1、 内蒙古呼和浩特市内蒙古呼和浩特市 2019 届高三届高三 3 月第一次质量普查调研考试月第一次质量普查调研考试 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 60.0分）分） 1.已知集合， 2，则 A. B. C. D. 2， 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出集合 A，然后进行交集的运算即可 【详解】由题得， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义以及交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 2.若复数，则 z 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利
2、用复数代数形式的乘法运算得 z,再求 得解. 【详解】由题得， 得 故选：C 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数的基本概念，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力. 3.已知等差数列满足，则它的前 8 项的和为 A. 95 B. 80 C. 40 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 由等差数列的性质和已知条件可得，进而可得，根据求和公式计算即可 【详解】等差数列满足， ， ， ， 数列的前 8 项之和， 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算和等差数列的求和公式和性质，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力. 4.在平面直角
3、坐标系中，角 的终边过，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得 的值 【详解】在平面直角坐标系中，角 的终边过， 则， 故选：B 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 5.函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可 【详解】函数， 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 C，D， ，排
4、除 B， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是 解决本题的关键 6.政府为了调查市民对 A、B 两服务部门的服务满意度情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对两部 门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图： 则下列说法正确的是 A. 这 50 位市民对 A、B 两部门评分的方差，A 部门的评分方差大 B. 估计市民对 A、B 两部门的评分高于 90 的概率相同 C. 这 50 位市民对 A 部门的评分其众数大于中位数 D. 该市的市民对 B 部门评分中位数的估计值是 67 【答案】D 【解析】 【分析
5、】 根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可 【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数， 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差， 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大， 由茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90的比率分别为， 故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率得估计值分别为， 故 A，B，C错误； 由茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第 25，26位的是 75，75，故样本的中位数是 75， 所以该市的市民对甲部门的评分的
6、中位数的估计值是 75 50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第 25，26位的是 66，68， 故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是 67， 故 D 正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题 7.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹 节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出 m 的值为 67，则输入 a 的值为 A. 7 B. 4 C. 5 D. 11 【答案】C 【解析】 模拟程序框图的运行过程，如下： 输入 ，
7、； ，； ，； ，； 输出，结束； 令，解得. 故选 C. 8.在一次学校组织的中华传统文化知识竞赛中，甲乙丙三个小组参加比赛，比赛共分两个阶段，每一题答对 得 5分，不答得 0 分，答错扣 3 分已知甲组在第一阶段得分是 80 分，进入第二阶段甲组只答对了 20 道题， 则下列哪一个分数可能是甲组的最终得分 A. 195 B. 177 C. 179 D. 178 【答案】B 【解析】 【分析】 先阅读题意，再进行简单的合情推理，设进入第二阶段甲组答错了 n 道题，则甲组的最终得分为 ，逐一检验即可得解 【详解】设进入第二阶段甲组答错了 n道题，则甲组的最终得分为， 当时，甲组的最终得分可以为
8、 177， 故选：B 【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属简单题 9.已知三棱锥中，平面 ABC， ，则三棱锥的外接球 的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出图形，求出 PB的长度，然后利用分割补形法求解 【详解】如图， 平面 ABC， ， 又，把三棱锥补形为长方体， 则长方体对角线长为， 则三棱锥外接球的半径为， 三棱锥的外接球的表面积为 故选：B 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题 10.已知抛物线的焦点为 F，M，N是抛物线上两点，若 ，则线段 MN的中点 P 到 x轴 的距离为 A. B. C.
9、 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意，可求得抛物线的焦点坐标与准线方程，利用抛物线的定义将 M、N到焦点的距离转化为其到准线的 距离计算即可 【详解】 抛物线的焦点为，准线为， 过 M，N分别作准线的垂线， 则, 所以， 所以中位线， 所以中点 P 到 x轴的距离为 故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将 M、N到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算 能力，属于中档题 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示若该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 该几何体是由半
10、个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果 【详解】 该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形， 其表面积 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力 12.函数的导函数，对 ，都有成立，若，则满足不等式的 x 的范围 是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意构造新函数，由题意结合函数的单调性求解不等式的解集即可 【详解】令，则，故函数单调递增， 且，不等式即，即， 结合函数的单调性可得满足不等式的 x的范围是 故选：A 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，
