1、8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律 P26 8.1.3向量数量积的坐标运算 P51 8.1.1向量数量积的概念 1.1.回顾物理学中力对物体做功回顾物理学中力对物体做功:(1)(1)小车在水平向右、大小为小车在水平向右、大小为10 N10 N的拉力的拉力F作用下向右产生了作用下向右产生了6 m6 m的位移的位移,那么那么拉力拉力F对小车做的功是多少对小车做的功是多少?(2)(2)如果拉力如果拉力F与位移的夹角为与位移的夹角为6060,且拉力的大小仍为且拉力的大小仍为10 N,10 N,小车的向右的位小车的向右的位移仍为移仍为6 m,6 m,那么拉力那么拉力F对小车做的功是多少对小车
2、做的功是多少?(3)(3)如果拉力如果拉力F与位移与位移s的夹角为的夹角为,那么拉力那么拉力F对小车做的功是多少对小车做的功是多少?提示提示:(1)W=10(1)W=106=60(J).6=60(J).(2)W=10(2)W=106 6cos 60cos 60=30(J).=30(J).(3)W=|(3)W=|F|s|cos|cos(J).(J).2.2.向量的夹角向量的夹角:正方形正方形ABCD,ABCD,如图如图.(1)(1)向量向量 的夹角等于的夹角等于_,表示为表示为_.(2)(2)向量向量 的夹角等于的夹角等于_,_,表示为表示为_._.ABAD 与ABCA 与2ABAD2 ，343
3、ABCA4 ，【概念生成概念生成】1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a,b,在平面内任选一点在平面内任选一点O,O,作作 =a,=,=b,则称则称0,0,内内的的_为向量为向量a与向量与向量b的夹角的夹角,记作记作_._.(1)(1)两个向量的夹角的取值范围是两个向量的夹角的取值范围是_,_,且且=_.=_.(2)(2)当当=_=_时时,称向量称向量a与向量与向量b垂直垂直,记作记作_._.OAOB AOBAOB 0,0,2ab2.2.向量数量积的定义向量数量积的定义一般地一般地,当当a与与b都是非零向量时都是非零向量时,称称_为向量为向量a与与b的数量积的数
4、量积(也称也称为内积为内积),),即即ab=_.=_.(1)(1)当当 时时,ab_0;_0;当当=时时,ab_0;_0;当当 时时,ab_0._0.0)2，2(2，|a|b|cos|cos|a|b|cos|cos =(2)(2)两个非零向量两个非零向量a,b的数量积的性质的数量积的性质:3.3.向量的投影与向量数量积的几何意义向量的投影与向量数量积的几何意义(1)(1)设非零向量设非零向量b所在的直线为所在的直线为l,向量向量a在直线在直线l上的投影称为上的投影称为a在向量在向量b上的投影上的投影.(2)(2)一般地一般地,如果如果a,b都是非零向量都是非零向量,则称则称_为向量为向量a在在
5、b上的投影的数上的投影的数量量.(3)(3)两个非零向量两个非零向量a,b的数量积的数量积ab,等于等于a在向量在向量b上的上的_与与b的模的的模的乘积乘积.这就是两个向量数量积的几何意义这就是两个向量数量积的几何意义.|a|cos|cos 投影的数量投影的数量探究点一计算平面向量的数量积探究点一计算平面向量的数量积【典例典例1 1】已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为6,6,求求 的值的值.【思维导引思维导引】先明确向量的夹角先明确向量的夹角,再计算平面向量的数量积再计算平面向量的数量积.【解析解析】因为等边三角形因为等边三角形ABCABC的边长为的边长为6,6,所以所以
6、 =18+36-18=36.=18+36-18=36.AB ACBC BCCA BC AB ACBC BCCA BC AB AC cos 60BC BC cos 0CA BC cos 120 【类题通法类题通法】关于向量数量积的几点注意事项关于向量数量积的几点注意事项两个向量的数量积与实数的积有很大区别两个向量的数量积与实数的积有很大区别:(1)(1)两个非零向量的数量积是一个实数两个非零向量的数量积是一个实数,不是向量不是向量,符号由符号由cos cos 的符号所决定的符号所决定.(2)(2)计算两个平面向量的数量积计算两个平面向量的数量积,首先要明确两个平面向量的长度和夹角首先要明确两个平
