1、,第八章 机械波,定义,波动：振动的传播,机械波：机械振动在弹性介质中的传播。,波的表示与描述,波的特性：干涉（驻波）衍射,多普勒效应与声波。,一、机械波（mechanical waves),机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波。,1. 条件,（自然界中的机械波）,波源：激发波动的振动系统。,弹性介质：媒质视为彼此之间以弹性力相互作用的质元组合。,2. 形成,（机械波形成过程）,振动是质点的个体行为，波动是媒质中所有质点振动的群体行为。,波动是质点振动状态的传递，不是质点的传播。,一次完全振动是一个完整波形。,二、 横波与纵波 （transverse wave and longitudin
2、al wave),横波：振动方向与波的传播方向相互垂直。,纵波：振动方向与波的传播方向平行。,（横波演示）,（纵波演示）,1o 纵波可以在固体、气体、液体三种媒质中传播。机械横波一般只在固体中传播。,2o 一般波动很复杂，但可以分解为横波与纵波进行研究，如水波。,三、 波的几何描述,1.定义,波线（wave line）,表示波的传播方向的射线（波射线）,波面（wave surface）,相位相同的点组成的面（同相面）,波阵面（wave front）,某时刻波到达的各点所构成的面（波前）,2. 平面波与球面波,平面波(plane wave)：波面是平面。,球面波(spherical wave)：
3、波面是球面。,点波源在各向同性媒质中产生的是球面波，,四、波长 波的周期与频率 波速(wavelength period and frequency of wave velocity of wave),周期：,频率：,T与反映了波在时间上的周期性。,在距波源较远处局部范围内视为平面波。,质元做一次完全振动的时间，用T表示，单位是秒（s）。,周期的倒数，单位是赫兹(Hz)。, 反映了波在空间上的周期性,波速：,1o 几者关系是,2o周期（频率）由波源决定，,波长：,振动在一个周期内传播的距离为波 长（ ），单位是米（m）。,振动状态在单位时间内传播的距离， 用u表示，单位是(ms-1)。,波速由
4、媒质的性质决定。,平面简谐波(plane simple harmonic wave),波面是平面，介质中各质点简谐运动的波称为平面简谐波。,任意时刻任意位置处的质点的振动位移为波函数。,一、平面简谐波的波函数,y0=A cos w t,已知O点振动方程,由图得：B点比O点振动在时间上落后 x/u,上式称为平面简谐波的波函数。,10 为波的相位。,波相位反映该点媒质的“运动状态”,所以B点振动为：,波的传播也是媒质振动相位传播。,2o 由： =2/T =uT，有,3o 沿波传播方向每增加 的距离，相位落后 2。若传播 x 距离相位落后,思考如何由已知点振动求波动表示？,4o 波沿负x方向传播(
5、u 0 ) ，则波函数是,B点的振动比o点的振动在时间上超前x/u。,二、波函数的物理意义,（1）当 x = x0 时,是 x0 处质点振动方程。,（2）当 t = t0 时,是 t0 时刻波线上所有质点离开各自平衡位置的位移。,（3）当 x 和 t 都发生变化时,上式表示波线上不同质点在不同时刻位移。,比较(t,x)点和(t+t ,x+x=u t)点振动位移,t时间，波形移动x=u t , 称为行波。,三、平面波波动微分方程,注意到有如下关系：,称为平面波波动微分方程，是物理学基本方程之一，代表一种物质运动形态。,一、波的能量,考虑平面波情况，波函数是,各质元的振动动能和相对形变产生的形变势
6、能。,组成:,对任意质元 ，动能和势能是,能量密度（energy density of wave)：,平均能量密度:,1o 动能、势能同位相,总能量在0dV2A2 之间周期性变化.,2o 简谐振动系统不与外界交换能量，能量 守恒；波动质元不断吸收和放出能量。,3o对于所有弹性波，平均能量密度和振幅 平方、频率平方、介质密度成正比。,或,注意：能流密度大小 I 又称为波强度。,单位时间内通过垂直于波传播方向的单位面积上的平均能量；方向为能量传播的方向。,二、能流密度(energy flow density of wave),能流密度大小是,三、平面波与球面波的振幅,1. 平面简谐波,通过两个相同
