1、整体把握数学教材整体把握数学教材提升学生数学素养提升学生数学素养人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室 李海东李海东lhdpep“立德树人立德树人”是教育的根本任务是教育的根本任务 育人目标是教育的核心目标，育人目标是教育的核心目标，数学教育育人目标的核心是学生的数学教育育人目标的核心是学生的数学素数学素养的提升养的提升。数学是一个整体。数学的整体性体现在数与代数、图形数学是一个整体。数学的整体性体现在数与代数、图形与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上（同时也体现在同一部分内容中
2、知识的前后逻辑关系上（纵向联系、横向联系）。纵向联系、横向联系）。数学有其认识和解决问题的数学有其认识和解决问题的“基本套路基本套路”，认识和研究，认识和研究一个数学对象，一般要经历一个数学对象，一般要经历“背景材料背景材料概念与表示概念与表示性质性质联系和应用联系和应用”的过程。的过程。要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学
3、原理的抽象过程、数学知识的学概念的概括过程、数学原理的抽象过程、数学知识的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路基本套路”。一、一、突出运算和运算律的作用，归突出运算和运算律的作用，归纳地学习纳地学习“数与代数数与代数”的内容。的内容。代数的根源在于运算代数的根源在于运算 各种代数问题中，我们总是运用各种各种代数问题中，我们总是运用各种代数运算代数运算（如加法、（如加法、乘法等）来分析量与量的代数关联。乘法等）来分析量与量的代数关联。解决问题的过程中，则要用代数解决问题的过程中，则要用代数运算运算去表示现实事物中的去表示现实事
4、物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题函数），将实际问题“代数化代数化”后再加以解决。后再加以解决。从代数式（符号代表数从代数式（符号代表数从处理单个数到处理一类问题从处理单个数到处理一类问题）、方程（符号代表未知数）、方程（符号代表未知数数量关系到等量关系）到数量关系到等量关系）到函数（符号代表变数函数（符号代表变数从变化过程中考察规律）是一个从变化过程中考察规律）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化。飞跃，这是看问题角度的根本变化。代数运算具有一系列普遍成立的运算律，包括加法、乘法代数运算具有一系列普遍成
5、立的运算律，包括加法、乘法的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数中广泛能用且简单有力的代数基本工具，中广泛能用且简单有力的代数基本工具，运算律是整个代运算律是整个代数学的基础数学的基础。运算过程中，运算过程中，运算律运算律的普遍性让我们可以有效地分析所给的普遍性让我们可以有效地分析所给问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。各种式（整式、分式、根式等）的运算各种式（整式、分式、根式等）的运算用运算律进行用运算律进行“等价变换等价变换”；比如在整式的乘法中，多项式的乘法要利比如在整式
6、的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算。交换律和结合律转化为幂的运算。与几何问题的研究从与几何问题的研究从“几何直观几何直观”出发不同出发不同，在代数问题在代数问题的学习中，的学习中，归纳法是一种常用且有用的基本方法归纳法是一种常用且有用的基本方法。这里的归纳，既包括这里的归纳，既包括“归纳发现归纳发现”，也包括，也包括“归纳证明归纳证明”。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特殊到一般，归纳地发现具有某种共有特性的事物
7、，归纳地殊到一般，归纳地发现具有某种共有特性的事物，归纳地定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特性。性。代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到的。的。基于上述认识，对于基于上述认识，对于“数与代数数与代数”的内容，从数的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、的引入，是一个从简单
8、到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数问题的基本方法。问题的基本方法。例例1：数式通性：数式通性“数式通性数式通性”是研究数（有理数、实数）、式（整式、分是研究数（有理数、实数）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。由于字母表示数，因此数的运算法则、运算律和运算性质由于字母表示数，因此数的运算法则、运算律和
9、运算性质在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所以对以对“未知数未知数”也成立，因此可以有系统地用运算律化简也成立，因此可以有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数所给的方程，从而确定其中的未知数化未知为已知。化未知为已知。数式通性整式 数式通性分式 数式通性数式通性二次根式二次根式 解方程中的算理解方程中的算理 等式的性质等式的性质解简单方程解简单方程 分配律分配律合并同类项合并同类项 等式的性质等式的性质移项移项 分配律分配
10、律去括号去括号 等式的性质等式的性质去分母去分母 等式的性质等式的性质运算中的不变性运算中的不变性运算律运算律 充分注意充分注意“有理数有理数”的基础地位和作用，有理数的运算不的基础地位和作用，有理数的运算不仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（数仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（数运运算和逆运算算和逆运算运算律运算律大小关系）也提供了研究一个大小关系）也提供了研究一个代数对象的基本思路。代数对象的基本思路。在进行式的内容的教学时，要重视在进行式的内容的教学时，要重视“数式通性数式通性”，加强与，加强与数的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，数的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，注意阐述注意阐述“从数到式从数到式”的研究内容和方法。的研究内容和方法。
