1、 江西省江西省 2019 届七校联考届七校联考 文科数学试题文科数学试题 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.已知集合,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两个集合的交集即可. 【详解】解：由 A 中不等式变形得：，即为变形可得：，解得 ，即 A=，对于 B 中由 x 23x+20，得 x1 或 x2，故 B
2、=x|y=log 2（x 23x+2）=x|x1 或 x2，即. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题 2.已知复数,则复数的虚部是( ) A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 将代入的表达式中，并进行化简，由此求得的虚部. 【详解】将代入的表达式中得，故虚部为 ，所以选 C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3.设数列为等差数列，其前 n 项和为，已知，若对任意 都有 成立，则 的值为( ) A. 22 B. 21 C. 20 D. 19 【答案】C 【解析】 试题分析：
3、因为，所以数列是以为首项，为公 差 的 等 差 数 列 ， 对 任 意都 有成 立 ， 则 为 数 列的 最 大 项 ， 而 在 数 列中 ， ，故为数列的最大项. 考点：等差数列的运算性质. 4.已知,函数与函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据得到互为倒数，故的单调性相同，由此得出正确选项. 【详解】由于，故互为倒数，而，故的单 调性相同，四个选项中，单调性相同的是 C 选项，故选 C. 【点睛】本小题主要考查对数的加法运算，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题. 5.将函数的图像沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个函数的图像，则“ 是
4、偶函数” 是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得函数向左平移 个单位后的表达式，然后根据函数为偶函数求得 的值，再根据充分、必要条件的知识 选出正确选项. 【详解】 函数的图像沿 x 轴向左平移 个单位后， 得到， 当为偶函数时，.故“ 是偶函数”是“”的必要不充分条件.故选 B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，考查三角函数为偶函数需要满足的条件，考查充要条件 的判断，属于基础题. 6.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为 3，则最后输出的结果是( ) A. 6 B.
5、 21 C. 231 D. 5050 【答案】C 【解析】 【分析】 运行程序，当时退出循环，输出 的值. 【详解】运行程序，判断否，判断否，判断是，输出.故选 C. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查输入数据计算输出的结果，属于基础题. 7. , , ,设,则下列判断中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：a、b、c、dR， 考点：放缩法 8.已知满足,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件对应的可行域，目标函数表示可行域内的点和点之间连线的斜率的两倍然后加上 ，利 用两点求斜率的公式求得斜率的取值范围，
6、然后求得目标函数的取值范围. 【详解】画出约束条件对应的可行域如下图所示，由于，故目标函数表示可行域内的 点和点之间连线的斜率的两倍然后加上 ， 由图可知， 斜率的取值范围即， 即， 也即，乘以 然后加 得到，故选 A. 【点睛】 本小题主要考查利用线性规划求斜率型目标函数的取值范围.这种类型题目的主要思路是： 首先根据 题目所给的约束条件，画出可行域；其次是画出目标函数对应定点的位置；接着连接定点和可行域内的点， 判断出边界位置； 然后两点求斜率的公式计算出边界位置连线的斜率； 最后求出目标函数的取值范围.属于基 础题. 9.定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物线上移动， 设点 P 为线
7、段 MN 的中点， 则点 P 到 y 轴距离的最小值 为( ) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，将 到 轴的距离转化为跟有关的表达式，根据三点共线 求得最小值. 【详解】由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知， 到 轴的 距离 ，当且仅当三点共线时， 能取得最小值，此时 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义以及抛物线的焦点、准线，考查化归与转化的数学思想方法，属于中 档题. 10.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, ,且 ,则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图所示
8、，建立直角坐标系，则 ，因 函数取得最大值故答案为 C. 11.定义在 上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数 ,都有恒成立,则使 成立的实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解 详解：设，则 ，由已知当时， ，在上是减函数，又是偶函数，也是偶 函数， 不等式即为，即， ，即 故选 A 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式解题关键是构造新函数新函数的结构可结 合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造如，等 等 12.在棱长为 6 的正方体 ABCD-A B C D 中,M