7、面的平均能量分别为：,若,在无能量损耗的媒介中，平面波振幅保持不变。,2. 球面简谐波,通过两个同心球面的平均能量为：,若,设半径为单位长度的球面上振幅为 a ， 半径为 r 的球面上振幅为 A ，则：,若球心处振动方程是,一、惠更斯原理（Huygens principle）,媒质中任一波阵面上的各点，均可看做是发射子波的波源，其后任意时刻，这些包迹决定新的波阵面。,原理应用,已知 t 时刻波面 t+t 时刻波面，,从而可进一步给出波的传播方向。,t+t时刻波面,t 时刻波面,平面波,球面波,二. 波的衍射（wave diffraction）,波传播过程中，当遇到障碍物时，,能绕过障碍物边缘而
8、偏离直线传播的现象。,衍射是波动的基本特征之一，其强弱决定于障碍物尺寸与波长关系。,例如：,障碍物尺寸大,障碍物尺寸小,水波通过窄缝时的衍射,一、波的叠加原理 （superposition principle of waves）,几列波可以保持各自的特点(方向、振幅、波长、)同时通过同一媒质; 在它们相遇处，质元位移为各波单独在该处产生位移的矢量和。,亦称波传播的独立性,叠加原理由波动方程的线性所决定，,媒质形变与弹力的,叠加原理也就不再,当波强度过大时，,关系不再呈线性，,成立了。,条件,二、 波的干涉现象和规律,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和,减弱的分布叫波的干涉(interferen
9、ce)。,条件,1. 干涉现象和条件,频率相同；,产生这种现象的波为相干波，相应的波源称为相干波源。,振动方向相同；,相位差恒定（或相位相同）。,2. 干涉强度,两个相干波源s1、s2的振动方程分别为：,在P引起的振动分别为:,合振动,其中：,相遇点引起的位相差:,1o 极值条件,极大（加强）：,2o 引入波程差概念,d = r2 -r1= kl,（加强）,d = r2-r1= (2k+1)l / 2,（减弱）,极小（减弱）：,在两个波源同相时 ：,则,3o 干涉现象是波动特有的性质之一。,沿相反方向传播同频率、同振幅的两列相干波相遇迭加会形成驻波。,一、驻波形成,绳驻波,薄膜驻波,振幅为零的
10、点称为波节(wave loop)；振幅最大的点称为波腹(wave node) 。,二、驻波方程,设两列行波分别沿 x 轴正向和反向传播，,在 x = 0 处两波初相均为 0：,不具备传 播的特征,方程给出x处质点做振幅为,圆频率为 的简谐振动。即不同,位置的质点在做不同振幅的简谐振动。,三、驻波特点,1. 振幅,方程给出x处质 点做振幅为,波腹：振幅最大的点,= 2A,k = 0, 1, 2, 3.,波节：始终不动的点,k = 0, 1, 2, 3.,利用波腹（波节）间隔可以确定波长。,2. 相位,相位中没有x 坐标，,故没有了相位的传播。,驻波是分段的振动。,两相邻波节间为一段，,同一段振动
11、相位相同；,相邻段振动相位相反：,3. 能量,合能流密度为:,平均说来没有能量的传播,但各质元间仍有能量的交换。,能量由两端向中间传，,势能动能。,瞬时位移为0，,动能最大。,势能为0，,能量由中间向两端传，,动能势能。,四、两端固定弦上形成的驻波,n1, 2, 3, ,条件：两端固定(波节)，形成驻波条件是,允许存在的波长或频率是,称为固有波长或固有频率。,五、半波损失（halfwave loss),定义：r u 较大的媒质为波密媒质 r u 的值较小媒质为波疏媒质,一部分反射形成反射波；,一部分透射形成透射波。,(1)若1u1 2u2， 则 1 = 1,反射波：,反射波和入射波同相,即波密
