1、 2020 届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文） 试题试题 一、单选题一、单选题 1 设集合 设集合1,2,3M ， 2 2,2Naa， 且， 且3MN， 则实数， 则实数 a 的值为的值为( ) A1 或或-1 B-1 C1 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 A 与 B 的交集，得到元素 3 属于 A，且属于 B，列出关于 a 的方程，求出方 程的解得到 a 的值，经检验即可得到满足题意 a 值 【详解】 AB3， 3A 且 3B， a+23 或 a2+23， 解得：a1 或 a1， 当 a1 时，a+23，a2+23，
2、与集合元素互异性矛盾，舍去； 则 a1 故选：B 【点睛】 此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关 键 2 已知 已知 AB 是抛物线是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，的一条焦点弦，4AB ， 则， 则 AB 中点中点 C 的横坐标是的横坐标是 ( ) A2 B 3 2 C 1 2 D 5 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先设AB，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中 点的横坐标. 【详解】 设 1122 A,B,x yx y，C 的横坐标为 0 x，则 12 0 2 x x x ， 因为AB是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，
3、所以 1212 14ABxxpxx ， 所以 12 3xx，故 12 0 3 22 x x x . 故选 B 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质， 只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求 解，属于基础题型. 3已知已知 n a是等比数列，且是等比数列，且0 n a ， 243546 225a aa aa a ，那么，那么 35 aa的值等于的值等于 （ ） A5 B10 C15 D20 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：由于 n a是等比数列， 2 465 a aa， 2 24354635 225,a aa aa aaa 又0 n a 35 +5aa.故选 A. 【考点
4、】等比中项. 4与双曲线与双曲线 22 1 916 xy 有共同的渐近线有共同的渐近线,且经过点且经过点( 3,2 3)的双曲线的一个焦点到一的双曲线的一个焦点到一 条渐近线的距离是条渐近线的距离是 ( ) A1 B2 C4 D8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公 式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】 设双曲线方程为 22 916 xy ， 将点( 3,2 3)代入双曲线方程， 解得 22 14 ,1 494 xy . 从而所求双曲线方程的焦点坐标为 5 ,0 2 ,一条渐近线方程为 4 3 yx， 即 4
5、x-3y=0， 所以焦点到一条渐近线的距离是 10 2 9 16 ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到 直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5是边长为是边长为 的等边三角形，已知向量的等边三角形，已知向量 ， 满足满足，则下列，则下列 结论正确的是（结论正确的是（ ） A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】试题分析：, 由题意知 故 D 正确 【考点】1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直 6存在函数存在函数 ( )f x满足，对任意 满足，对任意xR都有（都有（ ） A(sin2
6、 ) sinfxx B 2 (sin2 )fxxx C 2 (1)1f xx D 2 (2 )1f xxx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【详解】 A：取，可知 ，即，再取，可知 ，即，矛盾，A 错误；同理可知 B 错误，C：取，可 知 ，再取，可知，矛盾，C 错误，D：令， ，符合题意，故选 D. 【考点】函数的概念 7已知双曲线已知双曲线的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为，离心率为，离心率为， 为双曲线右为双曲线右 支上一点，且满足支上一点，且满足，则，则的周长为（的周长为（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 双曲线的左、 右焦点分别为， ， 离心率为，
7、可得， ， 由得 ，的周长为，故选 C. 8 函数 函数为为R上的可导函数， 其导函数为上的可导函数， 其导函数为 fx， 且， 且 3sincos 6 f xfxx ， 在在ABC中，中， 1f AfB ，则，则ABC的形状为的形状为 A等腰锐角三角形等腰锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C等边三角形等边三角形 D等腰钝角三角等腰钝角三角 形形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】求函数的导数，先求出1 6 f ，然后利用辅助角公式进行化简，求出 A， B 的大小即可判断三角形的形状 【详解】 函数的导数 3 cossin 6 fxfxx ， 则 3131 3 cossin3 666626
