以A为原点，AS所在直线为x轴建立坐标系如图则S(300,0)以S为圆心，250为半径的圆的方程为(x300)2y22502.由题意台风中心从A处以每小时40公里的速度向西北方向移动故台风中心的移动轨迹为射线yx(x0)，据题意可知，距台风中心250公里以内地区将受其影响即台风中心移动到线段MN上时，S岛受其影响所以从现在起约经过2小时，台风将影响S岛，持续时
3、间约6.6小时.例2已知AOB中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，点P是ABO内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆面积之和的最大与最小值分析三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2|PB|2|PO|2的最值由于P是ABO内切圆上的点，若想找到P点坐标必须先从ABO内切圆的方程入手解析建立如图直角坐标系，则A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0)故内切圆的方程是(x1)2(y1)21.化简为x2y22x2y10，又|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25.由可知x2y22y2x1，将其代入
4、有|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.x0,2，故|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为例3已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由由条件知，|AN|NO|，|AC|3，|AN|2|NC|2|AC|2，m1或m4.所求直线l的方程是xy10和xy40.一、选择题1若直线3x4yk0与圆x2y26x50相切，则k的值等于()A1或19B10或10C1或19 D1或19答案A解析方程x2y26x50配方得：2圆x2y24上的点到直线x
5、y3的距离的最大值是()答案C点评与圆有关的最值问题较多，常见的有以下几个方面：(1)动点P到圆的切线长最短一般用勾股定理转化为二次函数求解(2)P为 C内一定点，过点P的直线l与 C相交弦中最长的为直径，该直径的两端点中，一个是圆上点到点P距离的最大值点，一个是最小值点最短弦为以P为中点的弦(即与该直径垂直的弦)如图，弦AB与直径EF垂直，MN是过P的任一弦，中点为Q，显然CPCQ，从而ABMP，可知E点是 C上到P点距离最大的点；又PFCFCPCNCP0，c8，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OPOQ，x1x2y1y20.三、解答题5设AB是圆x2y21的一条直径，以AB为直角边，B为直角顶点逆时针方向作等腰直角三角形ABC，当AB变动时，求C点的轨迹解析设C(x，y)AB为 O：x2y2 1 的 直 径，O 为 原 点 A B B C，OBBC.又ABC是以B为直角顶点的直角三角形感谢各位老师！祝：身体健康 万事如意
