1、一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而个人可以过桥而 1 个人却不能。等周围没有其它个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。根据事后他的调查，小河宽根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长米，独木桥长 6米，如图米，如图
2、1所示横跨在所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为做成，等截面，允许最大弯矩为M=600N.m。为方便假设每人的体。为方便假设每人的体重均为重均为 800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下：，而独木桥的重量不计。请你分析一下：1）本问题与力学中的什么内容有关系？）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认
3、为两人应如何配合才能安全过桥？（1）本问题与力学中的什么内容有关系？）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：梁的弯曲、弯矩。关键词：梁的弯曲、弯矩。（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？）如果一个人想过桥，最多能走多远？该问题简化为下图，设人从该问题简化为下图，设人从 B 向向 A走去，载荷走去，载荷 P与与 B 点距离为点距离为x，AB 间的距离为间的距离为L。易求出支座易求出支座 B 点的约束力为点的约束力为 RB=P(L-x)/L则则 AB 间最大弯矩为间最大弯矩为 M(x)=P(L-x)/L 根据允许最大弯矩为根据允许最大弯矩为M 600N m，有，有 P(L-x)x/L M 代入数
4、据，解出代入数据，解出 x 1，x 3例例1.图示为双杠之一梁图示为双杠之一梁,每一梁由两根立柱支撑每一梁由两根立柱支撑,设两柱之间的跨度为设两柱之间的跨度为l;每一梁具有两个外伸段每一梁具有两个外伸段,设每一外伸段的长度均为设每一外伸段的长度均为a,假定运动员在双杠上假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点作动作时在每个梁上只有一个作用点,力的作用线垂直于横梁力的作用线垂直于横梁.试决定在试决定在双杠的设计中双杠的设计中,l与与a的长度的最佳比值的长度的最佳比值,(即运动员在上运动时即运动员在上运动时,其上的弯矩其上的弯矩值的变化最小值的变化最小)设梁与立柱间的连接为铰接设梁与立柱
5、间的连接为铰接.(第二届题第二届题)aal解解:当运动员在中点时当运动员在中点时,杠梁的最杠梁的最有最大弯矩为有最大弯矩为4Pl当运动员在杠梁的两端时当运动员在杠梁的两端时,杠杠梁的立柱处根部最有最大弯梁的立柱处根部最有最大弯矩为矩为Pa令令PaPl 4则有则有4la 例例2.一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上.钢筋单位长度的重量为钢筋单位长度的重量为q,抗抗弯刚度为弯刚度为EI.钢筋的一端伸出桌边钢筋的一端伸出桌边B的长度为的长度为a.试求钢筋自由端试求钢筋自由端A的挠度的挠度.ABa(第五届题第五届题)0 D 0 DMDBADqBAax解解:考虑先满足
6、考虑先满足MD=0计算模型如下图计算模型如下图为满足为满足 D=0,则令则令 06242213 EIxqaEIqxD ax2 ax2 于是有于是有:EIqaEIqaaEIaqaaEIaqyA24322832242442213例例3.求如下连续梁铰链处转角的间断值求如下连续梁铰链处转角的间断值.(第三届题第三届题)aaaFCAB对于对于AC梁的梁的C点点EIFa22 左左 EIFaaEIFaEIFayC6523323 对于对于BC梁的梁的C点点EIFaayC652 右右 右右 左左 C例例4.图示所示传感器图示所示传感器,AB和和CD为铜片为铜片,其厚度为其厚度为h,宽为宽为b,长为长为l,材料