7、面向量的长度和夹角,再利再利用向量的数量积公式计算用向量的数量积公式计算ab=|=|a|b|cos|cos.提醒提醒:牢记特殊角的余弦值牢记特殊角的余弦值:如如cos 0=1,cos 0=1,3cos62，21cos0coscos1.232 ，等【定向训练定向训练】1.1.已知向量已知向量|a|=2|=2|b|=4,|=4,且且coscos=-,=-,则则a2 2+ab等于等于()A.8A.8B.10B.10C.16C.16D.22D.22【解析解析】选选B.B.由向量由向量|a|=2|=2|b|=4,|=4,得得|b|=2,|=2,且且coscos=,则则a2 2+ab=16+4=16+42
8、 2 =10.=10.34343()42.2.已知向量已知向量|a|=2,|=2,|b|=3,|=3,且且ab,则则ab=.【解析解析】因为因为|a|=2,|=2,|b|=3,|=3,且且ab,所以当所以当a,b方向相同时方向相同时,=0,=0,ab=|=|a|b|cos|cos=2=23=6.3=6.当当a,b方向相反时方向相反时,=,=,ab=|=|a|b|cos|cos=2=23 3(-1)=-6.(-1)=-6.答案答案:6 6探究点二求平面向量的夹角探究点二求平面向量的夹角【典例典例2 2】(1)(1)已知向量已知向量|a|=2,|=2,|b|=,|=,且且ab=-3,=-3,则则=
9、(=()(2)(2)已知已知ABCABC中中,AB=4,BC=2,=-4,AB=4,BC=2,=-4,则向量则向量 与与 的夹角为的夹角为,向量向量 与与 的夹角为的夹角为.3235A.B.C.D.6346AB BC BC CA AB CA【思维导引思维导引】(1)(1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角.(2)(2)先由向量的数量积公式计算先由向量的数量积公式计算B,B,再由平面几何性质计算再由平面几何性质计算ACB,BAC,ACB,BAC,最后最后求向量的夹角求向量的夹角.【解析解析】(1)(1)选选D.D.因为向量因为向量|a|=2,|=
10、2,|b|=,|=,且且ab=-3,=-3,所以所以coscos=又又 0,0,所以所以=332，a ba b5.6(2)(2)在在ABCABC中中,因为因为AB=4,BC=2,=-4,AB=4,BC=2,=-4,所以所以|cos=-4,|cos=-4,得得4 42cos(2cos(-B)=-4,-B)=-4,所以所以cos B=,cos B=,得得B=60B=60.如图如图,延长延长BCBC到到D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接AD,AD,则则ABDABD为等边三角形为等边三角形,所以所以ACBC,BAC=30ACBC,BAC=30,所以向量所以向量 与与 的夹角为的夹角为9090
11、,与与 的夹角为的夹角为150150.答案答案:9090150150AB BC BC CA AB AB BC 12BC AB CA【类题通法类题通法】求平面向量的夹角的方法技巧求平面向量的夹角的方法技巧(1)(1)已知平面向量的长度和数量积已知平面向量的长度和数量积,利用夹角余弦公式计算利用夹角余弦公式计算coscos=,=,若是特殊角若是特殊角,再求向量的夹角再求向量的夹角.(2)(2)在在ABCABC中中,注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系,常常利用几常常利用几何图形确定是何图形确定是“相等相等”还是还是“互补互补”的关系的关系.提醒提
12、醒:在在ABCABC中中,向量的夹角和三角形内角的关系可能相等向量的夹角和三角形内角的关系可能相等,也可能互补也可能互补,如如=B,=-B.=B,=-B.a ba bBA BC AB BC【定向训练定向训练】(2020(2020全国全国卷卷)已知向量已知向量a,b满足满足|a|=5,|=5,|b|=6,|=6,ab=-6,=-6,则则coscos=()【解析解析】选选D.D.由由a(a+b)=|)=|a|2 2+ab=25-6=19,=25-6=19,13191719A.B.C.D.3535353522271919cos,.5 735又，（）所以|ab|aa bba aba ab|a|ab|探
13、究点三平面向量数量积的几何意义探究点三平面向量数量积的几何意义【典例典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量b的模为的模为1,1,且且b在在a方向上的投影的数量为方向上的投影的数量为 ,则则a与与b的的夹角为夹角为()A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.150(2)(2)已知平面向量已知平面向量|a|=2,|=2,|b|=6|=6且且ab=-4,=-4,则则a在在b上投影的数量为上投影的数量为,b在在a上投影的数量为上投影的数量为.32【思维导引思维导引】(1)(1)向量向量b在在a方向上的投影的数量为方向上的投影的数量为|b|cos|cos,再求向量的再求向量的
