1、12在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面在杆件的两端作用两个大小相等、转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。垂直于杆件轴线的力偶。机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。3-1 概概 述述一、扭转一、扭转的受力特点的受力特点杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。二、扭转二、扭转的变形特点的变形特点3扭转受力简图扭转受力简图mm电动机轴扭转受力简图电动机轴
2、扭转受力简图4563-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 r0 是是薄壁圆筒薄壁圆筒的厚度，的厚度，r0 是平均半径。是平均半径。100r 7 一、一、薄壁筒扭转的应力薄壁筒扭转的应力用截面法求任一横截面用截面法求任一横截面 nn 上的内力上的内力MeMelnn8MennMelnnT横截面上的应力只能是横截面上的应力只能是。设薄壁圆筒扭转时其任一横截面设薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为力偶矩。上的内力为力偶矩。称为扭矩称为扭矩 TMe9MeMe预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。一系列的正方格子。
3、1.试验试验10MeMe圆周线保持不变；纵向线都倾斜一个相同的角度。圆周线保持不变；纵向线都倾斜一个相同的角度。2.观察到的现象：观察到的现象：3.设想：设想：薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的薄壁圆筒扭转后，横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。11MeMe 圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为，用用 表示。表示。12MeMe DABC 圆筒表面上每个格子的圆筒表面上每个格子的 直角的改变量直角的改变量，称为，称为。用用 表示表示。13dxtABCDMeMe D
4、ABC 近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。圆周表面各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等。圆周表面各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等。14Mennxr二、推导公式二、推导公式由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处的切应力的切应力 都是相等的，而其方向于圆周相切。都是相等的，而其方向于圆周相切。AdT15r 为薄壁圆筒平均半径为薄壁圆筒平均半径MennxrT ArATdAAr d)(trr 2Ad16trT22上式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式。上式为薄壁筒扭转
5、时横截面上切应力的计算公式。MennxrAd17 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致。垂直，指向与扭矩的转向一致。T18 薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转19（1）在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向与）在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向与 y 轴平行。轴平行。三、三、切应力互等定理切应力互等定理xydydzabdzdxc 20 xydydzabdzdxc 两侧面的内力元素两侧面的内力元素（dy dz）大小相等，方向相反，将组成一个力偶。大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程：由平衡方
6、程：0yF可知：可知：21xydydzabdzdxc (dy dz)dx其矩为其矩为22xydydzabdzdxc 0 xF0zM（2）要满足平衡方程）要满足平衡方程23xydydzabdzdxc 在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素在单元体的上，下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素zxdd 它们组成的力偶，其矩为它们组成的力偶，其矩为yzxd)dd(24xydydzabdzdxc 数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得(dy dz)dxyzxd)dd(25xydydzabdzdxc ：单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，单
7、元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线。都指相（或背离）该两平面的交线。26xydydzabdzdxc 纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：单元体平面上只有切应力而无正应力，单元体平面上只有切应力而无正应力，则称该单元体称为纯剪切应力状态。则称该单元体称为纯剪切应力状态。27lr 四、剪切胡克定律四、剪切胡克定律mmABCD l rl r 为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径28MeMeABCD l薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 试验发现，当外力偶试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，在某一范围内时，与与 Me （在数值上等于（在数值上等于 T）成正比