7、的弹性材料的弹性模量为模量为E,它们在自由端与刚性杆它们在自由端与刚性杆BD固接固接.(1)试求截面试求截面K K 的轴力和弯矩的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面如果采用电测法测量截面K K 的轴力和弯矩的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式并建立由测试应变表示的内力表达式.KKFb3lhABDCla解解:(1)由整体平衡及两铜片相同的弯由整体平衡及两铜片相同的弯曲变形曲变形(不考虑轴向变化不考虑轴向变化),可推得可推得A、C处水平力均等于处水平力均等于F/2.取取AB片分析受力片分析受
8、力BMABAFBFAM2F2FBMABBF2F2FlMMBA 又又0 B 0222 EIlMEIlBF4FlMB 4FlMA(第五届力学竞赛试题第五届力学竞赛试题)4FlMA 2FKMAKAFKFAM2F3l0 Am0432 FllFMK12FlMK 整体分析受力整体分析受力AMbAFKKF3lhABDCla2F2FCFCM同理可分析同理可分析DC片得知片得知4FlMMAC 0 Cm0 bFMMaFAAC blaFFA22 02 bFFlaFA blaFFK22 例例4.图示所示传感器图示所示传感器,AB和和CD为铜片为铜片,其厚度为其厚度为h,宽为宽为b,长为长为l,材料的弹性材料的弹性模量
9、为模量为E,它们在自由端与刚性杆它们在自由端与刚性杆BD固接固接.(1)试求截面试求截面K K 的轴力和弯矩的轴力和弯矩;(2)如果采用电测法测量截面如果采用电测法测量截面K K 的轴力和弯矩的轴力和弯矩,试确定贴片与接线的方案试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式并建立由测试应变表示的内力表达式.12FlMK 4FlMB blaFFB22 blaFFK22 BMABBF2FKK3l(2)采用全桥测量电路采用全桥测量电路3R4Ra.测弯矩电路测弯矩电路1R2RKKABCD1R2R3R4RACUBDU贴片如图贴片如图TMF 1TMF
10、 2T 434321 ra.测弯矩电路测弯矩电路3R4R1R2RKKA3lKMKKF2FTMF 1TMF 2T 43ABCD1R2R3R4RACUBDUMr 24321 262rMKKMEEbhMWM 122bhEMrK (考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号)b.测轴力电路测轴力电路ABCD1R3R2R4RACUBDUFr 24231 2rFKKFEEbhFAF 2bhEFrK pppp例例5.一半径为一半径为a、长为、长为 l 的弹性圆轴的弹性圆轴,其弹性模量为其弹性模量为E,泊松比为泊松比为 ,现将轴套在现将轴套在一刚性的厚管内一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙
11、轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力设轴受集中力F作用作用,当当F=F1 时轴时轴与刚性壁恰好接触与刚性壁恰好接触,求求F1 的值的值;当当F F1 后后,管壁和轴之间有压力管壁和轴之间有压力,记记f 为摩擦为摩擦系数系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为当扭矩规定为M时时,求对应的求对应的F值值.F 由胡克定律由胡克定律 zrrE 1211aFAFz 在轴与管间由间隙到恰好接触时在轴与管间由间隙到恰好接触时0 r2111aFEEzr 21aEaFar EaF 1当当 EaF 轴周边受径向压力轴周边受径向压力r r (第三届力学竞赛试题第三届力学竞赛试题)当当
12、EaF 轴周边受径向压力轴周边受径向压力ppppr r 由于圆筒是刚性的由于圆筒是刚性的,则圆轴的径向和环向不再改变则圆轴的径向和环向不再改变由胡克定律由胡克定律 01 zrrE 01 zrE 上式中上式中aEaFaEaFAFz 22上两式联立求解上两式联立求解:zr 1由均匀应力及平衡条件可知由均匀应力及平衡条件可知zrp 1例例5.一半径为一半径为a、长为、长为 l 的弹性圆轴的弹性圆轴,其弹性模量为其弹性模量为E,泊松比为泊松比为 ,现将轴套在现将轴套在一刚性的厚管内一刚性的厚管内,轴和管之间有初始间隙轴和管之间有初始间隙,设轴受集中力设轴受集中力F作用作用,当当F=F1 时轴时轴与刚性