14、夹角夹角.(2)(2)先由平面向量数量积的公式计算先由平面向量数量积的公式计算coscos,再计算投影的数量再计算投影的数量.【解析解析】(1)(1)选选A.A.因为向量因为向量b的模为的模为1.1.且且b在在a方向上的投影的数量为方向上的投影的数量为 ,则则|b|cos|cos=,=,得得coscos=,=,因为因为 0,0,所以所以=30=30.3232326(2)(2)因为平面向量因为平面向量|a|=2,|=2,|b|=6|=6且且ab=-4,=-4,所以所以|a|b|cos|cos=-4,=-4,得得coscos=-.=-.所以所以a在在b上投影的数量为上投影的数量为|a|cos|co
15、s=-,=-,b在在a上投影的数量为上投影的数量为|b|cos|cos=-2.=-2.答案答案:-2-2132323【类题通法类题通法】关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项1.1.向量向量a在在b所在直线上的投影是一个向量所在直线上的投影是一个向量,向量向量a在在b所在直线上的投影的数量所在直线上的投影的数量为为|a|cos|cos,这是一个实数这是一个实数.2.2.向量向量b在向量在向量a上的投影的数量是上的投影的数量是|b|cos|cos,与与|a|cos|cos 不能混为一谈不能混为一谈.【定向训练定向训练】1.1.如图如图,圆心为圆心为C
16、 C的圆的半径为的圆的半径为r,r,弦弦ABAB的长度为的长度为2,2,则则 的值为的值为()A.rA.rB.2rB.2rC.1C.1D.2D.2AB AC 【解析解析】选选D.D.如图如图,作作ABAB的中点的中点H,H,连接连接CH,CH,则向量则向量 在在 方向上的投影的数量为方向上的投影的数量为|=|cosCAB,|=|cosCAB,所以所以 =|cosCAB=|=2.=|cosCAB=|=2.AC AB AHAC AB AC AC AB AB AH2.2.已知平面向量已知平面向量a,b满足满足|a|=2,|=2,|b|=3,|=3,且且ab=4,=4,则向量则向量a在在b方向上的投影
17、数方向上的投影数量是量是()A.B.C.2 D.1A.B.C.2 D.1【解析解析】选选A.A.设向量设向量a与与b的夹角是的夹角是,则向量则向量a在在b方向上投影数量为方向上投影数量为|a|cos=|cos=43344.3a bb【课堂小结课堂小结】8.1.2向量数量积的运算律 1.1.根据实数乘法的交换律根据实数乘法的交换律,得到向量数量积的交换律得到向量数量积的交换律:(1)(1)实数实数a,ba,b的乘法交换律的乘法交换律:ab=_.:ab=_.(2)(2)向量向量a,b的数量积的交换律的数量积的交换律:ab=_.=_.2.2.根据实数乘法的结合律根据实数乘法的结合律,得到数乘向量数量
18、积的结合律得到数乘向量数量积的结合律:(1)(1)实数实数a,b,ca,b,c的乘法结合律的乘法结合律:abc=_=_.:abc=_=_.(2)(2)向量向量a,b的数量积的交换律的数量积的交换律:(:(a)b=_.=_.bababa(ab)c(ab)ca(bc)a(bc)(ab)3.3.根据实数乘法的分配律根据实数乘法的分配律,得到向量数量积的分配律得到向量数量积的分配律:(1)(1)实数实数a,b,ca,b,c的乘法分配律的乘法分配律:(a+b)c=_.:(a+b)c=_.(2)(2)向量向量a,b,c的数量积的分配律的数量积的分配律:(:(a+b)c=_.4.4.根据实数的乘法公式根据实
19、数的乘法公式,得到向量数量积的公式得到向量数量积的公式:(1)(1)实数的平方差公式实数的平方差公式:(a+b)(a-b)=_,:(a+b)(a-b)=_,向量数量积公式向量数量积公式:(:(a+b)()(a-b)=)=_.(2)(2)实数的完全平方公式实数的完全平方公式:(a:(ab)b)2 2=_,=_,向量数量积公式向量数量积公式:(:(ab)2 2=_.ac+bcac+bcac+bca a2 2-b-b2 2a2 2-b2 2a a2 22ab+b2ab+b2 2a2 22 2ab+b2 2【概念生成概念生成】两个向量数量积的运算律两个向量数量积的运算律1.1.交换律交换律:ab=_.
