1、3 收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先为此先 证明两个预备定理证明两个预备定理.预备定理预备定理1(贝塞尔贝塞尔(Bessel)不等式不等式)若函数若函数 f 在在 ,上可积上可积,则则 2222011()()d.(1)2nnnaabfxx为为,nnabf其中其中 的傅里叶系数的傅里叶系数.(1)式称为贝塞尔不等式称为贝塞尔不等 式式.证证 令令01()(cossin)2mmnnnaSxanxbnx考察积分考察积分2()()dmf xSxx22()d2()()d()d.(2)mmfxxf x SxxSxx0()()d()d2maf x
2、 Sxxf xx由于由于1()cosd()sind),mnnnaf xnx xbf xnx x根据傅里叶系数公式根据傅里叶系数公式(1(10)可得可得22201()()d().(3)2mmnnnf x Sxxaab对于对于2()mSx的积分的积分.应用三角函数的正交性应用三角函数的正交性,有有2()dmSxx201(cossin)d2mnnnaanxbnxx22222201dcosdsind2mnnnaxanx xbnx x22201().(4)2mnnnaab将将(3),(4)代入代入(2)，可得，可得20()()dmf xSxx222201()d().2mnnnafxxab因而因而2222
3、011()()d,2mnnnaabf xx它对任何正整数它对任何正整数m成立成立.而而 21()df xx为有限值为有限值,所以正项级数所以正项级数22201()2nnnaab的部分和数列有界的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式因而它收敛且有不等式(1)成立成立.推论推论1 若若 f 为可积函数为可积函数,则则 -lim()cosd0,(5)lim()sind0,nnf xnx xf xnx x因为因为(1)的左边级数收敛的左边级数收敛,所以当所以当 n 时时,通项通项 220nnab0na 0nb,亦即有亦即有 与与,这就是这就是(5)式式,这个推论称为这个推论称为黎曼黎曼勒贝格定理勒贝格
4、定理.推论推论2 若若 f 为可积函数为可积函数,则则 01lim()sind0,2(6)1lim()sind0,2nnf xnx xf xnx x1sincossinsincos,222xxnxnxnx01()sind2f xnx x证证 由于由于 所以所以 00()cossind()sincosd22xxf xnx xf xnx x120()sind()cosd,(7)F xnx xF xnx x1()cos,0,()20,0,xf xxF xx2()sin,0,()20,0.xf xxF xx其中其中 式右端两项积分的极限在式右端两项积分的极限在 n 时都等于零时都等于零.所以所以 左边
5、的极限为零左边的极限为零.同样可以证明同样可以证明01lim()sind0.2nf xnx x上可积上可积,则它的傅里叶级数的部分和则它的傅里叶级数的部分和()nSx可写成可写成显见显见 与与 和和 f 一样在一样在 上可积上可积.由推论由推论1,(7)1F2F,f,预备定理预备定理2 若若 是以是以2 为周期的函数为周期的函数,且在且在 1sin12()=()d,(8)2sin2nntS xf xttt当当 t=0 时时,被积函数中的不定式由极限被积函数中的不定式由极限 01sin12lim22sin2tntnt来确定来确定.01()(cossin)2nnkkkaSxakxbkx111()(
6、)d()cosdcos2()sindsinnnkSxf uuf uku ukxf uku ukx111()coscossinsind2nkf ukukxkukxu证证 在傅里叶级数部分和在傅里叶级数部分和中中,用傅里叶系数公式代入用傅里叶系数公式代入,可得可得111()cos()d.2nkf uk uxu令令uxt ,得得 111()()cosd.2nxnxksxf xtktt,xx,因此在因此在上的积分等于上的积分等于上的积上的积 分分,再由第十二章再由第十二章3 的的(21)式式,即即 由上面这个积分看到由上面这个积分看到,被积函数是周期为被积函数是周期为 的函数的函数,2 11sin12
7、cos,(9)22sin2nkntktt1sin12()=()d.2sin2nntS xf xttt这就得到这就得到(8)式也称为式也称为 f 的的傅里叶级数部分和的积分表达式傅里叶级数部分和的积分表达式.现在证明定理现在证明定理15.3(收敛定理收敛定理).).重新叙述如下重新叙述如下:,xf 光滑光滑,则在每一点则在每一点的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛 于于 f 在点在点 x 的左、右极限的算术平均值的左、右极限的算术平均值,即即 01(0)(0)(cossin),22nnnaf xf xanxbnx,nnabf其中其中为为的傅里叶系数的傅里叶系数.f,定理定理15.3 若以若以 为周期
8、的函数为周期的函数在在上按段上按段 2证证 只要证明在每一点只要证明在每一点 x 处下述极限成立处下述极限成立:(0)(0)lim()0,2nnf xf xSx1sin(0)(0)12lim()d0.22sin2nntf xf xf xttt即即或证明同时或证明同时有有01sin(0)12lim()d0,(10)22sin2nntf xf xttt01sin(0)12lim()d0.(11)22sin2nntf xf xttt与与先证明先证明(10)式式.对对(9)式积分后得到式积分后得到11sin1112dcosd1,22sin2nknxxkxxx由于上式左边为偶函数由于上式左边为偶函数,因
9、此两边乘以因此两边乘以(0)f x 后后 又得到又得到 01sin(0)12(0)d.22sin2ntf xf xtt01sin12lim(0)()d0.(12)2sin2nntf xf xttt()(0)()2sin2f xtf xtt 从而从而(10)式可改写为式可改写为令令()(0)2,(0,.sin2tf xtf xttt 0lim()(0)1(0).ttfxfx 由由1,(13)式得到式得到 则函数则函数在点在点(0)(0),fx 0t 再令再令右连续右连续.因因为为 在在 上至多只有有限个第一类间断点上至多只有有限个第一类间断点,0,所以所以 在在 上可积上可积.根据预备定理根据预备定理1和推论和推论2,0,01sin12lim(0)(0)d2sin2nntf xf xtt011lim()sind0.2ntnt t 这就证得这就证得(12)式成立式成立,从而从而(10)式成立式成立.用同样方法可证用同样方法可证(11)也成立也成立.