13、壁恰好接触与刚性壁恰好接触,求求F1 的值的值;当当F F1 后后,管壁和轴之间有压力管壁和轴之间有压力,记记f 为摩擦为摩擦系数系数,这时轴能靠摩擦力来承受扭矩这时轴能靠摩擦力来承受扭矩,当扭矩规定为当扭矩规定为M时时,求对应的求对应的F值值.F ppppr r aEaFaEaFAFz 22zrp 1若此时轴上有扭矩若此时轴上有扭矩M,则扭矩则扭矩M与轴承受与轴承受的摩擦力偶矩保持平衡的摩擦力偶矩保持平衡zlfalpfaM 12222lpfadApfafapdAMDD22 aEaFlfa 2212 EalfMF 21 121FlfM 例例6.两种材料组成的矩形截面梁两种材料组成的矩形截面梁,
14、其上部材料为其上部材料为I,截面为截面为A1,弹性模量为弹性模量为E1;下部材料为下部材料为II.横截面为横截面为A2,弹性模量为弹性模量为E2,且且E2 E1,如图示如图示.假设平面假定假设平面假定依然成立依然成立,试推导在线弹性范围内试推导在线弹性范围内,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式.IIIMM解解几何方程几何方程:yx y物理方程物理方程:1A1E2E2A11Exx 22Exx 静力学关系静力学关系:横截面上有横截面上有02121 dAdAFAxAxN 02121 dAyEdAyEAA 02121 dAyEdAyEAA 02121 dAyEdAyEAA
15、02211 zzSESE 中性轴方程中性轴方程对于同一材料对于同一材料0 dAyEA0 Cy 中性轴方程中性轴方程(过截面形心过截面形心)IIIMM 变化图变化图 变化图变化图MdAyydAMAxAx 2121 dAyEdAyEMAA 212221 2121zzIEIEM zdAyIAz 112A1 对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩dAyIAz 222A2 对中性轴的惯性矩对中性轴的惯性矩21211zzIEIEM 212111zzxIEIEyME 由由 yx 11Exx 22Exx 212122zzxIEIEyME 例例7.在半径为在半径为R的刚性圆柱面上的刚性圆柱面上,放一平直的钢板放一平直
16、的钢板BB,两端作用对称载荷两端作用对称载荷F.钢板钢板的弹性模量为的弹性模量为E,其厚度为其厚度为h,宽度为宽度为b,在力在力F的作用下处于弹性小变形状态的作用下处于弹性小变形状态,且且R h.求求:(1)钢板在开始接触圆柱面钢板在开始接触圆柱面A点附近时的载荷点附近时的载荷F0;(2)当当F F0,钢板与钢板与圆柱面圆柱面CAC接触时接触时,求求B、C两点的挠度差两点的挠度差WBC与载荷与载荷F的关系的关系.hbABBFFllRABBFFllR解解:(1)钢板钢板A处开始有变形处开始有变形,由由REIM11 REIlF 0RlEbhRlEIF1230 (2)CC F Fx对于对于C处处EI
17、FxR 1(B)FBCxW Rxl EIFxxRxlWBC33 EIFxxEI)xl(FWBC332 ABBFFllRCC F Fx(B)EIFxR 1EIFxxEI)xl(FWBC332 FREIx 32622233222232216123232RFhbEFRlEbhRFIEFRlEIEIFxEIFlxWBC 例例8.如图示如图示,为传递扭矩为传递扭矩T,将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起在一起.设两轴间均匀分布配合压强设两轴间均匀分布配合压强p,摩擦系数为摩擦系数为 ,实心轴直径为实心轴直径为d,空心空心轴的外径为轴的外径为D,连接段
18、长度为连接段长度为L,两轴的材料相同两轴的材料相同.求求:(1)两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值Tcr;(2)设初始内外设初始内外轴扭矩均为零轴扭矩均为零,当传递的扭矩从零增加到当传递的扭矩从零增加到 T=2/3Tcr 时时,绘制内轴在连接段绘制内轴在连接段L的的扭矩图扭矩图.(假定材料力学关于圆轴扭转的公式全部成立假定材料力学关于圆轴扭转的公式全部成立)(第四届力学竞赛题第四届力学竞赛题)TTL解解:(1)由题意可有由题意可有:20dpdxdTLcr Lpd 221(2)当扭矩当扭矩T Tcr,两轴在连接段的中部某一段不会产生相对滑动两轴在