20、2.2.结合律结合律:(:(a)b=_.(R)=_.(R)3.3.分配律分配律:(:(a+b)c=_4.4.重要公式重要公式:ba(ab)ac+bc探究点一利用向量数量积的运算律计算探究点一利用向量数量积的运算律计算【典例典例1 1】(1)(1)如图如图,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,APBD,APBD,垂足为垂足为P,P,且且AP=3,AP=3,则则 =.AP AC(2)(2)已知已知e1 1,e2 2是互相垂直的单位向量是互相垂直的单位向量,a=e1 1-e2 2,b=e1 1+e2 2.若若ab,求实数求实数的值的值.若若a与与b的夹角为的夹角为6060,求实数求实数的值
21、的值.【思维导引思维导引】(1)(1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算.(2)(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律利用平面向量的数量积公式以及运算律,解方程求参数的值解方程求参数的值.3【解析解析】(1)(1)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,得得 由由APBD,APBD,垂足为垂足为P,P,且且AP=3,AP=3,得得 答案答案:1818BDBABC ACBCBA.，AP BDAP BABC0AP BCAP BA.（）2AP ACAP BCBAAP BCAP BA2AP BA2AP AB2 AP AB cosAP AB2
22、 AP18.所以（），(2)(2)由由ab,得得ab=0,=0,则则(e1 1-e2 2)(e1 1+e2 2)=0,)=0,得得 +e1 1e2 2-e1 1e2 2-=0,-=0,则则 -=0,-=0,所以所以=.=.因为因为 e1 1-e2 2与与e1 1+e2 2的夹角为的夹角为6060,所以所以cos cos=,=,且且(e1 1-e2 2)(e1 1+e2 2)=)=3213e322e33331231221212233ee ee ee2121222112221212222211222233|332 32|21133211.23 ，|（），（），所以，解得eeeeee eeeeeee
23、e ee【类题通法类题通法】利用向量数量积的运算律计算的注意事项利用向量数量积的运算律计算的注意事项(1)(1)计算计算(a+b)(x)(xa+y+yb),),可以类比多项式乘法运算律可以类比多项式乘法运算律,注意实数的乘法、注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.(2)(2)三个实数的积满足结合律三个实数的积满足结合律(ab)c=a(bc)=(ac)b,(ab)c=a(bc)=(ac)b,而三个向量的而三个向量的“数量积数量积”不一不一定满足结合律定满足结合律,即下列等式不一定成立即下列等式不一定成立:(ab)c=a(bc)=()=(
24、ac)b,这是因为上式的本质为这是因为上式的本质为c=a=k=kb,当三个向量不共线时当三个向量不共线时,显然等式不成立显然等式不成立.提醒提醒:等式等式(ab)a=ba2 2也不一定成立也不一定成立.【定向训练定向训练】1.1.已知矩形已知矩形ABCDABCD的边长为的边长为AB=2,BC=3,EAB=2,BC=3,E为为BCBC边上靠近点边上靠近点B B的三等分点的三等分点,则则 =.【解析解析】根据题意画出几何关系如图所示根据题意画出几何关系如图所示:AE AC 答案答案:7 7221AEABBEABAD ACABAD31AE AC(ABAD)(ABAD)31ABAD4373 由平面向量
25、线性运算可知，所以2.2.设非零向量设非零向量a,b,c满足满足|a|=|=|b|=|=|c|,|,a+b=c,则则=.【解析解析】方法一如图方法一如图,因为非零向量因为非零向量a,b,c满足满足|a|=|=|b|=|=|c|,|,a+b=c,所以三个向量围成等边三角形所以三个向量围成等边三角形ABC,ABC,则则=.=.23方法二因为非零向量方法二因为非零向量a,b,c满足满足|a|=|=|b|=|=|c|,|,a+b=c,所以所以|a|=|=|b|=|=|a+b|,|,得得|a|2 2=|=|b|2 2=|=|a+b|2 2,即即|a|2 2=(=(a+b)2 2=a2 2+b2 2+2+