8、）成正比。29To oGtrT22lr 从从 Mn 与与 之间的线性关系，之间的线性关系，可推出可推出 与与 间的线性关系。间的线性关系。该式称为材料的该式称为材料的 30G 称为材料的称为材料的 切变模量，其单位是切变模量，其单位是 Pa。剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的剪切屈服剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的剪切屈服 p极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。G)1(2EG3132思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 切应变为切应变为切应变为切应变为033343-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和
9、扭矩图从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nm2m1m3一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩35从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮nMe2Me1Me3一传动轴，转速为一传动轴，转速为 n转转/min，轴传递的功率由主动轮输入，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P千瓦千瓦（kW)，则作用在该轮上的外力偶矩，则作用在该轮上的外力偶矩 Me 可按以下方法求得可按以下方法求得:(kN.m)559enP.M36n 轴的转速轴的转速 (r/min)(kW)(kN.m)559enP.M37nnMeMexMex在在nn截面处
10、假想将轴截面处假想将轴截开取左侧为研究对象截开取左侧为研究对象分析图示圆轴任一横截面分析图示圆轴任一横截面 nn上的内力。仍用上的内力。仍用 截面法截面法。二、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图38nnMeMexMexT横截面上的内力应是一个横截面上的内力应是一个力偶称为该横截面上力偶称为该横截面上 扭矩扭矩0 xMeMT MexT取右侧为研究对象取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。数值相同但转向相反。39MexnnMeMexTMexT右手螺旋法则：当力偶矩矢的右手螺旋法则：当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正，指向背离截面时扭矩为正，反之为负。反之为负
11、。扭矩符号的规定扭矩符号的规定+40用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示扭矩与截面位置关系的图线，扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。称为扭矩图。41扭转内力扭转内力42m4ABCDm1m2m3n例题例题1：一传动轴如图所示，其转速：一传动轴如图所示，其转速 n=300/min，主动轮输入的，主动轮输入的功率为有功率为有 P1=500 kW。若不计轴承摩擦所耗的功率，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为三个从动轮输出的功率分别为
12、P2=150 kW、P3=150 kW及及 P4=200 kW。试做扭矩图。试做扭矩图。43解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩kN.m9.151mkN.m78432.mmABCDm1m2m3m4kN.m37.64mm4ABCDm1m2m3n(kN.m)559enP.M44ABCDm1m2m3m4用外力偶作用面将轴分段。用外力偶作用面将轴分段。该轴分为该轴分为 BC，CA，AD 三段三段m4ABCDm1m2m3n45ABCDm1m3m4m222计算计算 CA 段内任横一截面段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩截面上的扭矩。假设。假设 T2 为正值。为正值。结果为负号，说明结果为负号，说明T2 应是
13、负值扭矩应是负值扭矩BCxm2m32T由平衡方程由平衡方程(-)00232Tmm,MxmkN56.9)m(322mT46ABCDm1m3m4m2在在 BC 段内段内mkN78421.mT在在 AD 段内段内mkN37643.mT1133m43Tm21T注意注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同。：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同。47kN.m78.41TmkN56.9maxT+4.789.566.37最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。ABCDm1m2m3m4作出扭矩图作出扭矩图kN.m56.92TkN.m37.63TT 图（图（kN.m）483-4 等直圆轴
14、扭转时的应力等直圆轴扭转时的应力 强度条件强度条件一、横截面上的应力一、横截面上的应力 预先在圆杆的表面画上预先在圆杆的表面画上等间距的纵向线和圆周线等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格子。从而形成一系列的正方格子。49MeMe等直圆杆扭转变形后，等直圆杆扭转变形后，两圆周线绕杆件的轴线相对两圆周线绕杆件的轴线相对旋转了一个角度旋转了一个角度，两圆周线的两圆周线的形状和大小均未改变形状和大小均未改变;在变形微小的情况下，在变形微小的情况下，纵向线则倾斜了一个相同纵向线则倾斜了一个相同的角度的角度 。试验结果：试验结果：50：变形前垂直于轴的圆形横截面：变形前垂直于轴的圆形横截面，在变
15、形后，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。仍保持为同样大小的圆形平面。且半径仍为直线。MeMe51aabAO1O2TTdxDbD1.几何方面几何方面d 是是 bb 截面相对于截面相对于aa 截面象刚性平面一样截面象刚性平面一样绕杆轴转动的一个角度。绕杆轴转动的一个角度。d倾角倾角 是横截面圆周上任是横截面圆周上任一点一点A 处的切应变处的切应变52EG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 是横截面半径上任是横截面半径上任一点一点 E 处的切应变。处的切应变。aabAO1O2TTdxDbDdGEG经过半径经过半径 O2D 上任一点上任一点G 的的纵向线纵向线 EG。53xEGGGt
