1、第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 与与曲线的凹凸性曲线的凹凸性 第三章第三章 三、小结与思考练习三、小结与思考练习 二、二、函数的凹凸性及拐点函数的凹凸性及拐点 一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法（Monotonicity of Function&Concavity and Convexity of Curve）2022-11-301一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA2022-11-3021.利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性2022-11-303解：解：).,(:D)0(,32
2、)(3 xxxf32xy 单调区间为单调区间为，0,().,0 2022-11-304基本步骤：基本步骤：（1）确定定义区间；确定定义区间；（2）求函数求函数f(x)的导数；的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以以驻点驻点和和导数不存在点导数不存在点为分界点，把定义区间分为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符讨论在这些小区间上，导数的符号，号，进而确定单调区间。进而确定单调区间。2022-11-3052.利用导数来证明不等式利用导数来证明不等式证明：证明：令令()ln(1),f xx
3、x则则().1xfxx2022-11-3063.利用导数来证明方程根的唯一性利用导数来证明方程根的唯一性提示：提示：令令32()f xxaxbxc2022-11-307二、二、函数的凹凸性及拐点函数的凹凸性及拐点（Inflection Point）1、曲线凹凸的定义、曲线凹凸的定义显然，曲线显然，曲线AB与与BC 都是单调增加的，都是单调增加的，xyoABC但它们单调但它们单调增加的变化方式却有所不同。增加的变化方式却有所不同。这说明：这说明：仅靠单调性来仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方
4、向问题。2022-11-308xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段都图形上任意弧段都位于所张弦的下方位于所张弦的下方AB211121()()()()f xf xyxxf xxx211121()()()()()f xf xf xxxf xxx21122121()()()xxxxf xf xf xxxxx 即 于是上式变为1212(1)()(1)()fxxf xf xx2022-11-309直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性 2022-11-30102、曲线凹凸性的判定、曲
5、线凹凸性的判定（证明略）（证明略）2022-11-30113、拐点的定义、拐点的定义2022-11-3012解：解：),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点)1,0(拐点拐点)2711,32(2022-11-30134、利用凹凸性来证明一些不等式、利用凹凸性来证明一些不等式本题思路：本题思路：2022-11-30141.函数单调性的判别法函数单调性的判别法（定理（定理1）内容小结内容小结（1）会会利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性（2
6、）会会利用导数来证明一些不等式利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（函数凹凸性的判别定理（定理定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式会利用凹凸性来证明一些不等式2022-11-3015习题习题3-4 1；3（2）（）（4）；）；5（奇数题）；（奇数题）；6；8课后练习课后练习思考练习思考练习答案：答案：不能断定不能断定.0,00,1sin2)(2xxxxxxf例如，例如，)0(f)1sin21(lim0 xxx 01 2022-11-3016但但0,1cos21sin41)(xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf2022-11-30172022-11-3018考研真题考研真题提示：提示：2022-11-3019提示：提示：2022-11-3020