26、2|a|b|coscos,得得coscos=-,=-,又又 0,0,得得=.=.答案答案:122323探究点二利用平面向量的数量积证明几何问题探究点二利用平面向量的数量积证明几何问题【典例典例2 2】如图如图,已知已知ABCABC中中,ACB,ACB是直角是直角,CA=CB,D,CA=CB,D是是CBCB的中点的中点,E,E是是ABAB上的一上的一点点,且且AE=2EB.AE=2EB.求证求证:ADCE.:ADCE.【思维导引思维导引】借助平面向量垂直的充要条件解题借助平面向量垂直的充要条件解题,即通过计算即通过计算 =0 =0完成证明完成证明.【证明证明】设此等腰直角三角形的直角边长为设此等
27、腰直角三角形的直角边长为a,a,则则 所以所以ADCE.ADCE.AD CE AD CEACCDCAAE （）（）2222AC CACD CAAC AECD AE2 22a 2 22a0aaa3223221aaa0.33 【类题通法类题通法】利用向量法证明几何问题的方法技巧利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)(1)利用向量表示几何关系利用向量表示几何关系,如位置关系、长度关系、角度关系如位置关系、长度关系、角度关系.(2)(2)进行向量计算进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算如向量的线性运算、数量积运算.(3)(3)将向量问题还原成几何问题将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线
28、或者直线平行如向量共线与三点共线或者直线平行,向量的向量的夹角与直线的夹角等夹角与直线的夹角等.【定向训练定向训练】已知四边形已知四边形ABCDABCD中中,且且 (1)(1)求证求证:四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形;(2)(2)求四边形求四边形ABCDABCD的面积的面积.【解题指南解题指南】(1)(1)根据相等向量的概念证明四边形是平行四边形根据相等向量的概念证明四边形是平行四边形,利用向量的数利用向量的数量积运算量积运算,再证明平行四边形的对角线平分对角再证明平行四边形的对角线平分对角,从而证明四边形是菱形从而证明四边形是菱形.(2)(2)求出菱形的对角线的长度求出菱形的对角线
29、的长度,利用菱形的面积公式计算利用菱形的面积公式计算.ABDC AB2 ，113BABCBD.BABCBD 【解析解析】(1)(1)由由 可知可知ABDC,AB=DC=2,ABDC,AB=DC=2,所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.设设ABD=ABD=1 1,CBD=,CBD=2 2,ABDC 2212113113BABCBDBABC)(BD)BABCBDBABCBD1122BA BC3BA BC1cosBA BCBA BC02BA BC60 由，可得(，所以，又，所以，60.113BABCBDBABCBD 又由，化简得化简得1+cos(1+cos(1 1+2 2)
30、=cos)=cos1 1,cos 60,cos 60+1=cos+1=cos 2 2,得得cos cos 1 1=cos=cos 2 2=,=,所以所以1 1=2 2=30=30,所以平行四边形所以平行四边形ABCDABCD为菱形为菱形.22113BABC BABD BABABCBD113BA BCBCBD BCBABCBD 得，33321132BABCBDBABCBDBDBD22BD(BABC)BD232 3BABCBD2 3AC21ABCDS2 2 32 3.2 （）由，得，所以，易得，所以菱形的面积为【补偿训练补偿训练】利用向量法证明利用向量法证明:等腰三角形底边的中线垂直于底边等腰三角
31、形底边的中线垂直于底边.已知已知ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点.求证求证:ADBC.:ADBC.【证明证明】如图如图,因为在因为在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,221BCACABADABAC211AD BCABACACABACAB022ADBCADBC.则，（），所以（）（）（），所以，即【课堂小结课堂小结】8.1.3向量数量积的坐标运算 回顾以下知识回顾以下知识:1.1.点的坐标与平面向量的坐标点的坐标与平面向量的坐标:(1)(1)单位正交基底单位正交基底:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,在在x x轴