16、gddxdd此时式说明此时式说明：同一半径：同一半径 圆周上各点切应变圆周上各点切应变 均相均相同同，且其值与，且其值与 成正比。成正比。aabAO1O2TTdxDbDdGEG542.物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律GxGGdd同一圆周上各点切应力同一圆周上各点切应力 均相同均相同，且其值与，且其值与 成正比成正比，垂直与半径。垂直与半径。553.静力学方面静力学方面整个横截面上的内力元素整个横截面上的内力元素 的合力必等于零，并组成的合力必等于零，并组成一个力偶这就是横截面上的一个力偶这就是横截面上的扭矩。扭矩。roTdAdAAdAd56TAxGAdddTAAdxGGddP2dI
17、AATAxGAddd2GITxddroTdAdAAdAd57ITxGGddddGITx上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式roTdAdAAdAd58AAId2P称为横截面对圆心的称为横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩式中：式中：T 为横截面上的扭矩；为横截面上的扭矩；为求应力的点到圆心的距离：为求应力的点到圆心的距离：IT59oT（1）横截面周边各点处，切应）横截面周边各点处，切应 力将达到最大值。力将达到最大值。说明：说明：切应力与切应力与 成正比。且垂直于半径。指向与成正比。且垂直于半径。指向与 T 的转向一至。的转向一至。圆心
18、处的切应力为零。圆心处的切应力为零。maxIT60maxPPIW PmaxPmaxmaxmaxWTITITPWP 称作扭称作扭转转截面系数，单位为截面系数，单位为 mm3 或或 m3。61 圆轴扭转圆轴扭转62AIAd2P扭扭转转截面截面系数公式系数公式二、极惯性矩及二、极惯性矩及抗扭截面模量抗扭截面模量极惯性矩公式极惯性矩公式maxPPIW 63do实心圆截面实心圆截面)d(2dAd32d42PdAIA16232234PmaxPPddddIIWmaxPPIW AIAd2P64Ddod空心圆截面空心圆截面其中其中DdAIAAd2d32P)-1(32324444D)d-D()1(16232)(2
19、4344PmaxPPDDdDDIIW65ebfabcdxnfe三、斜截面上的应力三、斜截面上的应力66efb截面的外法线截面的外法线 n与与 x 轴间的夹角为轴间的夹角为 规定规定：并：并 x 轴至截面的外法线轴至截面的外法线 n 逆时针转向逆时针转向 为正，反之为负为正，反之为负x67efbx假设假设 ef 的面积为的面积为 dAeb 的面积为的面积为 dAcos bf 的面积为的面积为 dAsin 680cos)sind(sin)cosd(dAAA0sin)sind(cos)cosd(dAAAefb00)cos(dA)sin(dA efbdA dA 692sin2cos斜截面上应力的计算公
20、式斜截面上应力的计算公式ebfabcdxnfe702sin2cos0450 abcdxnfe45max45min900max71在在 =-450 和和 =+450 的两斜截面上正应力分别为的两斜截面上正应力分别为 中的中的最大值和最小值，它们的绝对值都等于最大值和最小值，它们的绝对值都等于 ，但一个为拉应力，但一个为拉应力，一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。abcdxnfe72450450minmax以上结论是纯剪切应力状态的特点，并不限于等直圆杆以上结论是纯剪切应力状态的特点，并不限于等直圆杆扭转时这一特殊情况。扭转时这一特殊情况。73 圆圆
21、轴轴扭转时扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力度条件应该是横截面上的最大工作切应力 max 不超过材不超过材料的许用切应力料的许用切应力 。四、强度条件四、强度条件圆轴扭转时的最大工作切应力圆轴扭转时的最大工作切应力 max 发生在最大扭矩所在发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点），74maxmaxWT 根据上述条件，可以解决三个方面的问题根据上述条件，可以解决三个方面的问题 （1）强度校核）强度校核（2）截面设计）截面设计 （3）确定许可荷载）确
22、定许可荷载强度条件为强度条件为75ABCmAmBmC例题例题2：图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，AB 段的直径段的直径 d1=120 mm，BC 段的段的直径直径 d2=100 mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为 mA=22 kN.m，mB=36 kN.m，mC=14 kN.m。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力 =80MPa，试，试校核该轴的强度。校核该轴的强度。76ABCmAmBmC解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图+2214mA=22 kN.mmB=36 kN.mmC=14 kN.m单位（单位（kN.m）77 MPa84641612010221633311111.).(dTWTPmaxMP
23、a3711610101416333222P2max2.).(dTWT因此，该轴满足强度要求。因此，该轴满足强度要求。分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度ABCmAmBmC+2214单位（单位（kN.m）78ll例题例题3：实心圆轴：实心圆轴和空心圆轴和空心圆轴，材料、扭转力偶矩材料、扭转力偶矩 m 和长度和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外径之比均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为为 =0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。的重量比。79解：设实心圆截面直径为解：设实心圆截面直径为 d
24、1，空心圆截面的内、外径分别为，空心圆截面的内、外径分别为 d2、D2。已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为已知两轴扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T。ld2D2ld1802max1max已知：已知：P2P1WW所以所以2211PmaxPmaxWTWTP2P1WTWTld2D2ld18116)1(164322311 DWdWPP16)1(1643231Dd因此因此194.18.0113412dD解得解得ld2D2ld182两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比。横截面积之比。512.0)8.01(194.