8、2262 ffff ， 则 11 262 f ，则1 6 f ， 则 3cossin2cos 6 fxxxx ， 3sincos2cos 3 f xxxx ， 1f AfB， 2cos1 6 fBB ，即 1 cos 62 B ， 则 63 B ，得 6 B ， 2cos1 3 fAA ，即 1 cos 32 A ， 则 33 A ，则 2 3 A ， 则 2 366 C ， 则BC， 即ABC是等腰钝角三角形， 故选 D 【点睛】 本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数 f x和 fx的解析式是 解决本题的关键 9如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和
9、俯视图，如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图， 则该三棱锥的主视图可能是（则该三棱锥的主视图可能是（ ） A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥， 由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图 P-ABC 所示： 顶点 P 在以 BA 和 BC 为邻边的平行四边形 ABCD 上的射影为 CD 的中点 O， 故该锥体的正视图是：A 【考点】三视图 10已知已知( )sin 2019 cos 2019 63 f xxx 的最大值为的最大值为A，若存在实数，若存在实数 1 x、 2 x，使得对任
10、意实数，使得对任意实数x总有总有 12 ( )f xf xf x成立，则成立，则 12 A xx的最小值为的最小值为 （ ） A 2019 B 4 2019 C 2 2019 D 4038 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 先化简 2sin 2019 3 f xx ， 得2A ， 根据题意即求半个周期的 A 倍 【详解】 解：依题意 sin2019 coscos2019 sincos2019 cossin2019 sin 6633 f xxxxx 3sin2019cos2019xx , 2sin 2019 6 x ， 2A， 2 2019 T ， 12 | 22019 min T xx ，
11、 12 A xx的最小值为 2 2019 ， 故选：C 【点睛】 本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题 11已知椭圆已知椭圆 2 2 2 1 01 y xb b 的左焦点为的左焦点为F，左、右顶点分别为，左、右顶点分别为AC，上顶点，上顶点 为为B过过FB C， ，作圆作圆P，其中圆心，其中圆心P的坐标为的坐标为mn，当当0mn时，椭圆离心时，椭圆离心 率的取值范围为（率的取值范围为（ ） A 2 0 2 ， B 1 0 2 ， C 3 0 2 ， D 6 0 5 ， 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分别求出线段 FA 与 AB 的垂直平分线方程，联立解出圆
12、心坐标 P，利用 m+n 0，与离心率计算公式即可得出 【详解】 如图所示， 线段FC的垂直平分线为： 2 11 2 b x ， 线段BC的中点 1 2 2 b ， BC kb=-， 线段BC的垂直平分线的斜率 1 k b 线段BC的垂直平分线方程为： 11 22 b yx b =， 把 2 11 2 b xm = 代入上述方程可得： 22 1 2 bb yn b 0mn， 222 111 0 22 bbb b + 化为： 2 1bb ，又01b， 解得 2 1 2 b 2 2 10 2 c ecb a = =， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线
13、方程、三角形外心 性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12 设 设 2 2 D22 x xaeaa ,其中其中2.71828e， 则， 则D的最小值为的最小值为( ) A 2 B3 C 21 D 31 【答案】【答案】C 【解析】【解析】分析：由 2 ()(2) x xaea 表示两点( ,) x C x e与点( ,2)A aa的距离， 而点A在抛物线 2 4yx上，抛物线的焦点 (1,0)F ，准线为1x，则D表示A与C 的距离和A与准线的距离的和加上 1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加 上 1，画出图象，当,F A C三点共线时，可求得最小值. 详解：由题意0a
14、， 2 ()(2)2 x Dxaeaa ， 由 2 ()(2) x xaea 表示两点( ,) x C x e与点( ,2)A aa的距离， 而点A在抛物线 2 4yx上，抛物线的焦点 (1,0)F ，准线为1x， 则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1， 由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上 1， 由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线 x ye的垂线，此时D取得最小值， 即Q为切点，设( ,) m m e， 由 0 1 1 m m e e m ，可得 2 1 m me， 设 2m g mme，则 g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q， 即有1 12FQ ，