32、、轴、y y轴正方向上分别取单位向量轴正方向上分别取单位向量e1 1,e2 2,则则_是一组单位正交基底是一组单位正交基底.(2)(2)平面向量的坐标平面向量的坐标:如果对于平面向量如果对于平面向量a,有有a=x=xe1 1+y+ye2 2,则向量则向量a的坐标为的坐标为_,_,记作记作_.e1 1,e2 2(x,y)(x,y)a=(x,y)=(x,y)(3)(3)单位正交基底向量的坐标单位正交基底向量的坐标:对于单位正交基底向量对于单位正交基底向量e1 1,e2 2,显然显然,其坐标分别为其坐标分别为e1 1=_,=_,e2 2=_,=_,且且e1 1e2 2=_,=_,e1 1e1 1=e
33、2 2e2 2=_.=_.2.2.两点间的距离两点间的距离:(1)(1)若点若点A(-3,0),B(3,0),A(-3,0),B(3,0),则则|=_.|=_.(2)(2)若点若点A(-3,3),B(3,-5),A(-3,3),B(3,-5),则则|=_.|=_.AB AB(1,0)(1,0)(0,1)(0,1)0 01 16 61010【概念生成概念生成】1.1.向量的数量积的坐标公式向量的数量积的坐标公式设平面向量设平面向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),(1)(1)数量积公式数量积公式:ab=_.=_.(2)(2)向量垂直公式向量垂直公
34、式:abab=_._.x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 20 0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.三个重要公式三个重要公式(1)(1)向量的模向量的模:a2 2=|a|=_.|=_.(2)(2)两点间的距离公式两点间的距离公式:设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|AB|=|=_.|AB|=|=_.(3)(3)向量的夹角公式向量的夹角公式:coscos=_.=_.2211xy2211xyAB 222121xxyy（）（）a ba b121222221122x xy yxyxy探究点一利用向量
35、数量积的坐标公式计算探究点一利用向量数量积的坐标公式计算【典例典例1 1】(1)(1)已知向量已知向量a=(2,3),=(2,3),b=(-2,4),=(-2,4),c=(-1,2),=(-1,2),则则a(b+c)=)=.(2)(2)已知向量已知向量a=(1,3),=(1,3),b=(2,5),=(2,5),求求ab,|3,|3a-b|,(|,(a+b)(2)(2a-b).).【思维导引思维导引】(1)(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算.(2)(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算.【解析
36、解析】(1)(1)因为因为b=(-2,4),=(-2,4),c=(-1,2),=(-1,2),所以所以b+c=(-2,4)+(-1,2)=(-3,6).=(-2,4)+(-1,2)=(-3,6).又因为又因为a=(2,3),=(2,3),所以所以a(b+c)=2)=2(-3)+3(-3)+36=-6+18=12.6=-6+18=12.答案答案:1212(2)(2)ab=1=12+32+35=17.5=17.因为因为3 3a=3(1,3)=(3,9),=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),=(2,5),所以所以3 3a-b=(1,4),=(1,4),所以所以|3|3a-b|=|=22141
37、7.因为因为a+b=(3,8),2=(3,8),2a=(2,6),=(2,6),所以所以2 2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),=(2,6)-(2,5)=(0,1),所以所以(a+b)(2(2a-b)=3)=30+80+81=8.1=8.【类题通法类题通法】1.1.数量积坐标运算的技巧数量积坐标运算的技巧(1)(1)进行数量积运算时进行数量积运算时,要正确使用公式要正确使用公式ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2,并能灵活运用以下几个并能灵活运用以下几个关系关系:|a|2 2=aa.(.(a+b)()(a-b)=|)=|a|2 2-|-|b|2 2.(a+b)2
38、2=|=|a|2 2+2+2ab+|+|b|2 2.(2)(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标一般来说应当先设出向量的坐标,然然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运利用数量积的坐标运算列出方程算列出方程(组组)进行求解进行求解.2.2.求向量的模的两种基本策略求向量的模的两种基本策略(1)(1)定义表示下的运算定义表示下的运算.利用利用|a|2 2=a2 2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
