1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册【思考思考】下下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门算术平方根之门 平方之门平方之门 0 -4 -1 aa2()a a01 1214导入新知导入新知我们都是非我们都是非负数负数哟！哟！【思考思考】若若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？门出来呢？算术平方根之门算术平方根之门 平方之门平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 11614a2a2a a为任意数为任意数【想想一一想想】你发现了什么？你发现了什么？导入新知导入新知我们都是非负数
2、，我们都是非负数，可出来之前我们有可出来之前我们有正数，零和负数正数，零和负数.2.会运用二次根式的会运用二次根式的两个性质两个性质进行化简计算进行化简计算.素养目标素养目标1.经历探索性经历探索性质质 =a（a0）和和 =a（a0）的过程，并理解其意义的过程，并理解其意义，体验归纳、，体验归纳、猜想的思想方法猜想的思想方法.2a（）2a3.了解了解代数式代数式的概念，进一步体会代数式在表的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用示数量关系方面的作用.（2）什）什么是一个数的算术平方根？如何表示？么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什什么叫做一个数的平方根？如何表示？么叫做一个数的平
3、方根？如何表示？一一般地，若一个数的平方等于般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫，则这个数就叫做做a的平方的平方根根.若若一个正数的平方等于一个正数的平方等于a，则这个数就叫做，则这个数就叫做a的算术的算术平方平方根根.a的平方根是的平方根是a用用 (a0)表表示示.aa知识点 1（a0)性质性质2a探究新知探究新知（1）填空：）填空：（2）通过（）通过（1）的计算，的计算，你能确定你能确定()（a0）的）的化简结果吗？说说你的理由化简结果吗？说说你的理由.a22222(4)(),()()1()(),(0)()34013探究新知探究新知24 是是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，的算术
4、平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于是一个平方等于4的非负数，因此有的非负数，因此有()=4.4 同理，同理，分别是分别是 的算术平方的算术平方根根.因此因此 ,1203,1203,()=22()=1313()=00探究新知探究新知4 的性质：的性质：2()(0)aa 一般地，一般地，a (a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意注意：不要忽：不要忽略略 a0 这这一限制条件一限制条件.这是使二次根式这是使二次根式 有意义的前提条件有意义的前提条件.a探究新知探究新知归归纳：纳：例例1 计算：计算：解解：积的乘方：积的乘方
5、：（ab）2=a2b2探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用利用 的性质进行计算的性质进行计算 2()(0)aa（1）；（2）.25.1）（252）（1）;2.5511（）（2）22222 55）（）(2)可以用到幂可以用到幂的哪条基本性的哪条基本性质呢？质呢？4 520.解解:巩固练习巩固练习 计算计算：27）（263）（1）;（2）.277（）（1）;22233 66）（）（2）54.9 6 解：解：探究新知探究新知素养考点素养考点 2利用利用 的性质分解因式的性质分解因式 2()(0)aa 2()0aa a总结总结：本题逆用了本题逆用了 在实数范围内在实数范围内分解因式分解因式.例例2
6、 在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：（1）4x2-5;(2)m4-6m2+9.2(2)5(25)45xxx（1）;42222269(3)(3)(3)mmmmm（2）.巩固练习巩固练习在在实数范围内分解因式：实数范围内分解因式：（1）x2-11;(2)x4-14x2+49.解：解：（1）x2-11 =(x+)(x-);11117(2)x4-14x2+49 =(x2-7)2 =(x-)2(x+)2.720.102322 20 1.223（）20 化简下列根式，想一想化简下列根式，想一想知识点 2 的性质的性质2(0)aa 探究新知探究新知化简后，你能确定化简后，你能确定 的化简结果吗？的
7、化简结果吗？2(0)aa .平方平方运算运算算术平算术平方根方根 2 0.1 0 .449a(a0)2a2a 2 .23观察两者有什么关系？观察两者有什么关系？0.010.10230填一填：填一填：a(a0).2a探究新知探究新知 .平方平方运算运算算术平算术平方根方根 -2 -0.1 .4492a2a 2 .23观察两者有什么关系？观察两者有什么关系？0.010.123a(a0)【猜猜一一猜猜】当当a0时，时，=2a？-a 探究新知探究新知a(a0)2aa-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值绝对值.探究新知探究新知归归纳：纳：
8、的的性质：性质：2a解：解：2aa探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用利用 的性质进行计算的性质进行计算 2(0)aa 警警示示：而而3.14，要注意，要注意a的正负性的正负性.例例1 化简：化简：（1）;（2）;（3）;（4）.1625-）（2-102-14.3）（(1););21644(2););225-55（）(3););-1-22-1101010（）(4).).23.14-3.14-3.14（）【讨讨论论】（1）在）在 中，中，可否去掉可否去掉“a0”？如果去掉如果去掉“a0”,结论将会发生怎样的变化？结论将会发生怎样的变化？（2）第二小题中的）第二小题中的 能能否直接使用性质否直
9、接使用性质 进行化简？进行化简？探究新知探究新知)0(2aaa25-）（()20aa a探究新知探究新知 方法点拨 计算计算 一般有两个一般有两个步骤步骤:2a去根号及被开方数的指数去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形写成绝对值的形式式,即即 ;2aa去掉绝对值符号去掉绝对值符号,即即 .(0)(0)aaaaa请请同学们快速分辨下列各题的对错同学们快速分辨下列各题的对错（）2222(1)22(2)22(3)22(4)22 巩固练习巩固练习（）（）（）37481巩固练习巩固练习 化化简：简：（1）=;（2）=;（3）=;（4）=;2728192(4)（5）=_;（6）=_.26.023-10）