15、则D的最小值为 21 ，故选 C. 点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和 抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推 理与运算能力，属于中档试题. 二、填空题二、填空题 13南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经 ，在这本算经中，张邱建对等南北朝时，张邱建写了一部算经，即张邱建算经 ，在这本算经中，张邱建对等 差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：差数列的研究做出了一定的贡献例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，今有十等人，每等一人， 宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤
16、，持出，中宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中 间三人未到者，亦依间三人未到者，亦依等次更给等次更给”，则某一等人比其下一等人多得，则某一等人比其下一等人多得_斤金 （不作近斤金 （不作近 似计算）似计算） 【答案】【答案】 7 78 【解析】【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为 d，根据题意和等 差数列的前 n 项和公式列出方程组，求出公差 d 即可得到答案 【详解】 设第十等人得金 1 a斤，第九等人得金 2 a斤，以此类推，第一等人得金 10 a斤， 则数列 n a构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
17、由题意得 8910 1234 4 3 aaa aaaa ，即 1 1 3244 463 ad ad ， 解得 7 78 d=， 所以每一等人比下一等人多得斤金 7 78 【点睛】 本题主要考查了等差数列的定义、前 n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想， 属于中档题 14 已知直线 已知直线l经过抛物线经过抛物线 2 : 4 x C y 的焦点的焦点F， 与抛物线交于， 与抛物线交于A、B， 且， 且 8 AB xx， 点点D是弧是弧AOB（O为原点）上一动点，以为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线l相切，当圆相切，当圆D的面积的面积 最大时，圆最大时，圆D的标准方程为
18、的标准方程为_ 【答案】【答案】 22 445xy 【解析】【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB的斜率，可得出直线l的方程， 再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，由此求出点D的坐标，并计 算出点D到直线l的距离，作为圆D的半径，由此可得出圆D的标准方程. 【详解】 抛物线的标准方程为 2 4xy，抛物线的焦点坐标为0,1F， 直线AB的斜率 22 1 4 2 4 AB ABAB ABAB xx yyxx k xxxx ， 所以，直线l的方程为21yx，即210xy . 当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，如下图所示： 设点 2 , 4 t D t ，点D在直
19、线l的下方，则 2 210 2 t t ， 点D到直线l的距离为 2 21 2154 44 55 t tt d ，当4t 时，d取最大值5， 此时，点D的坐标为4,4，因此，圆D的标准方程为 22 445xy. 故答案为： 22 445xy. 【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问 题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能 力，属于中等题. 15 如图 （ 如图 （1） ， 在等腰直角） ， 在等腰直角ABC中， 斜边中， 斜边4AB ， D 为为AB的中点， 将的中点， 将ACD沿沿CD 折叠得到如图（折叠得到
20、如图（2）所示的三棱锥）所示的三棱锥CABD，若三棱锥，若三棱锥CABD的外接球的半径为的外接球的半径为 5，则 ，则A DB_. 图（图（1） 图（图（2） 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是 5，以及已有的边的长度 和角度关系，分析即可解决 【详解】 解：球是三棱锥 CABD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图 根据题意，CD平面 ABD， 取 CD 的中点 E，AB 的中点 G，连接 CG，DG， 因为 ADBD，CD平面 ABD， 所以 A和 B 关于平面 CDG 对称， 在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，