39、(2)(2)坐标表示下的运算坐标表示下的运算.若若a=(x,y),=(x,y),则则aa=a2 2=|=|a|2 2=x=x2 2+y+y2 2,于是有于是有|a|=.|=.22xy【定向训练定向训练】1.1.已知已知O O为坐标原点为坐标原点,点点A(1,0),B(0,2),A(1,0),B(0,2),若若OCABOCAB于点于点C,C,则则 (+)(+)=.OC OAOB【解析解析】设点设点C C的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则则 =(x,y),=(x,y),由由A(1,0),B(0,2),A(1,0),B(0,2),得得 =(-1,2),=(-1,2),=(x-1,y),=(x
40、-1,y),因为因为OCABOCAB于点于点C,C,答案答案:OC AB AC 4xOC AB 0 x2y052xy202AC ABy54 2OC()OAOB1 25 58OC OAOB.5 所以，即，解得，所以，（，），所以（）852.(20202.(2020北京高考北京高考)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为2,2,点点P P满足满足 则则|=|=;=;=.【解析解析】如图建系如图建系,则则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以所以 =(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(2
41、,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=,=(-2,1),|=,又又 =(0,-1),=(0,-1),所以所以 =-1.=-1.答案答案:-1-11AP(ABAC),2 PD PD PBAB AC AP PD PD 5PBPBPD 5探究点二向量数量积的坐标公式与夹角问题探究点二向量数量积的坐标公式与夹角问题【典例典例2 2】(1)(2020(1)(2020全国全国卷卷)设向量设向量a=(1,-1),=(1,-1),b=(m+1,2m-4),=(m+1,2m-4),若若ab,则则m=m=.(2)(2)已知平面向量已知平面向量a=(1,3),=(1,3),b=(2,
42、),=(2,),设设a与与b的夹角为的夹角为.若若=120=120,求求的值的值.要使要使为锐角为锐角,求求的取值范围的取值范围.【思维导引思维导引】(1)(1)根据向量垂直根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的利用向量垂直的坐标表示坐标表示,求得结果求得结果.(2)(2)由由=120=120求求cos=,cos=,建立方程求建立方程求的值的值.要使要使为锐角为锐角,则则cos 0,cos 0,且且a与与b不能共线不能共线,建立不等式求建立不等式求的取值范围的取值范围.a ba b【解析解析】(1)(1)由由ab可得可得ab=0,=0,又因为又因为a=(
43、1,-1),=(1,-1),b=(m+1,2m-4),=(m+1,2m-4),所以所以ab=1=1(m+1)+(-1)(m+1)+(-1)(2m-4)=0,(2m-4)=0,即即m=5.m=5.答案答案:5 5(2)(2)由于由于a=(1,3),=(1,3),b=(2,),=(2,),则则ab=2+3,=2+3,当当=120=120时时,cos 120cos 120=得得 平方整理得平方整理得13132 2+24-12=0,+24-12=0,解得解得=,=,由于由于ab=2+30,=2+30,所以所以-,0,cos 0,且且cos 1,cos 1,因为因为ab=|=|a|b|cos|cos 恒
44、大于恒大于0,0,所以所以ab0,0,即即1 12+32+30,0,解得解得-.-.若若a平行于平行于b,则则1 1-2-23=0,3=0,即即=6.=6.但若但若a平行于平行于b,则则=0=0或或=,=,与与为锐角相矛盾为锐角相矛盾,所以所以6.6.综上所述综上所述,-,-且且6.6.2323【类题通法类题通法】利用向量法求夹角的方法技巧利用向量法求夹角的方法技巧1.1.若求向量若求向量a与与b的夹角的夹角,利用公式利用公式coscos=当向量当向量的夹角为特殊角时的夹角为特殊角时,再求出这个角再求出这个角.2.2.非零向量非零向量a与与b的夹角的夹角与向量的数量积的关系与向量的数量积的关系
