1、 1.3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性引引 例例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画出它的图象并画出它的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这个函数图象有什么特征吗？这个函数图象有什么特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=f(x),),那么函数那
2、么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.1.1.偶函数的概念偶函数的概念2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)(-x,-y)(x,y)如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=-f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.2.2.奇函数的概念奇函数的概
3、念 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.(1)奇、偶函数定义的反过来也成立奇、偶函数定义的反过来也成立,即若即若f(x)为奇函数为奇函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.若若f(x)为偶函数为偶函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.(2)判断函数是否具有奇偶性判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的首先要看函数的定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提原点对称是函数具有奇偶性的前提a,b-b,-axo(3)(3)函数的奇偶性是函数的整
4、体性质函数的奇偶性是函数的整体性质;而而函函数的单调性是函数的局部性质数的单调性是函数的局部性质.例例1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2(1)(23);yxx 定义域不对称的函数无奇偶性，既不是定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。奇函数也不是偶函数。（2）函数）函数 是定义在是定义在 上的偶函数上的偶函数,则该函数的值域是则该函数的值域是_.2(1)1ymxnx 26,mm 1,)01(3)1(4)(1)1;(5)2.yxxyxy 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数而零函数既是奇函数又是偶函数.3.3
5、.奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果如果一个函数的图象关于一个函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数那么这个函数为偶函数为偶函数奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.简化函数图象的画法简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过来,如果如果一个函数的图象关于原点对称一个函数的图象关于原点对称,那么这个函那么这个函数为奇函数数为奇函数.知识探究知识探究思考思考1:1:是否存在函数是否存在函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数？既是奇函数又是偶函
6、数？若存在，这样的函数有何特征？有多少个？若存在，这样的函数有何特征？有多少个？f(x)=0f(x)=0思考思考2:2:若若f(x)f(x)是在原点有意义的奇函数，那么是在原点有意义的奇函数，那么 f(0)f(0)的值如何？的值如何？f(0)=0f(0)=0思考思考3:3:复合函数奇偶性如何？复合函数奇偶性如何？例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数函数定义域
7、为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，(4)f(x)=x+1根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数奇函数;偶函数偶函数;既奇又既奇又偶函数偶函数;非奇非非奇非偶函数偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.(3)()f xx 解解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求
8、函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.()f x 有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1.练习：
9、判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,即即 f(-x)=-f(x),1()()()1,fxxxxx 1(1)()f xxx(2)f(x)=5(2)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.f(-x)=f(x)=5yox5f(x)为偶函数.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|22(3)()11f xxxf(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,(1)(1)(1)0.fff 例例3.3.已知已知f(x)f(x)是奇函数是奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 22x,2x,求当求当 x x
10、0 0时时,f(x),f(x)的解析式的解析式,并画出此函数并画出此函数f(x)f(x)的图象的图象.xyo解解:f(x):f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=f(-x)=f(x).f(x).当当x0时时,f(x)=x22x,当当x x0 0时时,-x0,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,222,0,()2,0.xx xf xxx x 故故即-f(x)=(x2+2x),f(x)=-x2-2x.1.1.两个定义两个定义:对于对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(-x)=-=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.如果都有如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.2.2.两个性质两个性质:3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.作业作业:课本课本P P3939 A A组组 T6T6，B B组组 T3T3作业作业
