1、3.6 直线和圆的位置关系第三章 圆第2课时 切线的判定及三角形的内切圆砂轮上打磨工件时飞出的火星 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？导入新课导入新课情境引入讲授新课讲授新课圆的切线的判定一问题1 如图，OA是 O的半径，经过OA 的外端点A，作一条直线lOA，圆心O 到直线l 的距离是多少？直线l 和 O有怎样的位置关系？合作探究ll 圆心圆心O到直线到直线l的的距离等于半径距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线由圆的切线定义可知直线l 与圆与圆O 相切相切.ll过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.OA O的半径 OA于A O的切线ABC 切线的判
2、定定理应用格式O要点归纳下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.lAO.lABAOl(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳用三角尺过圆上一点画圆的切线用三角尺过圆上一点画圆
3、的切线.做一做（2）过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知 O 上一点P，过点P 画 O 的切线画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP 重合；为什么画出来的直线l是 O的切线呢？例1 已知：直线AB经过 O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是 O的切线.证明：连接OC.OAOB,CACB,OC是等腰OAB底边AB上的中线.ABOC.OC是 O的半径,AB是 O的切线.典例精析 例2 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是 O 的切线BOCEA
4、分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是 O的半径就可以了，而OE是 O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：证明：连接OE，OA,过O 作OF AC.O 与AB 相切于E ，OE AB.又ABC 中，AB AC，O 是BC 的中点AO 平分BAC，FBOCEAOE OF.OE 是 O 半径，OF OE，OF AC.AC 是 O 的切线又又OE AB，OFAC.(1)已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;(2)不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半
5、径.简记“无交点，作垂直,证半径”.方法归纳证切线时辅助线的添加方法例1例2三角形的内切圆及内心二例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆O.ABC分析：如果圆O与ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于_，从而这些距离相等.半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是A 的_与B的_的_点.平分线平分线交作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.ABCOMND观察与思考与ABC的三条边都相切的圆有几个？因为B和C的平分线的
6、交点只有一个,并且交点O到ABC三边的距离相等且唯一，所以与ABC三边都相切的圆有且只有一个.ABCOD1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.ACODEF3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.O是ABC的内切圆，点O是ABC的内心.概念学习名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部AB
7、OABCO填一填例4 ABC中，O是ABC的内切圆，A=70，求 BOC的度数。ABCO解：A=70ABC+ACB=180-A=110 O是ABC的内切圆BO,CO分别是ABC和ACB的平分线即 OBC=ABC OCB=ACB 1212典例精析 BOC=180-(OBC+OCB)=180-(ABC+ACB)=180-110 =125.1212ABCO1.判断下列命题是否正确.经过半径外端的直线是圆的切线.垂直于半径的直线是圆的切线.过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(6)三角形的内心到三角形各边的距
8、离相等.(7)三角形的内心一定在三角形的内部.（）（）（）（）（）当堂练习当堂练习（）（）2.如图，O内切于ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上已知B50，C60，连接OE，OF，DE，DF，那么EDF等于()A40B55C65D70解析：ABC180，B50，C60，A70.O内切于ABC，切点分别为D、E、F，OEAOFA90，EOF360AOEAOFA110，EDF EOF55.21BBDEFOCA3.如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则ODAB，OEBC，OF
9、AC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF212121 lr21设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r ;当ABC为直角三角形，a,b为直角边时,r=.2sabcababc知识拓展证明：连接OP.AB=AC,B=C.OB=OP，B=OPB，OPB=C.OPAC.PEAC，PEOP.PE为 O的切线.4.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的 O交边BC于P，PEAC于E.求证:PE是 O的切线.5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M.求证：CD与 O相切证明：连接OM，过点O作ONCD
10、于点N，O与BC相切于点M，OMBC.又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，OMON，CD与 O相切MN6.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：_ ；_.（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.BAEFCAE=BAFEOAFEOBCBC图1图2证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径.D+DAC=90,D与B同对 ,D=B,又 CAE=B,D=CAE,DAC+EAC=90,EF是O的切线.ACAFEOBC图2D7.如图，已知E是ABC的内心，A的平分线交B
11、C于点F，且与ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：E是ABC的内心，ABECBE，BADCAD.又CBDCAD，BADCBD.CBECBDABEBAD.即DBEDEB，故BDED；(1)求证：BDED；(2)若AD8cm，DF FA1 3.求DE的长(2)解：AD8cm，DF FA1 3，DF AD 82(cm)CBDBAD，DD，BDFADB，,BD2ADDF8216，BD4cm，又BDDE，DE4cm.1414BDDFADBD切 线 的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.课堂小结课堂小结三角形内切圆有关概念内心概念及性质