11、函数单调性的应用等知识，属于中等题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0分）分） 13.已知，是单位向量，且与夹角为 ，则等于_ 【答案】3 【解析】 14.某班共有学生 60 名，座位号分别为 01，02，现根据坐位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 03号、18 号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为_号 【答案】33 【解析】 【分析】 先求出抽样间隔，再由 03 号、18 号、48 号同学在样本中，求出样本中另外一位同学的座位号为 号 【详解】某班共有学生 60名，座位号分别为 01，02，现根据坐位号， 用系统抽
12、样的方法，抽取一个容量为 4的样本， 抽样间隔， 号、18 号、48 号同学在样本中， 则样本中另外一位同学的座位号为号 故答案为：33 【点睛】本题考查样本中另外一位同学的座位号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 15.已知直线与 x，y轴分别交于 A，B 两点，动点 P 在圆 上，则面 积的最大值为_ 【答案】12 【解析】 【分析】 根据题意，求出直线与 x，y轴的交点坐标，即可得 A、B的坐标，分析可得当 P 到直线 AB的距 离最大时，面积的最大，结合直线与圆的位置关系可得 P 到直线 AB 的距离最大值，由三角形面积公 式计算可得答案 【详解】根据题
13、意，直线与 x，y轴分别交于 A，B两点， 则， 动点 P 在圆上，当面积的最大时，P 到直线 AB的距离最大， 圆，即，其圆心为，半径, 直线即， 则 P 到直线 AB 的距离最大值为， 则面积的最大值为, 故答案为：12 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将面积转化为 P 到直线的距离，属于基础题 16.在数列中，若， ，则该数列的前 100 项的和是_ 【答案】5 【解析】 【分析】 本题通过列举出前几项可观察出数列是一个周期数列，然后可利用周期数列的特点求出该数列的前 100 项的和 【详解】由题意，可知： ， ， ， ， ， ， ， ， 由以上列举出来的前 9项，可知数列是最小
14、正周期为 6的周期数列 ， 一个周期内的和为：， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查周期数列的判断以及根据周期数列的特点求出它的前 n 项和，本题属中档题 三、解答题（本大三、解答题（本大题共题共 7 小题，共小题，共 82.0分）分） 17.如图，D 是直角斜边 BC 上一点， 若，求的大小； 若，且，求 AD 的长 【答案】，或 【解析】 【分析】 由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得由已知 在中，由勾股定理可得，令，由余弦定理， 即可解得 AD的值 【详解】， ， 在中，由正弦定理可得：， ， ，或， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得：，可得：， ， 令，由余弦定理： 在中， 在
15、中， 可得：， 解得：，可得： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题 18.如图，平面四边形 ABCD，沿 BD折起，使 证明：为直角三角形； 设 B在平面 ACD内的射影为 P，求四面体 PBCD的体积 【答案】 【解析】 【分析】 求出，从而，由此能证明是直角三角形由 ，得平面 ABC，从而平面平面 ACD，其交线为 AC，进而过 B 点作 AC 的垂直， 垂足为 P，点 P 即为 B在平面 BCD 内的射影，P 为 AC 的中点，由此能求出四面体 PBCD 的体积 【详解】证明：在中， ， ， 是直角三角形 由知，
16、，平面 ABC， 平面平面 ACD，其交线为 AC， 故过 B点作 AC的垂直，垂足为 P，点 P 即为 B在平面 BCD 内的射影， P 为 AC的中点， 四面体 PBCD的体积. 【点睛】本题考查直角三角形的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶 3 元，售价每瓶 5元，每天未售出的饮料 最后打 4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低 于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间，需求
17、量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 六月份这种饮料一天的需求量不低于 300瓶的概率； 设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶当 时，写出 Y关于 n的函数，并估计这种进货量亏损的概率有多大 【答案】 【解析】 【分析】 根据最高气温不低于 20 的天数所占的比例得出概率；对最高气温所在区间进行讨论得出 Y 关于 n 的函 数，再计算亏损的概率
18、【详解】前三年六月份各天最高气温位于区间的天数为， 六月份这种饮料一天的需求量不低于 300 瓶的概率为 当最高温度不低于 25时， 当最高温度位于区间时， 当最高气温低于 20 时， 前三年六月份各天最高气温低于 20 的天数为， 亏损的概率 【点睛】本题考查了数据处理与概率应用，考查古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 20.已知函数， 讨论函数在定义域上的单调性； 当时，求证：恒成立 【答案】见解析 【解析】 【分析】 求 出 函 数 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ； 代 入 a 的 值 ，
19、令 ，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求 出函数的最小值，从而证明结论 【详解】， 当时，在递减， 当时，时， 时， 故在递减，在递增. 当时， 令， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， 故，显然成立， 故恒成立 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合 题 21.已知椭圆 C：过点，其左右焦点分别为 ，三角形的面积为 求椭圆 C 的方程； 已知 A，B 是椭圆 C 上的两个动点且不与坐标原点 O 共线，若的角平分线总垂直于 x 轴，求证：直线 AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形 【答案
20、】见解析 【解析】 【分析】 由题意可得，解得，则椭圆方程可求；设直线 PA 的方程为， 联立直线方程和椭圆方程，求得 A的横坐标，同理求得 B的横坐标，进一步求得 A、B的纵坐标的差，代入 斜率公式得答案 【详解】由题意可得，解得， 故椭圆 C 的方程为， 证明：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 BP 的斜率为， 设，直线 PA 的方程为，即 联立，得 ，即 设直线 PB的方程为，同理求得 ， 直线 AB的斜率， 易知 l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为 0， 直线 AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计
21、算能力，属中档题 22.在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线 1 的极坐标方程为，设 1 与曲线，异于极点的交点分别为 A，B 当时，求； 求 AB 中点轨迹的直角坐标方程 【答案】，去掉， 【解析】 【分析】 用直线 l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；先求出 AB的中点的 轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程 【详解】当时，联立得； 同理得，由极径的几何意义有 由已知令， ，P 为 AB的中点， ， 即， 所以 P 点的轨迹的直角坐标方程为， 因为直线 l不与
22、坐标轴重合，所以需去掉， 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 23.已知函数 在给出的直角坐标系中画出函数的图象； 若关于 x 的不等式的解集包含，求 m 的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 ，画图即可；关于 x 的不等式的解集包含，可得 在上恒成立，解得即可. 【详解】，其图象为 关于 x 的不等式的解集包含， 即在上恒成立， ， 即， ，上恒成立， ， 故 【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形 结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