21、则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设 为图中的 O 点位置，过 O 作直线 CD 的平行线，交平面 ABD 于点 F， 则 OF平面 ABD，且 OFDE1， 因为 AF 在平面 ABD 内，所以 OFAF， 即三角形 AOF 为直角三角形，且斜边 OAR 5 ， AF 22 5 1ROF 2， 所以，BF2， 所以四边形 ADBF 为菱形， 又知 ODR，三角形 ODE 为直角三角形， OE 22 5 1RDE 2， 三角形 ADF 为等边三角形， ADF 3 ， 故ADB 2 3 ， 故填： 2 3 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题
22、 16已知已知ABC的三边分别为的三边分别为a，b，c，所对的角分别为，所对的角分别为A，B，C，且满足，且满足 113 abbcabc ，且，且ABC的外接圆的面积为的外接圆的面积为3，则，则 cos24sin1f xxacx的最大值的取值范围为的最大值的取值范围为_ 【答案】【答案】12,24 【解析】【解析】由ABC的三边分别为a，b，c可得： 113 abbcabc ，3 abcabc abbc 1 ca abbc 可知： c bca ababbc 222 acacb 222 1 cos 22 acb B ac ， 3 B 2 3R，3R 2 sinsinsin abc R ABC 2
23、 3sinaA ，2 3sincC 233 2 3 sinsin2 3 sinsin2 3sincos 322 acACAAAA 6sin 6 A 2 0 3 A 5 666 A 36sin6 6 A 可知3 ? 6a c 2 2 2 sin22f xxacac 1 sin1x 可知当sin1x 时， 4 max f xac 12424ac 则 241f xcos xac sinx的最大值的取值范围为12 24， 点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能 熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问 题，利用辅助角公式进行化简，
24、本题还是有一定难度。 三、解答题三、解答题 17已知等差数列已知等差数列 n a满足：满足： 357 7,26aaa，数列，数列 n a的前的前n项和为项和为 n S. （1）求数列）求数列 n a的通项公式及前的通项公式及前n项和项和 n S； （2）令）令 2 4 () 1 n n bnN a ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T. 【答案】【答案】 （1）21 n an； 2 2 n Snn（2） 1 n n T n 【解析】【解析】 （1） 利用等差数列的通项公式列 1, a,d的方程组求解 n a再求前 n 项和公式即 可得出 （2）变形 22 4411 11 211
25、n n b ann n ，利用裂项相消求和 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为 d, 3 7a , 57 26aa, 1 1 27 2 1026 ad ad ,解得 1 3a ,2d , 3 2121 n ann ; 2 1 322 2 n n n Snnn . （2） 22 4411 11 211 n n b ann n , 111111 11 223111 n n T nnnn . 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 18如图如图,在平面四边形在平面四边形 ABCD 中中,已知已知 AB=BC=CD=2，AD
26、=2 2 (1)求求 2coscosAC 的值的值; (2)记记 ABD 与与 BCD 的面积分别是的面积分别是 S1与与 S2,求求 22 12 SS的最大值的最大值, 【答案】【答案】 （1） 1 2 ；(2) 23 2 . 【解析】【解析】试题分析：(1)在ABD ，BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,得出 2coscosAC 的值;(2)利用(1)的结果,得到 22 12 ss是关于cosA的二次函数,利用三角 形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD的范围,由BD的范围求出cosA 的范围,再求出 22 12 ss的最大值. 试题解析： （1）在ABD 中： 222 BD
27、 =AB +AD -2 AB AD cosA =12-8 2cos ;A 在BCD 中： 222 BD =BC2cos88cosCDBCCDCC 所以12-8 2cos 8 8cosAC ，整理得： 1 2coscos 2 AC； 由题意 2 22 1 1 AB AD sin8sin, 2 sAA 2 22 2 1 sin4sin; 2 sCB CDCC 所以： 2222 12 8sin4sinssAC 22 =8 1-cos4 1 cosAC 22 =12-8cos4cosAC 2 2 1 =12-8cos42cos 2 AA 2 =-16cos4 2cos11AA 2 223 =-16 c
28、os 82 A 2 24,216BDBD ， 212 8 2cos16A ，解之得： 25 -cos2 48 A 所以当 22 cos-1 84 A ，时， 22 12 max 23 2 ss. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，这是最重要的一环，通过 看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； （2）而看“函数名 称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特 征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等. 19已知抛物线已知抛物线C的方程的方程 2 20ypx p，焦点为，焦点为F，
