1、 西安市西安市 2019 届高三年级第一次质量检测届高三年级第一次质量检测 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1. 1. 本卷共本卷共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟. .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题 卡上卡上. . 2. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. .回答非选择题时
2、，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上. .写在本试卷上写在本试卷上 无效无效. . 3. 3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. . 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集，集合， ，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得：， 则集合 . 本题选择 A选项. 2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
3、,选 D. 3.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ） （A）直线 AA1 （B）直线 A1B1 （C）直线 A1D1（D）直线 B1C1 【答案】D 【解析】 试题分析： 只有与在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与都是异面直线，故选 D 考点：异面直线 4.的展开式的常数项是（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值 【详解】 ， 展开式的常数项. 故选:D. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中
4、指定项的系数，属于基础题 5.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为有两个零点，所以排除 B；当时，排除 C；当时，排 除 D,故选 A 6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排 法共有（ ） A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 【答案】B 【解析】 试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最 前排乙，最后有 4 种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法. 考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排
5、列知识. 7.若直线：与圆 ：无交点，则点 与圆 的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式 判断，可得出结论 【详解】直线：与圆 ：无交点，则，即， 点在圆 内部. 故应选 C. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式， 以及两点间的距离公式，属于基础题. 8.已知函数的图象关于 轴对称，且函数 在上单调，若数列是公差不为 0 的等差数 列，且，则的前 21 项之和为（ ）
6、 A. 0 B. C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数 yf（x+1）的图象关于 y 轴对称，可得 yf（x）的图象关于 x1 对称，由题意可得， 运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和 【详解】 函数的图象关于 轴对称， 平移可得的图象关于对称， 且函数在上 单调，由数列是公差不为 0 的等差数列，且，可得，所以， 可得数列的前 21 项和. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力， 属于中档题 9.中，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用
7、余弦定理可求 c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积 【详解】中，且， 由余弦定理可知 ，； 又， 由正弦定理可知外接圆半径为. 所以外接圆面积为. 故应选 C. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题 10.已知 ， ， 在球 的球面上，直线与截面所成的角为，则球 的 表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成 30角， 求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案 【详解】在中，由余弦定理得到求得， 由勾股定理得为直角，中点
8、即所在小圆的圆心， 平面，且小圆半径为 1， 又直线与截面所成的角为， 在直角三角形中，球的半径为, 球 的表面积为. 故应选 D. 【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的 关键，属于中档题 11.设 为双曲线 ：的右焦点，若直线的斜率与 的一条渐近线的斜率的乘 积为 3，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 设出焦点坐标，根据已知列出关于 a、b、c 的方程，然后求解离心率 【详解】设 为，若直线与 的一条渐近线的斜率乘积为 3，可得：， 可得，即， 可得，解得. 故应选 B. 【点睛】本
9、题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题 12.设函数，若实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：对函数求导得，函数单调递增，由 知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，由 知，所以. 考点：利用导数求函数的单调性. 【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增， ， 进一步求得函数的零点； 同理对函数 求导，知在定义域内单调递增，由知的零点，所以 . 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题小题. . 13.已知向量 与 的夹角为，则_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据题意，设| |t，
10、（t0） ，由数量积的计算公式可得 ，进而由|，平方可得 9+3t+t 2 13，解得t的值，即可得答案 【详解】根据题意，设| |t， （t0） ， 向量 与 的夹角为 60，| |3，则 ， 又由|，则（） 22+2 29+3t+t213， 变形可得：t 2+3t40， 解可得t4 或 1， 又由t0，则t1； 故答案为 1 【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题 14.设函数在点 处的切线方程为，则_ 【答案】3 【解析】 【分析】 对求导，得在点处的切线斜率，由切线方程的斜率，即可得到 a 的值 【详解】函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函 数在点
11、处的切线方程为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题 15.设， ，若对任意实数 都有，则满足条件的有序实数对的对数为 _ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得 a、b 即可 【详解】对于任意实数 都有， 则函数的周期相同，若， 此时， 此时， 若，则方程等价为 ， 则，则， 综上满足条件的有序实数组为，共有 2 组. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数 的诱导公式进行转化是解决本题的关键 16.已知 是抛物线的焦点， ， 是该抛物线上的