19、连接段的中部某一段不会产生相对滑动.取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力TLTmTL1L2L2T2Tm ddITdATP 22 ddITDdp 22320 441DdT取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力22 pdm 摩擦力偶集度摩擦力偶集度T2:二轴无相对滑动时空心轴截面上的扭矩值二轴无相对滑动时空心轴截面上的扭矩值设二轴无相对滑动时实心轴截面上的扭矩值为设二轴无相对滑动时实心轴截面上的扭矩值为T1显然显然,4421DTdTTT 46441332DLpdDdTTcr 由所给的条件可得由所给的条件可得:考虑受力体的
20、平衡考虑受力体的平衡 21LLmT 考虑受力体的平衡考虑受力体的平衡 21LLmT mTL1L2L2T2Tm 212232LLpdTcr 212223LLpdpLd 13221LLL 考虑实心轴考虑实心轴L1段受力段受力T1Tm1L11TmLT 461332DLpdmLTcr 46441332DLpdDdTTcr LDpdLpdLpd46122323 LDdDL444132 LDdLLL44123232 mTL1L2L2T2TmT1Tm1LTTL46441332DLpdDdTTcr 实心轴扭矩图实心轴扭矩图crT321T 1L2L3L空心轴扭矩图空心轴扭矩图1L2L3L crT322T如果如果
21、T=Tcr Lpd 221 实心轴扭矩图实心轴扭矩图空心轴扭矩图空心轴扭矩图 crT crT 442132DdTTcr例例9.如图示如图示,曲杆曲杆AB的轴线是半径为的轴线是半径为R的四分之一圆弧的四分之一圆弧,杆的横截面是直径杆的横截面是直径为为d的实心圆的实心圆,d R,杆的杆的A端固结端固结,B端自由端自由,并在并在B端作用有垂直于杆轴端作用有垂直于杆轴线所在平面的集中力线所在平面的集中力F.已知材料的拉压弹性模量为已知材料的拉压弹性模量为E,剪切弹性模量为剪切弹性模量为G,许用拉应力为许用拉应力为.(1)试按第三强度理论试按第三强度理论,求许用载荷求许用载荷F (2)求在载荷求在载荷F
22、的的作用下作用下,自由端绕轴线的转角自由端绕轴线的转角 B.(第四届力学竞赛题第四届力学竞赛题)ABF解解:AB RC(1)取取BC段曲梁分析平衡受力段曲梁分析平衡受力0 ZFFz 0 xm sinFRMx 0 ym cosFRTy 1yT xMsFFBACxyzR当当0 T2,而温度沿截面的高度按线性变化而温度沿截面的高度按线性变化.试用能量法求截面试用能量法求截面B的转角的转角.梁的尺寸如图梁的尺寸如图,材料的线胀系数为材料的线胀系数为 .(第五届力学竞赛题第五届力学竞赛题)1T2TABABBF解解:先求先求B处支反力处支反力由例由例3可知可知 hlTTTB2221 EIFlFB33 0
23、FTBBB hlTT2221 EIFl33 hlEITTF2321 lhbAB1T2T由简单载荷的挠度公式可得由简单载荷的挠度公式可得1T2TABABBF亦由例亦由例3可知可知 hlTTTB21 lhbAB1T2TEIFlFB22 另另,由叠加法可得由叠加法可得:B llTTEIFlhlTTB4221221 hlEITTF2321 其中其中,例例11:一个体重为一个体重为G的跳水运动员站在厚为的跳水运动员站在厚为2a,长为长为L的悬臂梁跳板的端部的悬臂梁跳板的端部.已知梁的许用应力为已知梁的许用应力为,梁的刚度为梁的刚度为EI.试求他的允许起跳高度试求他的允许起跳高度(第一届力第一届力学竞赛复
24、试题学竞赛复试题)ha2stdhK 211L解解:EIGLst33 IGLaWGLmax 由题意由题意,应有应有:maxddK IGLahst211 121 GLaIhst EaLGEaILh36222 由上式可解出最大起跳高度由上式可解出最大起跳高度例例12.两根相同的梁两根相同的梁AB、CD,如图示放置如图示放置.二者自由端间距二者自由端间距 =Wl3/3EI.当当重为重为W的物件突然加于的物件突然加于AB梁的梁的B端时端时,求求CD梁梁C点的挠度点的挠度.(第三届力学竞赛第三届力学竞赛题题)解解:llABCD EIEIW(梁自重不计梁自重不计)设设C点的挠度为点的挠度为 y 由题意及能量
25、守恒原理由题意及能量守恒原理 222121yyykkW EIWl33 33lEIk 上式可简化为上式可简化为 222yyy 解之解之,得得:EIWly6223 例例13.图示均质等截面直梁图示均质等截面直梁AB,由高由高h处水平自由坠落在刚性的支座处水平自由坠落在刚性的支座D上上,梁梁在变形中仍处于弹性变形阶段在变形中仍处于弹性变形阶段.设梁长为设梁长为2l,梁的单位长重量为梁的单位长重量为q,梁的抗弯梁的抗弯刚度为刚度为EI.试求梁内的最大弯矩试求梁内的最大弯矩.(第五届竞赛试题第五届竞赛试题)解解:llhABD考虑结构受力及变形的对称性考虑结构受力及变形的对称性应取一半分析应取一半分析DB