25、1)1(4)(4222122221222212dDddDAA 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。即节省材料。83例题例题4：图示空心圆轴外径：图示空心圆轴外径 D=100mm，内径，内径 d=80mm ，m1=6kN.m，m2=4kN.m，材料的切变模量，材料的切变模量 G=80GPa。(1)画轴的扭矩图画轴的扭矩图(2)求轴的最大切应力，并指出其位置。求轴的最大切应力，并指出其位置。m1m2ABCll84(1)画轴的扭矩图画轴的扭矩图m1m2ABCllBC段：段：1m2CT1T1+m2=0(-)2m2Cm1BT2T2+m2
26、-m1=0T2=2kN.m AB段：段：(+)4kN.m-+2kN.mT1=-4kN.m最大扭矩发生在最大扭矩发生在BC段段Tmax=4kN.m85(2)求轴的最大切应力，并指出求轴的最大切应力，并指出其位置其位置m1m2ABCllMPa534)1(1643maxmaxmax.dTWT max 最大切应力发生在截面的周边上，最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径。且垂直于半径。861.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的3-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件ddGITx是计算等直圆杆相对扭转角的依据。是计算等直圆杆相对扭
27、转角的依据。一、扭转时的变形一、扭转时的变形87xGITlldd其中其中 d 代表相距为代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。的两横截面间的相对扭转角。长为长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算ddGITx88对于同一材料制成的等直圆轴（对于同一材料制成的等直圆轴（G ，Ip 为常量），当为常量），当只在两端受一对外力偶作用时（只在两端受一对外力偶作用时（T 为常量为常量），从上，从上式可得式可得PGITlGIP 称作称作 扭转刚度扭转刚度xGITlldd89m)rad(ddPGITx2.单位长度扭转角单位长度扭转角90 在扭转问题中
28、，通常限制最大的单位长度扭转角在扭转问题中，通常限制最大的单位长度扭转角 max 不超过许可不超过许可扭转角扭转角 。max 称作许可称作许可单位长度扭转角。单位长度扭转角。二、刚度条件二、刚度条件91圆轴扭转时的刚度条件是圆轴扭转时的刚度条件是m)rad(PmaxmaxGITm)(180PmaxmaxGIT92例题例题5：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。：图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知已知：m1=1592 N.m，m2=955 N.m，m3=637 N.m。截截面面 A与截面与截面 B、C 之间的距离分别为之间的距离分别为 lAB=300 mm 和和 lAC=500 mm。轴的直径。轴的直
29、径d=70 mm，钢的切变模量为，钢的切变模量为 G=80 GPa。试求截面试求截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角。的相对扭转角。m1m2m3lABlACBCA1293解法解法 1：设截面：设截面 B 固定不动固定不动BAACBCm1m2m3lABlACBCA1294BAACBCm1m3lABlACBCA12m2TABTAB=m2GIlmGIlTPABPABABBA2m295BAACBCm1m3lABlACBCA12TAB=m2GIlmGIlTPABPABABBA2m3TACTAC=-m3GIlmGIlTPACPACACAC3m296BAACBCm1m3lABlACBCA12radGIl
30、mGIlmPABPACBAACBC1071423 .转向与转向与 m3 同同m2GIlmGIlTPABPABABBA2GIlmGIlTPACPACACAC397m1m2m3lABlACBCA12解法解法2：假设：假设 A截面不动，先分别计算截面截面不动，先分别计算截面 B、C 对截对截 面面 A 的相对扭转角的相对扭转角 AB 和和 AC。98m1m2m3lABlACBCA12ABrad10521070321080309553491.GIlTPABAB与与m2转向同转向同99m1m2m3lABlACBCA12ABACrad10691070321080506373492.GIlTPACAC与与m
31、3转向同转向同100m1m2m3lABlACBCA12ABAC截面截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC 为为rad10714.ABACBC转向与转向与 m3 相同相同101解法解法 3：设截面：设截面 B 固定不动固定不动，先分别计算先分别计算 m1、m3 单独作用下单独作用下截面截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC1 和和 BC2，然后叠加，即，然后叠加，即采用采用 叠加法叠加法。m1m3lABlACBCA12m2102lABlACBCA12m1 BA BC1GIlmPAB1BABC1m1单独作用下截面单独作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭
32、转角的相对扭转角 BC1 103lABlACBCA12m3 BC2IGllmPACABBC)(32m3 单独作用下截面单独作用下截面 C 对截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角 BC2，10421BCBCBC rad10714-.GIlmPAB1 IGllmPACAB)(3转向与转向与m3同同C 截面对截面截面对截面 B 的相对扭转角的相对扭转角105例题例题6：某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 号钢的电焊钢管制成，号钢的电焊钢管制成，钢管外径钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩m=1.98KNm,材料的许用切应力材料的许用切应力 =1