29、已知点，已知点P在在C上，且点上，且点P到到 点点F的距离比它到的距离比它到y轴的距离大轴的距离大 1. （1）试求出抛物线）试求出抛物线C的方程；的方程； （2）若抛物线）若抛物线C上存在两动点上存在两动点,M N（,M N在对称轴两侧） ，满足在对称轴两侧） ，满足OMON（O为为 坐标原点） ，过点坐标原点） ，过点F作直线交作直线交C于于,A B两点，若两点，若/ /ABMN，线段，线段MN上是否存在定上是否存在定 点点E，使得，使得 4 EM EN AB 恒成立？若存在，请求出恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】(1)
30、2 4yx(2)存在，且坐标为4,0 【解析】【解析】 （1）由P到点F的距离比它到y轴的距离大 1，结合抛物线定义可得1 2 p ， 从而可得结果； （2）设 22 12 1221 , 44 yy MyNyyy ，结合OMON，可得直 线 12 4 :4MN yx yy ，直线1AByk x：，与C联立，利用弦长公式求得 12 22 11 14 1AByy kk 若点E存在，设点E坐标为 00 ,x y，可得 2 0 0 2 41 116 y EM ENy kk ， 4 EM EN AB 时， 2 0 0 4 1616 y y k ，从 而可得结果. 【详解】 （1）因为P到点F的距离比它到
31、y轴的距离大 1，由题意和抛物线定义，1 2 p ，所 以抛物线C的方程为 2 4yx， （2）由题意，0 MN k， 设 22 12 1221 , 44 yy MyNyyy 由OMON，得 12 16y y ，直线 12 4 :MN k yy ， 2 1 1 12 4 4 y yyx yy 整理可得 12 4 4yx yy ， 直线:AB若斜率存在，设斜率为,1k yk x，与C联立得 2 440kyyk， 12 22 11 14 1AByy kk ， 若点E存在，设点E坐标为 00 ,x y， 0120 22 11 11EM ENyyyy kk 2 120120 2 1 1y yyyyy
32、k 2 0 0 2 41 116 y y kk ， 4 EM EN AB 时， 2 0 0 4 1616 y y k ， 解得 0 0y 或 0 4 y k （不是定点，舍去） 则点E为4,0经检验，此点满足 2 4yx，所以在线段MN上， 若斜率不存在，则4,?4? 416ABEM EN， 此时点4,0E满足题意， 综合上述，定点E为4,0. 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则 不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的 条件时，先假
33、设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取 另外的途径. 20椭圆椭圆 22 22 10 xy Eab ab ： 的离心率是的离心率是 5 3 ，过点，过点 P（0，1）做斜率为）做斜率为 k 的直的直 线线 l，椭圆，椭圆 E 与直线与直线 l 交于交于 A，B 两点，当直线两点，当直线 l 垂直于垂直于 y 轴时轴时3 3AB （1）求椭圆）求椭圆 E 的方程；的方程； （2）当）当 k 变化时，在变化时，在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 M（m，0） ，使得） ，使得 AMB 是以是以 AB 为底的等腰为底的等腰 三角形，若存在求出三角形，若存在求出 m 的的取值
34、范围，若不存在说明理由取值范围，若不存在说明理由 【答案】【答案】() 22 1 94 xy ；()见解析。 【解析】【解析】 （）由椭圆的离心率为 5 3 得到 22 4 9 ba，于是椭圆方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 有 根据题意得到椭圆过点 3 3 ,1 2 ，将坐标代入方程后求得 2 9a ，进而可得椭圆的方 程 （）假设存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形，则点M为 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点由题意得设出直线AB的方程，借助二次方程的 知识求得线段AB的中点C的坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，在求出点 M的坐标后根据基本不等式
35、可求出m的取值范围 【详解】 （）因为椭圆的离心率为 5 3 ， 所以 2 2 5 1 3 cb aa ，整理得 22 4 9 ba 故椭圆的方程为 22 2 2 1 4 9 xy a a 由已知得椭圆过点 3 3 ,1 2 ， 所以 22 927 1 44aa ，解得 2 9a ， 所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy （）由题意得直线l的方程为1ykx 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y整理得 22 4918270kxkx， 其中 222 1849()4 27 ()432(31)0kkk 设 1122 ,A x yB x y，AB的中点 00 ,C x y 则 1212 22