26、dql这是一冲击载荷问题这是一冲击载荷问题由能量原理由能量原理dldldydxqyqdxlqh 0021 dddFhP 21对比教科书上对比教科书上lqd22lqd xMsFdqx 1361ClxqEIyEIddd 221lxqxMyEIdd 00 xd 00 xdy 114241DxClxqEIydd 1361ClxqEIyEIddd 221lxqxMyEIddd 00 xd 00 xdy 114241DxClxqEIydd 3161lqCd 2441lqDd EIlqxEIlqlxEIqydddd24624434 由能量原理由能量原理dldldydxqyqdxlqh 0021 434424
27、lxllxEIqydd dxlxllxEIqqyqdxldld 04340424 50434564ldxlxllxl EIlqqyqdxdld2050 EIlqydxqdldd4021520 04020255 ddqEIlqEIqllqh0240244 ddqlqqlqhEI4240lqhEIqqqd 梁内最大弯矩梁内最大弯矩242240212llghEIqqlqMdmax DBdqlmaxdM例例14.长为长为l 的悬臂梁的悬臂梁,在距固定端在距固定端S处放一重量为处放一重量为W的重物的重物,重物与梁之间重物与梁之间的摩擦系数为的摩擦系数为f,在自由端处作用一力在自由端处作用一力F.求求:(
28、1)什么条件下不加力什么条件下不加力F,重物就能滑动重物就能滑动?(2)若需加力若需加力F才能滑动时才能滑动时,力力F的大小是多少的大小是多少?(第三届力学竞赛题第三届力学竞赛题)WEIFSAlSBlBAWEI解解:(1)求梁求梁S处的转处的转角角EIWSs22 由自锁的条件可知由自锁的条件可知,若滑动若滑动,应有应有:fEIWSs 22 即是重物即是重物22SfEIW(2)考虑有考虑有F力时系统的临界平衡力时系统的临界平衡此时此时,S处的转角为处的转角为:s EIFSEIFlSEIWSEISSlFEIFSEIWSs22222222 由由fs fEIFSEIFlSEIWS 2222解之解之,2
29、222SlSWSfEIF 由题意由题意2222SlSWSfEIF 为所求为所求.例例15.有一实心圆杆受力如图示有一实心圆杆受力如图示.已知直径已知直径d=200(mm),F=200 (kN),E=200103(MPa),=0.3,=170(MPa).已测得在杆的表面上已测得在杆的表面上K点处点处 45=3104.试用第四强度理论校核强度试用第四强度理论校核强度.(第三届力学竞赛题第三届力学竞赛题)FFTT045K解解:由杆件的受力状态由杆件的受力状态,取取K处单元体分析处单元体分析x x yx yx xy xy 由已知的轴向由已知的轴向力力 MPaAFx2020041020023 2245x
30、yyx 41030 .xy 4310011020020 Exx 41076 .xy MPa.Exyxy545112 由此应力状态下的第四强度理由此应力状态下的第四强度理论表达式论表达式 MPa.xyxr489154513203222240 y 2sin22cos22xyyxyx 由应变转换公式由应变转换公式FFTT045Kx x yx yx xy xy 例例15 有一实心圆杆受力如图示有一实心圆杆受力如图示.已知直径已知直径d=200(mm),F=200 (kN),E=200103(MPa),=0.3,=170(MPa).已测得在杆的表面上已测得在杆的表面上K点处点处 45=3104.试用第四
31、强度理论校核强度试用第四强度理论校核强度.(第三届力学竞赛题第三届力学竞赛题)另解另解:由已知的轴向由已知的轴向力力 MPaAFx2020041020023 2sin2cos22xyyxyx由应力变换公式由应力变换公式:90902245sincosxyyxyx xyx 24527027022135sincosxyyxyx xyx 2135由广义胡克定律由广义胡克定律:yxxE 1 13545451 E xyxxyx 2210200110334 xyxy.10301010200110334 MPa.xy5451 MPa.xyxr4891545132032222434 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