12、两点， ，则线段的中点到准线的距离 为_ 【答案】 【解析】 试题分析： 设 A、 B 的横坐标分别是 m、 n， 由抛物线定义， 得=m+ +n+ = m+n+ =3， 故 m+n= ， ，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 考点：本题考查了抛物线的性质 点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法 三、解答题三、解答题. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知数列的前 项和满足： （为常数，且，）. （1）证明：成等比数列； （2）设，若数列为等比数列，求的通项公式. 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析
13、】 （1）代入n1 得a1t当n2 时，由（1t）Sntan+t，得， （1t）Sn1tan1+t作差得antan 1，由此能证明an是等比数列 （2）由，分别求得，利用数列bn为等比数列，则有，能求出t 的值 【详解】 （1）由， 当时，得， 当时，即， ， 故成等比数列. （2）由（1）知是等比数列且公比是， 故，即， 若数列是等比数列，则有， 而，. 故，解得， 再将代入得：. 【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能 力，属于中档题 18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了 55 名市民，得到数据如下表
14、： 喜欢 不喜欢 合计 大于 40 岁 20 5 25 20 岁至 40 岁 10 20 30 合计 30 25 55 （1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？ （2）已知 20 岁到 40 岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有 3 位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从 20 岁到 40 岁的 10 位市民中，选出 3 名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为 ，求 的分布列、数学期望. （参考公式：，其中） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】
15、 （1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）计算 K 2的值，与临界值比较，即可得到结论； （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【详解】 （1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人文景观” 景点与年龄有关. （2）随机变量 可能取得值为 0，1，2，3. ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 则. 【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于 中档题 19.如图所示，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形， ，. （1）求证：平面平面； （2）若
16、 为中点，求二面角的大小. 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 （1）取 AB 中点 H，连结 PH，推导出 PHAB，由勾股定理得 PHHC，从而 PH平面 ABCD，由此能证明平面 PAB平面 ABCD （2）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以 HP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 H xyz，利用向量法能求出二面角 【详解】 （1）取中点 ，连接，是正三角形， 为中点， ，且.是矩形， .又，. ，平面.平面，平面平面. （2）以 为原点,HA 为 x 轴，在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以
17、HP 为 z 轴，建立建立如图所示的空间 之间坐标系，则，则， .设平面的法向量为，由，解得，即平面的一个法向 量为.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为 ， ，又， 二面角的平面角为 . 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题 20.已知椭圆 ：的短轴长为，离心率为 ，过右焦点 的直线与椭圆 交于不同两点 ， .线段的垂直平分线交 轴于点. （1）求椭圆 的方程； （2）求的取值范围. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意可知：2b2，则a2c，代入
18、a 2b2+c2，求得 a，即可求得椭圆C的标准方程； （2）分类讨论，设直线MN的方程为yk（x1） （k0） ，代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程， 令x0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并 集得到的取值范围 【详解】 （1）由题意可得：，又， 联立解得，. 椭圆 的方程为. （2）当斜率存在时，设直线的方程为，中点， 把代入椭圆方程，得到方程， 则， 所以的中垂线的方程为，令，得， 当时，则； 当时，则， 当斜率不存在时，显然， 当时，的中垂线为 轴. 综上，的取值范围是. 【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用
19、，考查基本不等式的运用， 确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题 21.已知函数. （1）若，且函数在其定义域内为增函数，求实数 的取值范围； （2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1），求其导函数，利用 F（x）在定义域（0，+）内为增函数，得0 在（0，+） 上恒成立，得，设，利用导数求最大值可得正实数 p 的取值范围； （2）设函数f（x）g（x）px，x1，e，转化为 在1，e上至少存在一点 x0，使得求函数的导函数，然后对 p 分类求 的最大值即可. 【详解】 （1），. 由定义域内为增函数，所以在上恒
20、成立， 所以即，对任意恒成立， 设，=0 的根为 x=1 得在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，即. （2）设函数， 因为在上至少存在一点，使得成立，则 ， 当时，则在上单调递增，舍； 当时， ，则，舍； 当时， 则在上单调递增，得， 综上，. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转 化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题 22.选修 4-4：坐标系及参数方程 已知曲线的参数方程为（ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点 到坐标原点
21、 的距离的最大值； （2）若曲线与曲线相交于 ， 两点，且与 轴相交于点 ，求的值. 【答案】 （1），（2） 【解析】 【试题分析】 (I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线 的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值. 【试题解析】 （）由得， 即曲线的直角坐标方程为 根据题意得， 因此曲线上的动点 到原点 的距离的最大值为 （）由（）知直线与 轴交点 的坐标为，曲线的参数方程为:， 曲线的直角坐标方程为 联立得8分 又， 所以 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （）； （）. 【解析】 试题分析： （）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集； （）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数 的取值范围. 试题解析： （）当时，.由，解得. 所以，不等式的解集为. （） （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号）. 综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或. 所以，实数 的取值范围为.