10、（0.610-3【议议一一议议】如如何区别何区别 与与？2a2()a2()a2a从运算从运算顺序看顺序看从取值从取值范围看范围看从运算从运算结果看结果看先开方先开方,后平方后平方 先平方，后开方先平方，后开方a0a取任何实数取任何实数a|a|意义意义表示一个非负表示一个非负数数a的算的算术平术平方根的平方方根的平方表示一个实数表示一个实数a的平方的算的平方的算术平方根术平方根探究新知探究新知222.abab解：解：由数轴可知由数轴可知a0，b0，a-b0，原式原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.例例2 实数实数a、b在数轴上的对应点如图所示，在数轴上的对应点如图所示
11、，请你化简请你化简:ab探究新知探究新知素养考点素养考点 2几何图形与几何图形与 的性质相结合的题目的性质相结合的题目2a-1 012a 实数实数a在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简的结果是的结果是 .22(1)aa1巩固练习巩固练习实数实数a,b在数轴上对应点的位置如图在数轴上对应点的位置如图所示所示,化简化简 的的结果是结果是()A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b2)(baaAab0（1）含）含有数或表有数或表示数的字母；示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母）用基本运算符号连接数或表示数的字母33sabxat，（a0）回回顾我们学过的式子，
12、如顾我们学过的式子，如 ，这些式子有哪些共同这些式子有哪些共同 特征？特征？知识点 3代数式的定义代数式的定义探究新知探究新知52aab，+用用基本运算符号基本运算符号（基本运算包（基本运算包括加、减、乘、除、乘方括加、减、乘、除、乘方和开方）把和开方）把 或或 连接起来的式子，我们连接起来的式子，我们称这样的式子为称这样的式子为代数式代数式.数数表示数的字母 【想想一一想想】到到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式代数式整式整式分式分式二次根式二次根式探究新知探究新知归归纳：纳：探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用代数式的定义判断
13、代数式利用代数式的定义判断代数式例例1 下下列式子列式子:(1)x;(2)a-b;(3);(4);(5)m=1+n;(6)2x1;(7)-2.其中是代数式的有其中是代数式的有()A.4个个 B.5个个 C.6个个D.7个个nm21xB下列下列式子是代数式的有式子是代数式的有 ()a2+b2;13;x=2;3（4 5）;x10;10 x+5y=15;ab.acbA.3个个 B.4个个 C.5个个 D.6个个C巩固练习巩固练习 解：解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度，逆水行驶的速度是是 km/h(2.5)v(2.5)v例例2（1）一条河的水
14、流速度是一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度，船在静水中的速度是是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶行驶时的速度；时的速度；（2）如图，小语要制作一个如图，小语要制作一个长与宽之比为长与宽之比为5:3的长方形贺卡，的长方形贺卡，若若面积为面积为S，用代数式表示出它的长，用代数式表示出它的长.（2）设贺卡的长为设贺卡的长为5x,则宽为则宽为3x.依题意得依题意得15x2=S，所以所以 所所以它的长为以它的长为,15Sx 5.15S探究新知探究新知素养考点素养考点 2列代数式列代数式探究新知探究新知列代数式的要点：列代
15、数式的要点：要抓住要抓住关键词语关键词语，明确它们的意义以及它们之间，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；分、倒数、相反数等；理清语句层次明确理清语句层次明确运算顺序运算顺序；牢记一些牢记一些概念和公式概念和公式 方法点拨如图，是一个圆如图，是一个圆形挂钟，正面面积为形挂钟，正面面积为S，用代，用代数式表示出钟的半径为数式表示出钟的半径为_.S巩固练习巩固练习42.下列等式正确的是下列等式正确的是（）（）A B C D 332）（3-3-2）（3333-3-2）（A1.计算计算 的结果是的结果
16、是_132）（连接中考连接中考C2.当当1x3时，时，的值为（的值为（）A.3 B.-3 C.1 D.-1(xx23)3D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题B3.在下列各式中，不是代数式的是（）在下列各式中，不是代数式的是（）A.7 B.32 C.Dx2xy 22231.化简化简 的结果是的结果是（）（）A2 B2 C2 D4-22（）4.计算：计算：解解:课堂检测课堂检测（1）;（2）;（3）;（4）.276.0）（215）（22-）（22.1-）（1）;20.760.76（）（2）;21155（）（3）;222-22（）（4）.221.2-1.21.2（）5.在实数范围内
17、分解因式：在实数范围内分解因式：解：解：课堂检测课堂检测（1）x2-3;(2)y4-4y2+4.（1）x2-3=;3)(3)xx（(2)y4-4y2+4=(y2-2)22222y=.222)(2)yy（实数实数a、b在数轴上的对应点如图所示在数轴上的对应点如图所示，化简：化简：.2244aabbab解：解：根据数轴可知根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b2244aabbab能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测ab0 已知已知a、b、c是是ABC的三边长，化简：的三边长，化简：222.abcbcacba解：解：a、b
18、、c是是ABC的三边长，的三边长，a+b+c0，b+ca，b+ac，原式原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c分析：分析：利用三角形利用三角形三边关系三边关系三边长均为正数三边长均为正数，a+b+c0两边之和大于第三边，两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题二次根式二次根式性 质性 质 2()(0)aaa (a 0)2=aa拓展性质拓展性质课堂小结课堂小结 （a为为全体实数）全体实数）2=aa在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