12、波疏，,(2) 若1u1 2u2 ， 则 1 = 1 ,反射波有位相突变,即波疏波密，,称为半波损失,透射波：,均有 2 = 1,即透射波总是与入射波同相,无论何种情况，,的频率不同于波源频率的现象。,由于波源和观察者的运动，而使观测,设 运动在波源 S 和观测者B连线方向上，,以二者相向运动的方向为速度的正方向。,1. 波源和接收器都静止,2. 波源静止、接收者运动,此时，,当uB 0（B接近S）时：,于是,当uB 0（B远离S）时：,此时，,3. 波源运动、接收者静止,S接近B (uS0)时,反之，,水波的多普勒效应（波源向左运动）,3. 波源运动、接收者运动,此时，,10 S 动B不 动
13、,B 动S不 动,波对B速度不是u,20 uB、uS 是对媒质而言，且以相向为正。,警察用多普勒测速仪测速,超声多普勒效应测血流速,多普勒效应的应用,这部分自学，清楚如下几个概念：,声波频率 20 20000Hz,超声波频率 20000Hz,次声波频率 20Hz,声波的频率范围,声强,声波的平均能流密度叫声强。,单位：W/m2,声强级,由于引起人的听觉声强范围是10-1210-2 W/m2，相差较大, 引入声强级概念：,声强级,单位：分贝，dB,相当于 1000Hz 的声波 引起听觉最弱的声强。,标准声强,已知波函数,求：A、u。,解：由,振源振动方程为,波速,，求：波函数；,处质点振动与,波
14、源的相位差。,解：,波源,波函数,t = 0 时，,y0 = 0,5m 处相位,相位差,P 点落后反映在相位上为 20 ， 即振源完成 10 个全振动后，P 点开始振动。,质点振动与波源的相位差。,波源的相位,如图所示，平面简谐波向右移动速度 u =0.08 m/s，求：.振源的振动方程；.波函数；. P 点的振动方程；. a、b 两点振动方向。,解： 振源,由图可以分析得出：,t = 0 时，o点处的质点向 y 轴负向运动, 波函数,振源的振动方程,P 点的振动方程, a、b 振动方向，作出t 后的波形图，从而判断出方向。,例4. 两列相干平面简谐波沿轴传播。波源S1与,S2相距d=30m。
15、S1为坐标原点。波源S1和S2所发出 的波的强度分别为I1和I2。已知x1=9m和x2=12m处 的两点是相邻的两个因干涉而使振动的振幅最小 的点。设S2的初相超前。求： 1两波的波长； 2两波源的最小相位差； 3x=6m,16.5m,20m处的质点的振动强度； 4x30m的质点的振动强度。,解：,1 S1、S2之间任意点干涉相消条件是,例8.,两列相干平面简谐波沿轴传播。波源S1与S2相距d=30m。S1为坐标原点。波源S1和S2所发出的波的强度分别为I1和I2。已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而使振动的振幅最小的点。设S2的初相超前。求：1两波的波长；2两波源的最小相
16、位差；3x=6m,16.5m,20m处的质点的振动强度；4x30m的质点的振动强度。,相邻两个点满足：,2,由已知给出的干涉条件得,例8.,两列相干平面简谐波沿轴传播。波源S1与S2相距d=30m。S1为坐标原点。波源S1和S2所发出的波的强度分别为I1和I2。已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而使振动的振幅最小的点。设S2的初相超前。求：1两波的波长；2两波源的最小相位差；3x=6m,16.5m,20m处的质点的振动强度；4x30m的质点的振动强度。,3,任意处质点的位相差：,其振动强度：,例8.,两列相干平面简谐波沿轴传播。波源S1与S2相距d=30m。S1为坐标原点。波源S1和S2所发出的波的强度分别为I1和I2。已知x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而使振动的振幅最小的点。设S2的初相超前。求：1两波的波长；2两波源的最小相位差；3x=6m,16.5m,20m处的质点的振动强度；4x30m的质点的振动强度。,4,x0处质点的位相差：,(极小）,x30处质点的位相差：,(极小）,