33、00MPa，切变模量为切变模量为 G=80GPa，轴的轴的许可许可扭角扭角 =2 /m。试校核轴的。试校核轴的强度和刚度。强度和刚度。Ddtmm106Ddtmm解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩kN.m98.1 mT轴的内、外径之比轴的内、外径之比934.02DtDDd1073mm0622.DIW4544Pmm1082.732)1(DIDdtmm108由由1808110maxmGIT.PmaxMPa196maxmax.WT由由 109MPa196163maxmax.dT将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPad=47.2
34、mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的截面面积为实心轴的截面面积为mmdA1749422实实空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为mmA5774)7176(222空空110两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的两轴材料、长度均相等同，故两轴的重量比等于两轴的横截面积之比横截面积之比，512.0)8.01(194.1)1(4)(4222122221222212dDddDAA 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料。轻，即节省材料。111例例 题题7：轴上有三个齿轮。轴的转速为轴上有三个齿轮。轴的转速为 n=183.5r/min
35、,G=80GPa。齿轮。齿轮 2 的传动功率的传动功率 P2=0.756 kW，齿轮，齿轮4 的传动功率的传动功率 P4=2.98 kW。轴的轴的 =40MPa，=1.50/m。设计轴的直径。设计轴的直径。m2m3m4112m2m3m4mN3.392mmN1554m画轴的扭矩图画轴的扭矩图+-39.3N.m155N.mmN155maxT113 163maxmaxmaxDTWT由强度条件由强度条件m0272.0DmN155maxT114由刚度条件由刚度条件 180321804maxmaxDGTGITmaxm0297.0D取取 D=30mm115例题例题8：圆轴如图所示。已知：圆轴如图所示。已知
36、d1=75mm，d2=110mm。材料的许用剪应力材料的许用剪应力=40MPa，轴的，轴的许用单位扭转角许用单位扭转角 =0.8/m，切变模量切变模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m116d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：画扭矩图解：画扭矩图 MPa1.3016108323222dWT+8kN.m3kN.m MPa2.3616103313111dWT满足强度要求满足强度要求117d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m解：解：+8kN.m3kN.m满足刚度要求满足刚度要求40180222m.G
37、IT690180111m.GIT118例题例题9：图示等直杆，已知直径：图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的切变模量材料的切变模量G=80GPa，DB=1。试求：。试求：(1)AD杆的最大杆的最大切切应力；应力；(2)扭转角扭转角 CA。aa2am2m3mABCD119解：画扭矩图解：画扭矩图aa2am2m3mABCD+m2m3m120aa2am2m3mABCD计算外力偶矩计算外力偶矩 m DB=CB+DC=1011802 )(GImaGImaPPm=292kN.mTmax=3m=876kN.m最大的扭矩为最大的扭矩为已知已知：DB=1+m2m3m121aa2am2m3mA
38、BCD+m2m3m(1)AD 杆的最大杆的最大切切应力应力MPa769maxmax.WT(2)扭转角扭转角 CA CA=BA+CB3321802300.)(GIamGIamPP122dxdydzxyzabd一、纯剪切应力状态下的比能一、纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下因此变形后右侧将向下移动移动 dx。3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 dx123因为变形很小，所以在变形过程中上，下两面上的外力将不作功因为变形很小，所以在变形过程中上，下两面上的外力将不作功。dxdydzxyzabd dx只有右侧面的外力只有右侧面的外力(dy
39、dz)对相应的位移对相应的位移(dx)作了功作了功。124dxdydzxyzabd dx当材料在线弹性范围内内工作时，单元体上外力所作的功为当材料在线弹性范围内内工作时，单元体上外力所作的功为)ddd(21)d()dd(21dzyxxzyWedV125dxdydzxyzabd dx21ddd)ddd(21ddddeezyxzyxVWVV 应变能密度为应变能密度为126将将 =G 代如上式得代如上式得GGe222221e127MeMe二、等直圆杆扭转时应变能的计算二、等直圆杆扭转时应变能的计算由实验得出，当外力偶由实验得出，当外力偶 Me 在某一范围内时，在某一范围内时，与与Me（在数（在数值上等于值上等于T）成正比。）成正比。方法一：由功能原理求应变能方法一：由功能原理求应变能 oT128MeMe oTWVe21GITlGIlT22由功能原理：由功能原理：Ve=W TGIlTVe22129AelVeexAvVvVdddAlexAGVdd22GGve2222xAGITAldd22ITAITGlAd22222GIlT法二：由比能求应变能法二：由比能求应变能130PGITl将将代入上式得代入上式得22lGIVPe22GIlTVe131矩形截面扭转矩形截面扭转132开口圆筒扭转开口圆筒扭转133矩形截面扭转切应力矩形截面扭转切应力