45、:(1)(1)若若为直角为直角,则充要条件为向量则充要条件为向量ab,则转化为则转化为ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.(2)(2)若若为锐角为锐角,则充要条件为则充要条件为ab0,0,且且a与与b的夹角不能为的夹角不能为0(0(即即a与与b的方向不的方向不能相同能相同).).121222221122x xy yxyxy，a ba b(3)(3)若若为钝角为钝角,则充要条件为则充要条件为ab0,0,且且a与与b的夹角不能为的夹角不能为(即即a与与b的方向不的方向不能相反能相反).).【定向训练定向训练】已知向量已知向量a=(1,-2),=(1,-2),
46、b=(-1,1),=(-1,1),c=(,6),=(,6),若向量若向量a-b与与c的夹角为钝角的夹角为钝角,则实数则实数的取值范围是的取值范围是.【解析解析】由由a=(1,-2),=(1,-2),b=(-1,1),=(-1,1),得得a-b=(1,-2)-(-1,1)=(2,-3),=(1,-2)-(-1,1)=(2,-3),因为因为a-b与与c=(,6)=(,6)的夹角为钝角的夹角为钝角,所以所以(a-b)c0,0,得得2 2-180,-180,解得解得9,9,又由又由(a-b)c,得得12=-312=-3,即即=-4.=-4.此时此时,a-b=(2,-3),=(2,-3),c=(-4,6
47、)=-2(a-b),=(-4,6)=-2(a-b),向量向量a-b与与c的夹角为平角的夹角为平角,所以所以=-4=-4不满足题意不满足题意.因此因此9,9,且且-4.-4.答案答案:(-,-4)(-4,9)(-,-4)(-4,9)探究点三向量数量积的坐标公式的综合问题探究点三向量数量积的坐标公式的综合问题【典例典例3 3】在边长为在边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中中,M,M为为BCBC的中点的中点,点点E E在线段在线段ABAB上运动上运动.(1)(1)求证求证:为定值为定值.(2)(2)求求 的最大值的最大值.EC AD EC EM 【思维导引思维导引】(1)(1)利用向量的投
48、影证明利用向量的投影证明,也可以建立平面直角坐标系也可以建立平面直角坐标系,利用向量利用向量的坐标计算数量积的坐标计算数量积.(2)(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值,也可以建立平面直角坐标系也可以建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标公式利用数量积的坐标公式,建立函数求最大值建立函数求最大值.【解析解析】方法一几何法方法一几何法(1)(1)如图如图,在边长为在边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD中中,2EC AD EC BCEC BC cos BCEBC1.（定值）(2)(2)如图如图,作作CNEM,CNEM,垂足为垂足为N,N,则则
49、EBMEBMCNM,CNM,得得 所以所以EMEMMN=CMMN=CMMB=,MB=,EMMBCMMN，14222EC EMEC EM cos CENEMEC cos CENEM ENEMEMMNEMEM MN11113EMAM1444423EAEC EM.2 所以（）（），所以当点 在点 时，取得最大值方法二坐标法方法二坐标法以点以点A A为坐标原点为坐标原点,AB,AD,AB,AD所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,则则A(0,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0),C(1,1),D(0,1),设设E(x,0),x0,1,E(x
50、,0),x0,1,(1)=(1-x,1)(1)=(1-x,1)(0,1)=1(0,1)=1(定值定值).).(2)(2)可知可知C(1,1),M(),C(1,1),M(),则则 =(1-x,1)=(1-x,1)()=(1-x)()=(1-x)2 2+,+,当当x0,1x0,1时时,(1-x),(1-x)2 2+单调递减单调递减,当当x=0 x=0时时,取得最大值取得最大值 .EC AD 112，EC EM 11x2，1212EC EM 32【类题通法类题通法】解决向量数量积的最值的方法技巧解决向量数量积的最值的方法技巧1.“1.“图形化图形化”技巧技巧:利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何
