1、华东师大版九年级下册数学27 27.1.2圆的对称性圆的对称性灿若寒星想一想？想一想？l圆是什么样的图形？圆是什么样的图形？灿若寒星圆的性质圆的性质l圆是圆是轴对称图形轴对称图形，每一条，每一条直径所在的直线直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。l圆是以圆是以圆心圆心为对称中心的为对称中心的中心对称图形中心对称图形。l圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任意一个角度意一个角度，都能与原来的图形重合。，都能与原来的图形重合。你能不能十分简捷地将你能不能十分简捷地将一个圆一个圆2等分？等分？4等分？等分？8等分？你还可以将圆多等分？你还可以将圆多少等分？少等分？灿
2、若寒星 圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB，A AO OB B 过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线,垂足垂足为为M,OABM 1.有关概念：有关概念：顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角，如如 ,A AO OB B所对的弦为所对的弦为AB；则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距,图图1中，中，OM为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。灿若寒星判断：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。灿若寒星任意给圆心角，对应出现任意给圆心角，对应出现四个量：四个量：圆心角圆心角弧弧弦弦 弦心距弦心距灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒
3、星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OBA180 所以圆是中心对称图形。圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转180后仍与原来的圆重合。灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OBA圆绕圆心旋转圆
4、绕圆心旋转灿若寒星.OBA圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星.OAB圆绕圆心旋转圆绕圆心旋转灿若寒星NO把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一旋转任意一个角度个角度，灿若寒星结论结论:OABBA在在 O中若若BOABOA则弦则弦AB与弦与弦AB，AB 与与 AB有什么关系？有什么关系？灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下：在下面我们一起来观察一下：在 O中有哪些圆心角？（请举出两中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：如果：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？下面我
5、们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对
6、的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=C
7、OD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：AOB=COD灿若寒星ABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如图：如图：AOB=COD在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦也相等对的弧相等，所对的弦也相等.灿若寒星讨论：讨论：1.1.在同圆（或等圆）在同圆（或等圆）中，如果弧中，如果弧相等，那么所对的圆心角、所对相等，那么所对的圆心角、所对的弦是否相等呢？的弦是否相等呢？2.2.在同圆（或等圆）中，如果弦在同圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对相等，那么所
8、对的圆心角、所对的弧是否相等呢？的弧是否相等呢？灿若寒星（或等圆）（或等圆）相等相等相等相等相等相等3.3.在同一个圆在同一个圆 中，如果弦相等，那中，如果弦相等，那么所对的圆心角么所对的圆心角_、所对的弧、所对的弧_。2.2.在同一个圆在同一个圆 中，如果弧相等，那中，如果弧相等，那么所对的圆心角么所对的圆心角_、所对的弦、所对的弦_，1.1.在同一个圆在同一个圆 中，如果圆心角相等，中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等那么它所对的弧相等、所对的弦相等,结论：结论：相等相等以上三句话如没以上三句话如没有在同圆或等圆有在同圆或等圆中，这个结论还中，这个结论还会成立吗？会成立吗？
9、（或等圆）（或等圆）（或等圆）（或等圆）灿若寒星圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等，圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等，圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中，如果如果两个圆心角两个圆心角、两条弧两条弧、两条弦两条弦或或两条弦的弦心距两条弦的弦心距中中有有一组量相等一组量相等，那么它们所对应，那么它们所对应的的其余各组量其余各组量都分别都分别相等相等。在同圆或等圆中在同圆或等圆中(前提前提)圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）灿若寒星ABCDo例：已知例：已知:如图如图AOB=45。求求CODAB =CD。灿若寒星 如图，如图，AB、CD是是
10、O的两条弦的两条弦 OEAB于于E，OFCD于于F（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_，_。（2）如果）如果 AB=CD，那么，那么_，_，_。（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_，_。（4）如果）如果OE=OF，那么，那么_，_，_。CABDEFO练习练习灿若寒星证明：证明：AB=AC又又ACB=60，AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCOABAC，例例1 如图如图,在在 O中，中，AB=CA，ACB=60，求证求证AOB=BOC=AOC.灿若寒星如图，如图，AB是是 O 的直径，的直径，BC=CD=DE,COD=35，求，求AOE 的度数的度数AOBCDE BC
11、CDDE BOC=COD=DOE=35 1803 35AOE 75解：解：六、练习六、练习灿若寒星七、思考七、思考O如图，已知如图，已知AB、CD为为的两条弦，的两条弦，求证，求证:ABCD.D C A B OAD=BC灿若寒星已知：如图，点已知：如图，点P在在 O上,点点O在在EPF的平分的平分线上线上，EPF的两边交的两边交 O于点于点A和和B。求证：求证：PA=PB.EFABPO灿若寒星已知：如图，点已知：如图，点O在在EPF的平分线上的平分线上，O和和 EPF的两边分别交于点的两边分别交于点A，B和和C，D。求证：求证：ABCDEFOPACBD灿若寒星已知：如图，已知：如图，O的弦的弦
12、AB，CD相交于相交于点点P，DPO=BPO。求证：求证：ABCDOCDABP灿若寒星已知：如图，已知：如图，O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，过P、O的直径为MN，APO=CPO。求证：求证：PBPDOCDABPNM灿若寒星已知：如图，已知：如图，AD=BC.求证：求证：ABCDOCBDAE灿若寒星l 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦，的两条弦，l OE、OF为为AB、CD的弦心距，的弦心距，如果如果ABCD，那么，那么 ，；如果如果OEOF，那么，那么 ，；如果弧如果弧AB弧弧CD，那么，那么 ，；如果如果AOBCOD，那，那么么 ，。l 下列说法正确吗？为什么？下列说法正确吗
13、？为什么？在在 O和和 O中，中，AOBAOBABAB在在 O和和 O中，中，ABAB，弧弧AB弧弧AB注意前提：在同圆或等圆中OABECDF灿若寒星判断题：在两个圆中，分别有弧判断题：在两个圆中，分别有弧AB和弧和弧CD，若弧若弧AB和弧和弧CD的度数相等，则有的度数相等，则有：（1）弧弧AB和弧和弧CD相等；相等；（）（2）弧弧AB所对的圆心角和弧所对的圆心角和弧CD所对的圆心角相等。所对的圆心角相等。（）灿若寒星1、已知：在、已知：在O中，弦中，弦AB所对的劣弧为圆所对的劣弧为圆的的1/3，圆的半径为，圆的半径为2cm。求。求AB的长。的长。2、已知、已知AB和和CD为为O的两条直径，弦的两条直径，弦EC/AB,弧弧EC的度数为的度数为40，求，求BOD的度数。的度数。OBADCE灿若寒星OCBDAP3、已知：如图，已知：如图，PBPD.求证：求证：AB=CD。灿若寒星OBACDFE4、已知：如图，、已知：如图，O的两条半径的两条半径OAOB，C、D是弧是弧AB的三等分点的三等分点。求证：求证：CDAEBF。灿若寒星弧、弦、弦心距之间的不等量关系l在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？lAB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？灿若寒星