36、 1827 , 4949 k xxx x kk ， 所以 12 0 2 9 249 xxk x k ， 00 2 4 1 49 ykx k ， 点 C 的坐标为 22 94 , 4949 k C kk 假设在x轴存在点,0M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 则点,0M m为线段AB的垂直平分线与 x 轴的交点 当0k 时，则过点C且与l垂直的直线方程 22 194 4949 k yx kkk ， 令0y ，则得 2 55 4 49 9 k xm k k k 若0k ，则 555 4 124 9 29 k k k k ， 5 0 12 m 若0k ，则 555 44 12 99kk k
37、k ， 5 0 12 m 当0k 时，则有0m 综上可得 55 1212 m 所以存在点M满足条件,且 m 的取值范围是 55 , 12 12 . 【点睛】 求圆锥曲线中的最值或范围问题时， 常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的 形式， 然后再求出这个式子的最值或范围即可 求最值或范围时一般先考虑基本不等式， 此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的 单调性求解由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理 性，合理利用变形、换元等方法进行求解 21设抛物线设抛物线的方程为的方程为 2 2ypx，其中常数，其中常数 0p ，F是抛物
38、线是抛物线的焦点的焦点. （1）若直线）若直线3x 被抛物线被抛物线所截得的弦长为所截得的弦长为 6，求，求p的值；的值； （2）设）设A是点是点F关于顶点关于顶点O的对称点，的对称点，P是抛物线是抛物线上的动点，求上的动点，求 | | PA PF 的最大值；的最大值； （3） 设） 设2p ，1l、2l是两条互相垂直， 且均经过点是两条互相垂直， 且均经过点F的直线，的直线，1l与抛物线与抛物线交于点交于点A、 B， 2 l与抛物线与抛物线交于点交于点C、D，若点，若点G满足满足4FG FAFBFCFD ，求点，求点G的的 轨迹方程轨迹方程. 【答案】【答案】 （1） 3 2 p ； （2）
39、 2； （3） 2 3yx. 【解析】【解析】 （1）当3x 时，代入抛物线方程，求得y，可得弦长，解方程可得p； （2）求得A的坐标，设出过A的直线为 () 2 p yk x ，tank，联立抛物线方程， 若要使 | | PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为 0，求得倾斜角，可得 所求最大值； （3）求得(1,0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 3 (C x， 3) y ， 4 (D x， 4) y ，()G x y,， 设 1: (1)lyk x ，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1 的条件， 结合向量的坐标表示，和
40、消元法，可求得轨迹方程 【详解】 （1）由3x 可得6yp ，可得2 66p ，解得 3 2 p ； （2）A是点( 2 p F，0)关于顶点O的对称点，可得( 2 p A ，0)， 设过A的直线为() 2 p yk x， tank， 联立抛物线方程可得 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x， 由直线和抛物线相切可得 2242 (2 )0k ppk p，解得1k ， 可取1k ，可得切线的倾斜角为45， 由抛物线的定义可得 |11 |sin(90)cos PA PF ，而的最小值为45， | | PA PF 的最大值为 2； （3）由 2 4yx，可得 (1,0)F ，设
41、1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ， 3 (C x， 3) y ， 4 (D x， 4) y ， ()G x y,， 设 1: (1)lyk x ，联立抛物线 2 4yx，可得 2222 (24)0k xkxk， 即有 12 2 4 2xx k ， 1212 4 ()2yyk xxk k ， 由两直线垂直的条件，可将k换为 1 k ，可得 2 34 24xxk， 34 4yyk ， 点G满足4FGFAFBFCFD， 可得4(x， 1234 )(4yxxxx ， 1234) yyyy ， 即为 2 1234 2 4 444xxxxxk k ， 1234 4 44yyyyyk
42、k ， 联立式消元可得 222 2 11 ()22ykkx kk ， 则G的轨迹方程为 2 2yx 【点睛】 本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的 具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22已知函数已知函数 22 11 2ln1ln2 42 f xxxaxxx. （1）讨论）讨论 f x的单调性的单调性. （2）试问是否存在）试问是否存在,ae ，使得，使得 1 3sin 44 a f x 对对1,x恒成立？若恒成立？若 存在，求存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】【答案】(1)见解析；(2) 存在；a的取值范围为2,e. 【解析】【解析】 （1） lnlnln1fxxxaxaxxax ，0,x， 所以