9、 是 BC 的中点,点 P 是面 所在的平面内的动点,且满足 ,则三棱锥的体积最大值是( ) A. 36 B. C. 24 D. 18 【答案】A 【解析】 试题分析：因为平面，由，同理平面，则，所以 ，下面研究点 在面内的轨迹（立体几何平面化） ，在平面直角坐 标 系 内 设， 设， 因 为， 所 以， 化 简 得 ，该圆与的交点的纵坐标最大，交点坐标，三棱锥的底面的面积为， 要使三棱锥的体积最大， 只需高最大， 当 在上时， 棱锥的高最大， 故选 A. 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积. 二二. .填空题填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题小题,
10、,每小题每小题 5 5 分分, ,满满分分 2020 分分, ,把答案填写在答题卡相应的位置把答案填写在答题卡相应的位置) ) 13.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 _. 【答案】12 【解析】 【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成，所求梯形面积即是主视图和侧视图的面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成，梯形面积即是主视图和侧视图的面积. 故梯形面积之和为. 【点睛】本小题主要考查三视图，考查三
11、视图还原为原图，考查梯形面积的计算，属于基础题. 14.面积为 S 的三角形 ABC 中，在边 AB 上有一点 P ,使三角形 PBC 的面积大于 的概率为_. 【答案】 【解析】 试题分析：记事件的面积超过，基本事件是三角形的面积， （如图） 事件 的几何度量为图中阴影部分的面积（并且） ，因为阴影部分的面积是整个三角形面 积的，所以 考点：几何概型 15.正项数列满足,又是以 为公比的等比数列,则使得不等式 成立的最小整数 为_. 【答案】6 【解析】 【分析】 求得的首项， 根据题目所给公比求得的表达式， 由此求得的表达式， 利用的 表达式证得是等比数列，由此求得的通项公式，进而求得的通
12、项公式，利用等比数列前 项和公式求得 不等式左边表达式的值，解不等式求得 的最小正整数值. 【详解】依题意是首项为，公比为 的等比数列，故，两边平方得 ，所以，两式相除得，故是以为首项，公比为 的 等比数列，故，所以.是以为首项，公比为 的等比数列，故 ，所以.所以 ，由 ，经检验可知，符合题意.即 的最小值为 . 【点睛】本小题主要考查递推数列求通项，考查数列求和的方法，考查不等式的解法，属于中档题. 16.已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为, 满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于 的“对称函数”,且在上是减函数,则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对称函
13、数的概念，求得的解析式，然后按照复合函数单调性的判断方法，求得 的取值范围. 【 详 解 】 根 据 对 称 函 数 的 概 念 可 知， 即 ，令，则，其对称轴为，开口向下.由于 在上递减，在上递增，根据复合函数单调性可知. 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查三角恒等变换，考查复合函数单调性等知识，属于中档题. 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请把答案写在答题卷分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请把答案写在答题卷 的相应位置。的相应位置。 17.已知 a，b，c 分别是ABC 内角
14、 A，B，C 的对边， (1)求 C； (2)若，且ABC 面积为，求的值. 【答案】 （1） ； （2）. 【解析】 试题分析： （1）利用和差的正弦公式，即可求 ； （2）若，且面积为，求出 ， ，三角形外 接圆的直径，即可求的值. 试题解析： （1）在中，由，可得 ，又. 在中，由余弦定理可知，则，又，可得 ，那么.可得.由正弦定理. 可得. 18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信 控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 10
15、0 (1)根据以上数据，能否有 95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ (2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人， 求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数； (3)从(2)中抽取的 5 位女性中，再随机抽取 3 人赠送礼品，试求抽取 3 人中恰有 2 人为“微信控”的概率. 参考数据： 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考公式： ，其中. 【答案】 （1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】 （1）计算的值，对比题目所给参考数据可以判
16、断出没有把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）女 性用户中，微信控和非微信控的比例为，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型 概率计算公式，求得抽取 人中恰有 人是“微信控”的概率. 【详解】解： （1）由 22 列联表可得： ， 所以没有 95%的把握认为“微信控”与“性别”有关； （2）根据题意所抽取的 5 位女性中，“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人； （3）设事件“从（2）中抽取的 5 位女性中，再随机抽取 3 人，抽取 3 人中恰有 2 人是“微信控” 抽取的 5 位女性中，“微信控”3 人分别记为； “非微信控”2 人分别记为. 则再从中随机抽取 3 人构成
17、的所有基本事件为：，共有 10 种； 抽取 3 人中恰有 2 人为“微信控”所含基本事件为：，共有 6 种， 所以. 【点睛】本小题主要考查联表独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中 档题. 19.如图,四棱锥 中,是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平面平面. (1)若点 E 是 PC 的中点,求证:平面 BDE; (2)若点 F 在线段 PA 上,且,当三棱锥的体积为 时,求实数 的值. 【答案】 （）证明见解析； （） 【解析】 试题分析： （）连接 AC，设 ACBD=Q，又点 E 是 PC 的中点，则在PAC 中，中位线 EQPA，又 EQ 平面 BDE
18、，PA平面 BDE所以 PA平面 BDE； （）由平面 PAB平面 ABCD，则 PO平面 ABCD；作 FMPO 于 AB 上一点 M，则 FM平面 ABCD，进一步利用求得最后利用平行线分线段成比例求 出 的值 试题解析： （）连接 AC，设 ACBD=Q，又点 E 是 PC 的中点，则在PAC 中，中位线 EQPA， 又 EQ 平面 BDE，PA平面 BDE所以 PA平面 BDE （）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取 AB 中点 O， 所以 POAB，且又平面 PAB平面 ABCD，则 PO平面 ABCD； 作 FMPO 于 AB 上一点 M，则 FM平面 ABCD，因为四边形
19、 ABCD 是矩形， 所以 BC平面 PAB，则PBC 为直角三角形， 所以，则直角三角形ABD 的面积为， 由 FMPO 得： 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 20.已知两定点,满足条件的点 P 的轨迹是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A,B 两点, (1)求 k 的取值范围; (2)如果,且曲线 E 上存在点 C,使,求 m 的值和的面积 S。 【答案】 （1）； （2）； （3），面积为. 【解析】 试题分析：（1） 由双曲线的定义可知， 曲线 是以为焦点的双曲线的左支， 所以方程为； （2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和
20、双曲 线的方程，消去 后得到关于 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于 零，由此列不等式组，求解的 的取值范围； （3）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系， 得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为. 试题解析： （1）由双曲线的定义可知，曲线 是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线 的方程为 （2）设，由题意建立方程组 消去 ，得 又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得 （3） 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为 设，由已知，得 又 点 将点 的坐标代入曲线 的方程，得得， 但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ，点的坐标
21、为 到的距离为 的面积 考点：直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】本题主要考查直线和双曲线的位置关系.双曲线的定义是动点到定点距离之差的绝对值是常数， 题目由于没有绝对值，故只是双曲线的一支，此处必须小心.第二问考查直线和双曲线交点个数问题，主要是 联立直线和双曲线的方程，化成关于 的一元二次方程，利用判别式和韦达定理表示两根解得情况.第三问需 要用弦长公式计算直线的斜率，利用向量求得 的坐标，代入双曲线方程即可得到 的值和面积. 21.已知函数,其中是的导数, 为自然对数的底数), (,). (1)求的解析式及极值； (2)若,求的最大值. 【答案】 （）；的极大值为，无极小值； （） .
22、 【解析】 试题分析： （）求函数的导数，令，可求得，令得，从而求得， 即可求出函数的解析式； （），求函数的导数，讨论函数 的 单 调 性 与 最 小 值 ， 由得，, 令 ,各求得，即可得到的最大值为 . 试题解析： （）由已知得， 令，得， 即（1 分） 又， 从而（2 分） ， 又在 上递增，且， 当时，；时， 故为极值点，（2 分） （）得， 当时，在上单调递增，时， 与相矛盾； 当时，得：当时， ， 即， ，（9 分） 令，则， ， 当时， 即当，时，的最大值为 ， 的最大值为 . （12 分） 考点：1.导数的运算；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式. 请考生在第请考生在第
23、(22)(22)、(23)(23)二题中任选一题做答二题中任选一题做答. .注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目. .如果多做，则按所做的第一个题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分，做答时请用计分，做答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. . 22.在极坐标系中,曲线的方程为,直线的方程为.以极点 为坐标原点,极轴 方向为 轴正方向建立平面直角坐标系. (1)求,的直角坐标方程； (2)设 , 分别是,上的动点,求的最小值. 【答案】 （1）：，：； （2）2 【解析】 【分析】 （1）将的极坐标方程展开后两边乘以 ，化简
24、后可求得的直角坐标方程，同理将的极坐标方程展开化 简后可求得的直角坐标方程.（2）通过圆心到直线的距离，减去半径，可求得的最小值. 【详解】(1).曲线的极坐标方程可化为, 两边同时乘以 ,得, 则曲线的直角坐标方程为, 即, 直线的极坐标方程可化为, 则直线的直角坐标方程为, 即. (2).将曲线的直角坐标方程化为, 它表示以为圆心,以 为半径的圆. 该圆圆心到直线的距离, 所以的最小值为. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于基础题. 23.设函数 . (1)当 时，解不等式 ； (2)当 时，若，使得不等式成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （）； （） 【解析】 试题分析：对于问题（） ，根据绝对值的概念即可求出不等式的解集；对于问题（） ，首先求出当 时函数在 上的最小值，得到一个关于实数 的极端不等式，再解这个关于实数 的不等 式，即可得到实数 的取值范围 试题解析： （I）时原不等式等价于即， 所以解集为 （II）当时，令， 所以当时，取得最小值 ,由题意知：， 所以实数 的取值范围为. 考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.
